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1、基础对象与算法第二章 基 础 对 象 与 算 法 本章讲述Intra3D最底层功能的设计与实现。这些功能看起来很简单，但对于交互式3D软件开发工具而言都是必不可少的。读者不禁要问：“OpenGL那么优秀，为什么不提供Intra3D的功能呢？” 真是因为OpenGL很优秀，所以才不提供Intra3D的功能。有两个主要理由：（1）OpenGL雄心勃勃地想成为国际通用的图形标准，它必须能在所有流行的平台上运行，即做到与窗口系统无关。因此，OpenGL舍弃了诸如处理文字、数字图像这类常用的功能。（2）OpenGL必须提供一套高性能的API，这些API全是“精明能干”的C函数。就象设计CPU指令一样，O

2、penGL的API不是越多越好，而是要恰到好处。否则OpenGL就会臃肿得象中国的行政机构，让人不堪负重。OpenGL发展了十年，API只增加了几个，可见其系统设计之卓越。2.1 图形变换基础运算 本节是全书唯一出现数学公式的地方。大多数程序员害怕数学公式，我也害怕。所以咱们是同一条战线的，你就不用担心看不懂。 在图形学中，常用矩阵运算来实现图形变换。采用4*4的齐次矩阵就可以用统一的矩阵相乘来表示平移、比例与旋转变换。OpenGL提供了glMultMatrix、glRotate、glTranslate、glScale 等函数来实现常规的图形变换。但是矩阵难以表示图形变换的状态与过程，例如给出

3、前后两个矩阵，就无法判断平移量、缩放量、旋转量各是多少。可见仅使用矩阵运算并不满足交互式3D图形系统的需求。 Intra3D 使用四元组（Quaternion）表示旋转变换的状态，再用两个矢量分别表示平移变换与比例变换的状态。即总共用10个浮点变量就可以完全确定图形变换的状态与过程。在交互式3D图形系统中，常需要用二维的输入设备模拟三维操作。鼠标跟踪球算法就是用鼠标来实现三维旋转变换的一种方法。 本节将重点介绍四元组运算与鼠标跟踪球算法。由于矢量运算与矩阵运算是大家熟知的，本节仅列出相应的函数。 2.1.1 矢量运算 Intra3D 2.0 C+类库中矢量运算的程序见 Intra3D-DLLI

4、ncludeLayer1Algebra Vector.h和Intra3D-DLLLayer1AlgebraVector.cpp。COM库的程序见 Intra3D-COM Layer1Vector.h和Vector.cpp。 矢量的数据结构定义如下：class VECTORpublic:float x, y, z; VECTOR(float x=0.0, float y=0.0, float z=1.0);例如X、Y、Z方向的单位矢量A、B、C可以定义如下：VECTOR A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) ;矢量运算的函数如表2.1所示。float Vector

5、Magnitude(VECTOR A);功能：矢量求模输入：A返回：A 的模 |A|void VectorNormalize(VECTOR *A);功能：矢量归一化输入：A输出：如果 |A|=0，输出矢量仍为 A；否则输出矢量为 A/(|A|)VECTOR operator + (VECTOR A, VECTOR B);功能：矢量相加输入：A, B返回：A + BVECTOR operator - (VECTOR A, VECTOR B);功能：矢量相减输入：A, B返回：A BVECTOR operator * (VECTOR A, float s);VECTOR operator * (f

6、loat s, VECTOR A);功能：矢量缩放输入：A, s返回：s * AVECTOR VectorCross(VECTOR A, VECTOR B);VECTOR operator * (VECTOR A, VECTOR B);功能：矢量叉积输入：A, B返回：A与B的叉积float VectorDot(VECTOR A, VECTOR B);float operator (VECTOR A, VECTOR B);功能：矢量点积输入：A, B返回：A与B的点积表2.1 矢量运算函数2.1.2 矩阵运算 Intra3D 2.0 C+类库中矩阵运算程序见 Intra3D-DLLInclud

7、eLayer1Algebra Matrix.h和Intra3D-DLLLayer1AlgebraMatrix.cpp。COM库的程序见 Intra3D-COM Layer1Matrix.h和Matrix.cpp。矩阵运算的函数如表2.2所示。void MatrixAdd(float *M, const float *A, const float *B, int i=4, int j=4);功能：矩阵相加输入：矩阵A(i,j) 与 B(i,j)输出：M=A+Bvoid MatrixSub(float *M, const float *A, const float *B, int i=4, int

8、 j=4);功能：矩阵相减输入：矩阵A(i,j) 与 B(i,j)输出：M=A-Bvoid MatrixMultiply(float *M, const float *M1, const float *M2, int i1, int j1, int i2, int j2);功能：矩阵相乘输入：矩阵M1(i1,j1) 与M2(i2,j2)输出：M (i1,j2) = M1*M2约束：i2=j1，否则不计算 Mvoid MatrixTranspose(float *M, const float *A, int i=4, int j=4);功能：矩阵转置输入：矩阵A(i,j)输出：M(j,i) =

9、A 的转置BOOL MatrixInverse(float *A, int n=4);功能：矩阵求逆 输入：A(n, n)输出：A = A 的逆返回：TRUE 表示求逆运算成功；FALSE 表示该逆矩阵不存在，此时A 保持不变。void MatrixIdentity(float *A, int n=4);功能：矩阵归一化 输入：A(n, n)输出：A = A 的归一化矩阵VECTOR VectorTransform(VECTOR V, float M16);功能：矢量的矩阵旋转变换输入：初始矢量 V，变换矩阵M16返回：V 经过 M 变换后为 V, 函数返回 V表2.2 矩阵运算函数2.1.3

10、 四元组运算与旋转变换一、复数概念 记Z为一复数，Z为Z的共轭复数，|Z| 为Z的模，则有： Z = a + bi Z= a bi 其中 i * i = -1 。 两个复数 Z1, Z2 相乘可表示为： Z1 = a1 + b1 i Z2 = a2 + b2 i Z1*Z2 =(a1 * a2 - b1 * b2 ) + (a1 * b2 + b1 * a2)i二、四元组概念 四元组是复数的一种扩展。记q为一四元组，q为q的共轭四元组，|q|为四元组的模， 为q的逆（即为1/q），则有： q = w + x i + y j + z k q= w - x i - y j - z k | q |

11、= 1 = q (q1 * q2) * q3 = q1 * (q2 * q3) q1 * q2 q2 * q1 其中 i * i = -1 j * j = -1k * k = -1 i * j = - j * i = kj * k = - k * j = ik * i = - i * k = j 四元组还可以表示为如下形式： q = w + xi + yj + zk = x y z w = ( s , v ) s = w v = x y z 两个四元组 q1和 q2相乘可表示为： q1 = ( s1, v1 ) q2 = ( s2, v2 ) q1*q2 = ( s1*s2 - v1v2 ,

12、s1*v2 + s2*v1 + v1v2)三、用四元组表示旋转变换 设一旋转变换的旋转轴为 u（单位矢量），旋转角度为。则与此旋转变换等价的四元组q为： q = ( s, v ) s = cos(/2) v = u sin(/2) 如果将空间一点p表示成四元组的形式 P=(0,p)，则P点经过q旋转得到点Protated ： Protated = q * P * 设有两个四元组 q1, q2分别表示前后两个旋转变换，则有： Protated = q2 * ( q1 * P *) * = (q2 * q1) * P * (*) = (q2 * q1) * P * 可见，两个四元组q1, q2的旋

13、转结果就相当于一个四元组(q2 * q1)表示的旋转变换。这与用矩阵相乘来表示旋转变换非常相似，事实上四元组 q(w,x,y,z)等价于如下旋转矩阵： w*w + x*x - y*y - z*z 2*x*y + 2*w*z 2*x*z 2*w*y 0 2*x*y 2*w*z w*w x*x+ y*y -z*z 2*y*z + 2*w*x 0 z*x*z +2*w*y 2*y*z 2*w*x w*w x*x y*y +z*z 0 0 0 0 w*w + x*x + y*y +z*z 有关四元组更深入的论述可参考文献Hearn 1997 Downs 1998。四、程序设计 C+类库中四元组运算程序

14、见 Intra3D-DLLIncludeLayer1AlgebraRotation.h 和Intra3D-DLLLayer1AlgebraRotation.cpp。COM库中四元组运算程序见Intra3D-COMLayer1 Rotation.h 和Rotation.cpp。 四元组的数据结构定义如下：class QUATERNIONpublic: float x, y, z, w; QUATERNION(float x=0.0, float y=0.0, float z=1.0f, float w=0.0);四元组运算的函数如表2.3所示。float QuaternionMagnitude(

15、QUATERNION A);功能：四元组求模输入：四元组A返回：|A|void QuaternionInverse(QUATERNION *A);功能：四元组求逆输入：四元组A输出：如果 |A|=0，不改变 A；否则输出为 A 的逆void QuaternionConjugate(QUATERNION *A);功能：四元组求共扼输入：四元组A输出：A 的共扼QUATERNION operator * (QUATERNION A, QUATERNION B); 功能：四元组相乘输入：四元组A与B返回：A * Bvoid QuaternionToMatrix(float M16, QUATERNI

16、ON Q);功能：求四元组等价的旋转矩阵输入：四元组Q输出：M为与四元组Q等价的旋转矩阵表2.3 四元组运算函数 四元组运算的程序如下：const float DELTA_ROT=1.0E-10; / 允许存在的误差float QuaternionMagnitude(QUATERNION A) return float(sqrt(A.x*A.x + A.y*A.y + A.z*A.z +A.w*A.w);void QuaternionNormalize(QUATERNION *A) float magnitude = float(sqrt(A-x*A-x + A-y*A-y + A-z*A-z

17、 +A-w*A-w); if(magnitude = DELTA_ROT) A-x = A-x/magnitude; A-y = A-y/magnitude; A-z = A-z/magnitude; A-w = A-w/magnitude; void QuaternionInverse(QUATERNION *A) float magnitude2 = A-x*A-x + A-y*A-y + A-z*A-z + A-w*A-w; if(magnitude2 = DELTA_ROT) A-x = -A-x/magnitude2; A-y = -A-y/magnitude2; A-z = -A-

18、z/magnitude2; A-w = A-w/magnitude2; void QuaternionConjugate(QUATERNION *A) A-x = -A-x; A-y = -A-y; A-z = -A-z;QUATERNION operator * (QUATERNION q1, QUATERNION q2) QUATERNION Q; Q.x =q1.w * q2.x + q1.x * q2.w +q1.y * q2.z - q1.z * q2.y; Q.y =q1.w * q2.y + q1.y * q2.w +q1.z * q2.x - q1.x * q2.z; Q.z

19、= q1.w * q2.z + q1.z * q2.w +q1.x * q2.y - q1.y * q2.x; Q.w =q1.w * q2.w - q1.x * q2.x - q1.y * q2.y - q1.z * q2.z; return Q;void QuaternionToMatrix(float M16, const QUATERNION quat) float m44; float wx, wy, wz, xx, yy, yz, xy, xz, zz, x2, y2, z2; / calculate coefficients x2 = quat.x * 2.0f; y2 = qu

20、at.y * 2.0f; z2 = quat.z * 2.0f; xx = quat.x * x2; xy = quat.x * y2; xz = quat.x * z2; yy = quat.y * y2; yz = quat.y * z2; zz = quat.z * z2; wx = quat.w * x2; wy = quat.w * y2; wz = quat.w * z2; m00 = 1.0f - (yy + zz); m01 = xy + wz; m02 = xz - wy; m03 = 0.0f; m10 = xy - wz; m11 = 1.0f - (xx + zz);

21、m12 = yz + wx; m13 = 0.0f; m20 = xz + wy; m21 = yz - wx; m22 = 1.0f - (xx + yy); m23 = 0.0f; m30 = 0; m31 = 0; m32 = 0; m33 = 1; for(int i=0; i4; i+) for(int j=0; j4; j+) Mi*4+j=mij; 由于四元组的（x,y,z,w）变量并不直观，Intra3D 提供更加简明的旋转结构ROTATION来表示旋转变换。ROTATION的数据结构定义如下：class ROTATIONpublic: VECTOR axis ; / 旋转轴，

22、为单位矢量 float angle; / 旋转角度，0 - 360 度 ROTATION(float x=0.0, float y=0.0, float z=1.0, float angle=0.0); ROTATION(VECTOR axis, float angle); ROTATION运算是通过四元组运算来实现的，函数如表2.4所示。ROTATION operator * ( ROTATION R1, ROTATION R2);功能：ROTATION 相乘，先执行 R1 旋转，后执行 R2 旋转。输入：R1, R2返回：R1与R2的旋转合成Void RotationToMatrix(fl

23、oat M16, ROTATION R);功能：求与ROTATION结构等价的旋转矩阵输入：R输出：M为与R等价的旋转矩阵VECTOR VectorTransform(VECTOR V, ROTATION R);功能：矢量的旋转变换输入：初始矢量 V, 旋转结构R返回：V 经过 R变换后为 V, 函数返回 V表2.4 ROTATION运算函数ROTATION运算的程序如下：/ 将 ROTATION 结构表示成 QUATERNIONQUATERNION RotationToQuaternion(const ROTATION R) QUATERNION Q; float theta = R.ang

24、le/180.0f*3.14159f; float cosValue = cos(theta/2.0f); float sinValue = sin(theta/2.0f); Q.x = sinValue*R.axis.x; Q.y = sinValue*R.axis.y; Q.z = sinValue*R.axis.z; Q.w = cosValue; return Q;/ 将 QUATERNION 结构表示成 ROTATIONROTATION QuaternionToRotation(const QUATERNION Q) ROTATION R; float halfTheta= acos

25、(Q.w); float sinValue = sin(halfTheta); if(sinValue -DELTA_ROT) & (R1.angle-DELTA_ROT) & (R2.angle-DELTA_ROT) & (R.angleDELTA_ROT) ) return V; QUATERNION Q; Q=RotationToQuaternion(R); return VectorTransform(V, Q);2.1.4 鼠标跟踪球算法 用鼠标在窗口中转动一个形体，记窗口的宽度为w，高度为h，形体的转动中心坐标为（cx, cy），鼠标的起点坐标为P1（mx1, my1），终点坐标为P2（mx2, my2）。跟踪球算法的目的就是要计算出旋转轴矢量u，与旋转角度。将P1、P2投影到以（cx, cy）为中心的一个半球面上得到P1与P2，P1与P2在半球面上的矢量表示记为v1与v2。可以近似地认为旋转轴矢量u即为v1与v2的叉积（Cross Product）： u = v1 v2旋转角度即为v1与v2的夹角，可用矢量点积（Dot Product）求出： = 180 * acos(v1v2)/ 问题的关键在于求出任一鼠标坐标（mx, my）在半球面上的投影矢量v，该算法的程序如下：