1、五下数学 长方体与正方体 详细知识点总结+题型训练+课后作业 后面带详细答案 长方体与正方体【考点要求】1、认识长方体和正方体的各部分名称;2、理解并掌握长方体和正方体的表面积和体积的求法;3、理解并掌握体积和容积的联系和区别;4、理解并掌握水中浸物问题的解决方法。【基础知识回顾】 考点一、长方体和正方体的认识;1、长方体的认识(1)长方体一般是由6个长方形(特殊情况下会有两个相对的面是正方形)围成的立体图形,在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。(2)相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高2、正方体的认识(1)正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,所有
2、的棱长都相等。3、长方体和正方体的联系与区别:(1)联系:长方体和正方体都有6个面,8个顶点,12条棱 正方体是特殊的长方体,正方体是长,宽,高都相等的长方体,可以用下图表示长方体和正方体的关系: (2)区别:正方体的棱长都相等,而长方体的相对的棱长相等。【练习一】1、判断:(1)长方体的六个面一定是长方形。( )(2)正方体是由6个完全相同的正方形组成的图形。 ( )(3)一个长方体(不含正方体),最多有四个面面积相等。 ( )(4)六块完全一样的长方形纸片可以围成一个长方体( )(5)4个同样大的小正方体可拼成一个大的正方体( )(6)因为正方体的每个面都是正方形,所以长方体的每个面一定是
3、长方形( )2、用一根长132厘米的铁丝,围成一个正方体的模型,棱长应是( )厘米,如果围成一个长方体的模型,长、宽、高的和是( )厘米。 3、要焊接一个长10厘米,宽8厘米,高6厘米的长方体框架,要准备10厘米,8厘米,6厘米的铁丝各( )根。4、一个正方体纸盒的棱长是7厘米,这个纸盒的棱长总和是( )厘米。5、一个正方体每个面的面积都是9平方厘米,这个正方体的棱长总和是( )厘米。6、下图是一个正方体的展开图,其中1号面面对的是( )号,2号面相对的是( )号,3号面相对的是( )号。7、现有一根长150厘米的铁丝,用这根铁丝焊接成一个正方体框架,还剩6厘米铁丝,这个正方体框架的棱长是多少
4、厘米?(接头处忽略不计)8、一根铁丝,可以做成长8厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体框架,如果用它来做一个正方体框架,做成的正方体框架棱长是多少厘米?9、一个长方体的12条棱的总长度是104厘米,已知它的长是13厘米,宽是10厘米,高是多少厘米?10、用两个相同的正方体木块拼成一个长方体,棱长之和减少了24厘米,这两个正方体木块原来的棱长总和是多少?11、一个长方体木块被截成了两个完全相同的正方体,两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了16厘米,求原来长方体的长是多少厘米?12、用三个完全相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长和是180厘米,原来一个正方体的棱长和是多少厘米?考点
5、二、长方体和正方体的表面积1、正方体和长方体的展开图2、表面积的定义:长方体或正方体6个面的面积叫做它的表面积3、长方体的表面积公式:(长宽+宽高+长高)2 正方体的表面积公式:棱长棱长6【练习二】1、判断(1)长方体相邻相个面的面积一定相等。( )(2)把一个表面积是64平方分米的木料从中间锯成两段,每一段的表面积是32平方分米。( )(3)把一个正方体切成两个长方体后,两个长方体的表面积之和与原来的正方体的表面积一样大。( )(4)给一个游泳池的四壁和底面贴瓷砖,贴的面积就是5个面的面积之和。( )(5)用8个小正方体木块拼成一个大的正方体,如果拿走其中一个小正方体木块,它的表面积大小不变
6、。( )2、填空(1)一个长方体的长是5厘米,宽是3厘米,高是4厘米,它的表面积是( )平方厘米。(2)一个正方体的棱长和是24厘米,它的表面积是( )平方厘米。(3)、一个魔方的表面积是54平方厘米,它的一个面的面积是( )平方厘米。(4)一个长方体不同方向三个面的面积分别是6平方厘米,12平方厘米,18平方厘米,则这个长方体的表面积是( )平方厘米。(5)一个长4分米,宽3分米,高2分米的长方体,它的占地面积最大是( )平方分米,它的表面积是( )平方分米。(6)、一个正方体的棱长是2厘米,把它的棱长扩大到原来的3倍,现在这个正方体的表面积是( )平方厘米。(7)一个长方体的长,宽,高都扩
7、大到原来的2倍,表面积会扩大到原来的( )倍。(8)正方体的棱长扩大到原来的3倍,表面积会扩大到原来的( )倍。(9)、一个长方体的无盖水桶,长4分米,宽3分米,高5分米,制作这个水桶至少需要铁皮( )平方分米。(10)、把2个棱长3厘米的正方体拼成一个长方体,表面积比原来两个正方体减少( )平方厘米,这个长方体的体积是( )立方厘米。(11)、把3个棱长都为5厘米的正方体拼成一个长方体,表面积减少了( )平方厘米。(12)、把一个棱长6分米的正方体切成两个相等的长方体,增加的面积是( )平方分米。(13)把一根长80厘米,宽5厘米,高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段,表面积比原来增
8、加了( )平方厘米。3、解决问题(1)计算下面图形的表面积。(单位:厘米)(2)一个棱长为8厘米的正方体罐头盒,在盒子的四周贴上商标纸,这张商标纸的面积至少是多少平方厘米?(3)一个游泳池,长50米,宽20米,深2米,现在要给游泳池的四壁和底面抹水泥,抹水泥的面积是多少平方米?(4)五(1)班教室在二楼(共四层)长10米,宽6米,高4米,门窗面积19.6平方米,如果每平方米用涂料0.25千克来粉刷,共需要涂料多少千克?(5)、把一个长6厘米,宽5厘米,高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体,表面积最多增加多少平方厘米?最少增加多少?(6)在棱长为10cm的正方体上放一个棱长为5cm的正方体(如图
9、),这个图形的体积和表面积分别是多少?(7)一个长方体它的底面是一个边长为15厘米的正方形,高为20厘米,如果把它的高增加5厘米,它的表面积会增加多少?(8)一个长25厘米,宽20厘米的长方形铁皮,从四个角上各减去一个边长为5厘米的正方形,形成一个无盖的铁盒,这个无盖的铁盒五个面的面积和是多少?(铁皮的厚度不计)(9)一个长方体能够切成两个完全一样的正方体(如右图),已知正方体的棱长为2厘米,原来的长方体的表面积是多少平方厘米?(10)、一个棱长为9厘米的正方体木块,在它的前后两个面的中心挖去一个相通的长方体,截口是边长为2厘米的正方形,剩余木块的表面积是多少平方厘米?(11)一个正方体木块,
10、把它分成3个大小相同的长方体后,表面积增加了36平方厘米,这个木块原来的表面积是多少平方厘米?(12)、用三个完全相同的正方体摆成一个长方体,这个长方体的表面积是350平方厘米,则每个正方体的表面积是多少平方厘米?(13)用五个完全相同的正方体摆成一个长方体,这个长方体的表面积是770平方厘米,则每个正方体的表面积是多少平方厘米?(14)、将一根长52厘米的铁丝焊接成一个长6厘米、宽4厘米的长方体框架,这个长方体框架的表面积是多少平方厘米?(15)、小高老师要做一个长1.2米、宽45厘米、高1.5米的陈列箱,陈列箱除了正面用玻璃,其余各面都用木板。小高老师需要准备多少平方米木板?(16)、舞蹈
11、教室的长是8米,宽是6米,高是3.5米,现在要粉刷墙壁和天花板。如果门窗和镜子的面积一共是22平方米,每平方米需要0.25千克涂料,那么粉刷这间教室一共需要多少千克涂料?(17)、有一个长方体,如果将它的高增加3厘米,那么它就会变成一个正方体,这时表面积会比原来增加96平方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米?(18)、如果把一个正方体木块一刀切成两个长方体后表面积增加了60平方厘米,那么这个木块的表面积是多少平方厘米?(19)、一个长方体的棱长总和是 72 厘米 , 长是 9 厘米 , 宽是 6 厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米?(20)、桌子上有一根长 1.5 米的长方体木料,木料
12、有两面是正方形。如果把这根木料锯成两段后表面积会增加 0.18 平方米,那么这根木料的表面积是多少平方米?(21)、将 3 个长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块拼成一个表面积最小的长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?考点三、长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积2、计量体积要用体积单位,常用的体积单位有立方厘米,立方分米和立方米,分别可以写成,(1)棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米,一个手指尖的体积大约是1立方厘米。 1 1(2)棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米,粉笔盒体积接近1立方分米。(3)棱长为1米的正方体,体积是1立方米。用3根1米
13、长的木条做成一个互成直角的架子,放在墙角,组成的一个正方体,体积及时1立方米。3、(1)长方体的体积计算方法:长宽高如果用字母V表示长方体的体积,用a b h分别表示长方体的长,宽,高,那么长方体的体积计算公式可以写成:V=abh(2)正方体的体积计算方法:棱长棱长棱长如果用字母V表示正方体的体积,用a表示它的棱长,那么正方体的体积计算公式可以写成V=aaa=(3)长方体和正方体体积的通用计算方法:底面积高长方体或正方体底面的面积叫做底面积。所以,长方体或正方体的体积=底面积高,如果用S表示底面积,则V=Sh.4、体积单位的进率1立方分米=1000立方厘米 1立方米=1000立方分米5、目前我
14、们已经学过的计量单位,如下表格:单位名称相邻两个单位间的进率长度米 分米 厘米10面积平方厘米 平方分米 平方米100体积立方厘米 立方分米 立方米10006、容积和容积和容积单位(1)箱子,油桶,仓库等能够容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。(2)计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水,油等,通常用容积单位升和毫升,也可以写成L和mL:1L=1000mL(3)长方体或正方体的容积的计算方法,根体积的计算方法相同,但是要从容器里面量长 宽 高。【练习三】1、判断正误(1)只有棱长为1米的正方体的体积才能是1立方米。( )(2)棱长为6厘米的正方体,体积和表面积相等。( )(3)体积相
15、等的两个正方体,它们的表面积一定相等。 ( )(4)正方体的棱长扩大2倍,它的表面积就扩大8倍。( )(5)体积单位比面积单位大,面积单位比长度单位大()(6)一个冰箱的容积就是它的体积。( )(7)把一块正方体形状的橡皮泥压制成长方体的形状,与原来的正方体相比,体积不变。( )(8)体积单位之间的进率为1000.( )2、物体( )的大小叫做物体的体积。3、棱长为( )的正方体的体积是1立方米,棱长为1分米的正方体的体积是( ),棱长为1厘米的正方体的体积是( )。4、一个长方体的底面积是3.2平方分米,高是5分米,则体积是( )立方分米。5、一个长方体长16厘米,宽4.5厘米,高10厘米,
16、它的体积是( )立方厘米。6、一个正方体,如果它的棱长扩大到原来的2倍,那么它的体积就会扩大到原来的( )倍。7、一个长方体棱长之和是84厘米,长是8厘米,宽是7厘米,高是( ),体积是( )。8、计量容积,一般就用( )单位,计量液体的体积,如水,油等,常用容积单位( )和( ),也可以写成( )和( )。9、在括号里填上适当的数:4.3立方米=( )立方分米 11.8立方分米=( )立方厘米3540立方厘米=( )立方分米 6立方米40立方分米=( )立方米 5.5平方米( )平方分米 5立方分米180立方厘米( )立方分米 6.08升( )升( )毫升 2.4立方米( )立方米( )立方
17、分米 10、一个正方体的木箱,棱长是0.5米,这个木箱的体积是( )立方米。11、一个长方体的钢坯,横截面积是8平方分米,长是0.7分米,10个这样的钢坯的体积一共( )立方分米12、一个长方体的,长、宽、高都扩大到原来的2倍,它的表面积扩大到原来的( )倍,它的体积扩大到原来的( )倍。13、将0.9立方米的沙子铺在长3米宽2米的长方体沙坑里,可以铺( )厘米厚。14、一个长8分米,宽0.7米,高5分米的长方体盒子,最多能够装下( )个棱长为2分米的正方体木块。15、一个长20厘米,宽20厘米,高15厘米的长方体纸盒内,最多能够放( )个棱长为2厘米的正方体木块。16、一个正方体魔方放在桌面
18、上,桌面被覆盖住的面积是9平方厘米,这个魔方的表面积是( ),体积是( )。17、把一个棱长为1分米的正方体钢坯锻造成横截面积为0.5平方分米的长方体钢坯,这个长方体钢坯的长是( )分米。18、计算下面长方体和正方体的体积。19、一个长方体沙坑,长3米,宽1.5米,深0.4米,这个沙坑的占地面积是多少?沙坑的体积是多少?20、下面是一个长方体纸盒的展开图,原来这个纸盒的体积是多少? 21、一根长方体木料长2.4米,把它平均分成三段,长方体木料的表面积增加了2平方米,求原来长方体木料的体积。22、把一块棱长为1分米的正方体钢锭锻造成宽8米,高5厘米的长方体刚块,这个长方体钢块的长是多少厘米?23
19、、一块正方体的方钢,棱长是20厘米,把它锻造成一个高80厘米的长方体磨具,这个长方体磨具的底面积是多少平方厘米?24、一个长方体的水箱,从里面量长是1.5米,宽是5分米,高是4分米,这个水箱的容积是多少升?25、将一段长3.6米的长方体木料平均分成6段,表面积比原来增加了2平方米,这段木料的体积是多少立方米?26、下图是一个长方体木块,从上面截去5厘米后便成为一个正方体,这时表面积减少了160平方厘米,原来长方体的体积是多少立方厘米?27、一个长方体的高减少5厘米,就变成了正方体,正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米,原长方体的体积是多少立方厘米?28、一个长方体的高如果增加2厘
20、米,就成为一个正方体,这时的表面积比原来增加了48平方厘米,原来长方体的体积是多少?29、爸爸将4.5升水倒入长30厘米,宽20厘米,高16厘米的长方体鱼缸内,水面距离缸口还有多少厘米?30、从一个棱长为10厘米的正方体的上面竖直向下挖一个长方体的洞,洞的底面为边长是5厘米的正方形,求这个空心正方体的表面积和体积。31、一块正方体的方钢,棱长是20厘米,把它锻造成一个高80厘米的长方体磨具,这个长方体磨具的底面积是多少平方厘米?32、有一块长是80厘米,宽是40厘米,高是30厘米的正方体的铁块,现在要把它熔铸造成一个横截面积是160平方厘米的长方体,这个长方体的高是多少厘米?33、一块26厘米
21、长的长方形铁皮,四个角各剪去一个边长4厘米的正方形,然后做成一个无盖铁盒,这个铁盒的容积是792立方厘米原来这块铁皮的面积是多少平方厘米? 34、有三个正方体块,他们的表面积分别是24平方厘米,54平方厘米和294平方厘米,现在将三个铁块熔铸成一个大正方体,求大正方体的体积是多少?35、一辆大客车的邮箱从里面量长80厘米,宽60厘米,高40厘米,它的容积是多少升?如果每升汽油能够行驶25千米,加满汽油出发,并且在不加油的情况下保证能够返回原处,那么大卡车最多跑车多少千米就要返回?36、将30个棱长为1厘米的小正方体堆成如图所示的形状,求它的表面积和体积。考点四、水中浸物知识点总结:求不规则物体
22、的体积可以用排水法,把物体浸没在水中,物体的体积=水上升的体积例题:爸爸在一个底面积为51立方分米米的长方体鱼缸里放了一开假山石,水面上升了3厘米,这个假山石的体积有多大?解答:假山石的体积=水上升的体积=510.3=15.3(立方分米)【练习四】1、下图是一个长方体容器,里面水深5.6dm。把一个南瓜放入(南瓜全部浸没在水中)后,从容器里溢出4L水。这个南瓜的体积是多少?2、一个长50cm、宽40cm、高40cm的鱼缸中水深25cm,放入几条金鱼后,水面上升了3cm,这几条金鱼体积是多少?3、算一算,铁块的高是多少厘米?4、求下图中一个梨的体积。5、一个长方体的玻璃缸长8dm、宽6dm、高4
23、dm,缸中水深2.8dm。如果放入一块棱长为4dm的正方体铁块,缸里的水溢出多少升?6、右面玻璃容器的底面积是80cm2(不计玻璃厚度)。观察图中变化,求大圆球的体积。7、一个长方体的玻璃鱼缸长1m,宽3dm,缸中原有96L的水。把一铁块放入水中(铁块完全没入且水未溢出),这时水深4.8dm。铁块的体积是多少?8、一个无水观赏鱼缸中放有一块高为28cm、体积为4200cm3的假石山,如果水管以每分钟8dm3的流量向鱼缸内注水,那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没?9、一个长方体水箱,从里面量长40cm、宽30cm、深50cm,箱中水面高10cm,放进一个棱长为20cm的正方体铁块后,铁块顶
24、面仍高于水面,这时水面高多少厘米?10、有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为4米、3米、2米,把两堆碎石分别沉在中、小池的水中,两个水池的水面分别升高了8厘米、6厘米。如果将这两块碎石都沉在大水池中,那么大水池水面将升高多少厘米?课后作业一、选择题(共10小题)1正方体的棱长扩大2倍,体积扩大了()倍A2 B4 C82一个正方体的棱长扩大2倍,它的表面积要扩大()A2倍 B4倍 C8倍33个棱长是1厘米的正方体小方块排成一行后,它的表面积是()。A18平方厘米 B14立方厘米 C14平方厘米 D16平方厘米4一个正方体的棱长总和是60厘米,它的表面积是().A21600平方厘米 B1
25、50平方厘米 C125立方厘米5一个长2米、宽2米、高3米木箱平放在地面上,占地面积至少是().A6平方米 B6立方米 C4平方米 D4立方米6一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形,它的侧面展开图正好也是一个正方形,这个长方体的侧面积是()平方米A16 B64 C487用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体,发生了什么变化?()A体积变大,表面积变小 B体积变小,表面积变大 C体积不变,表面积变大 D体积不变,表面积变小8把一个长方体分成几个小长方体后,体积().A不变 B比原来大了 C比原来小了9、从一个长方体挖掉一个角(如图),则表面积( ).A比原来小 B比原来大 C和原来一样大
26、 D无法确定10、下面的图形不能够折成正方体的是( )二、填空题(共10小题)1、一根长2米的长方体钢材,沿横截面截成两段后,表面积增加0.6平方分米,这段长方体钢材的体积是( )立方分米2、一个长方形的长、宽、高各扩大3倍,它的体积扩大了()倍3、把3个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体,这个长方体的体积是 ( )立方厘米,表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少()平方厘米4、一个表面积是54平方厘米的正方体,它的体积是()立方厘米(先算出棱长,再计算体积)5、一个长方体棱长之和是84cm,它的长是8cm,宽是7cm,高是()cm,它的表面积是( )cm26、把1.2米的长方体材料(
27、如图),平均锯成3段,表面积比原来增加2.4平方分米,原来这根木料的体积是()立方分米7、一个正方体的棱长总和是72厘米,表面积是()平方厘米,体积()立方厘米8、一个正方体的底面积是25平方分米,它的表面积是()平方分米它的体积是()立方分米9、将一个棱长为6厘米的正方体铁块熔铸成一个长方体铁块,这个长方体铁块的长为9厘米,宽为4厘米,这个长方体铁块前面的面积是( )平方厘米。10、将一个长为8分米宽为6分米,高为5分米的长方体木块切割成棱长为2分米的小正方体,一共可以割成( )块,把这些小正方体排成一行,一共长( )米。三判断题(共10小题)1一个棱长6分米的正方体,它的表面积和体积相等(
28、 )2体积相等的长方体,表面积一定相等( )3表面积相等的两个正方体,它们的体积一定相等( )4一个正方体棱长和为24厘米,它的体积是8立方厘米( )5.正方体的棱长扩大2倍,它的表面积就扩大8倍。( )6.因为正方体的每个面都是正方形,所以长方体的每个面一定是长方形( )7、体积单位比面积单位大,面积单位比长度单位大。( )8、150L的冰箱,它所占的空间就是150立方分米。( )9、相邻两个面是正方形的长方体一定是正方体。( )10、体积是1立方米的正方体,它的底面积一定是1平方米。( )11、一块石头完全浸没在盛有水的容器里,溢出的水的体积就是石头的体积。( )四、填表。长/米宽/米高/
29、米底面积/平方米表面积/平方米体积/立方米长方体1269697378正方体棱长5354五、按要求计算。(1)求长方体的体积。2、求下图的表面积和体积。六、解答题。1、计算下面图形的表面积和体积2、五(1)班教室在二楼(共四层)长10米,宽6米,高4米,门窗面积19.6平方米,如果每平方米用涂料0.25千克来粉刷,共需要涂料多少千克?3、一根铁丝,可以做成长8厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体框架,如果用它来做一个正方体框架,做成的正方体框架棱长是多少厘米?4、有一个完全封闭的容器,里面的长是20厘米,宽是16厘米,高是10厘米,平放时里面装了7厘米深的水如果把这个容器竖起来放,水的高度是多少?5、一个长方体的药水箱里装了60升的药水,已知药水箱里面长5分米,宽3分米,它的深是多少分米?6、一个长方体水箱,从里面量它的长是1.2dm,宽是4dm,高是8dm,这个水箱最多能装水多少升?7、把一块棱长是0.5米的正方体钢坯,锻成横截面面积是0.05平方米的长方体钢材,锻成的钢材有多少长?8、希望小学有一间长10米、宽6米、高3.5米的
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