第八章 直线与圆 教师版.docx

1、第八章 直线与圆 教师版高中数学核心素养读本（教师版） 1 第8章 直线与圆 一、知识框图 二、高考要求 内 容 要 求 A B C 8直线与圆 直线的斜率和倾斜角 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 倾斜角和斜率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 倾斜角的变化与斜率的变化 重合 平行 相交 垂直 A1B2A2B10 A1B2A2B10 A1A2B1B20 点斜式：yy0k(xx0) 斜截式：ykxb 两点式：yy1y2y1xx1x2x1 截距式：xayb1 一般式：AxByC0 注意各种形式

2、的转化和运用范围. 两直线的交点 距离 点到线的距离：d| Ax0By0C |A2B2，平行线间距离：d| C1C2 |A2B2 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 相离 相切 相交 0，或dr 0，或dr 0，或dr 截距 注意：截距可正、可负，也可为0. 高中数学核心素养读本（教师版） 2 三、核心素养 核心素养在本章的具体体现有： 通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的

3、关系初步建立代数表征几何元素的解析：意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析世界，用数学的语言来表达世界 通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力 在圆的方程的学习中，通过探索圆的标准方程，进一步体会用代数表征几何的解析思想，通过代数变形获得圆的一般方程，体会特殊到一般的推理方法，提高逻辑推理能力根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，用直线和圆的方程解决

4、一些简单的问题，提高数学建模的能力 总之，在直线与圆的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的解析思想，初步感受坐标法处理几何问题的妙不可言，形成用代数方法解决几何问题的能力，理解解析法的实质，提高分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学运算以及数学交流的能力 四、教学建议 1处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想 2帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代

5、数结果的几何含义，最终解决几何问题学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法 3要善于综合运用平面几何有关直线和圆的知识解决本章问题，从几何的角度来分析、解决直线与圆的问题往往事半功倍还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识来解题 高中数学核心素养读本（教师版） 3 8.1 直线的斜率与直线方程 【复习指导】 1考试说明对知识点的要求：直线的斜率和倾斜角（B），直线方程（C） 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式

6、及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 【自主先学】 一、自主梳理 1重读课本必修2 P77P88（）独立完成下列梳理 2直线的倾斜角（） (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 (2)范围：直线l倾斜角的范围是0，) 3斜率公式（） (1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_ (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率ky2y1x2x1 4直线方程的五种形式（） 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线xx0 斜截式 ykxb

7、 不含垂直于x轴的直线 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0，(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 二、自主练习 1（）（必修2P80第4题改编）直线经过原点和点(1，1)，则它的倾斜角是_ 2（）（必修2P80第1题改编）过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m_ 3（）（必修2P80第6题改编）若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a_ 4（）（必修2P82第1题改编）已知直线l过点P(2，5)，且斜率为34，则直线l的方

8、程为_ 高中数学核心素养读本（教师版） 4 5（）（必修2P88习题13改编）过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为_ 答案：145 21 34 43x4y140 5xy90，y2x 【自我反思】 _ _ 【交流展示】 【问题探究】 【问题1】直线的倾斜角与斜率 (1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_ (2)直线xcos 3y20的倾斜角的范围是_ 答案：(1)13 (2) 0，6 56， 解析：(1)依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有 a72b12，解得a5，b3， 从而可知直线l的斜

9、率为317513 (2)由xcos 3y20得直线斜率k33cos 1cos 1，33k33 设直线的倾斜角为，则33tan 33 结合正切函数在 0，2 2，上的图象可知，06或56 备课笔记：由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytan x在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的 【问题2】直线方程的求法 根据所给条件求直线的方程： 高中数学核心素养读本（教师版） 5 (1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，

10、10)，且到原点的距离为5 答案：(1) x3y40或x3y40 (2) 4xy160或x3y90 (3) x50或3x4y250 解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为，则sin 1010(0)，从而cos 31010，则ktan 13 故所求直线方程为y13(x4)即x3y40或x3y40 (2)由题设知截距不为0，设直线方程为xay12a1，又直线过点(3，4)， 从而3a412a1，解得a4或a9 故所求直线方程为4xy160或x3y90 (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105

11、k)0 由点线距离公式，得|105k|k215，解得k34故所求直线方程为3x4y250 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250 备课笔记：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 【问题3】直线方程的综合应用 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 解析：方法一

12、设直线方程为xayb1 (a0，b0)，点P(3，2)代入得3a2b12 6ab，得ab24， 从而SAOB12ab12，当且仅当3a2b时，取“”，这时kba23，从而所求直线方程为2x3y120 方法二 依题意知，直线l的斜率k存在，且k0则直线l的方程为y2k(x3) (k0)， 高中数学核心素养读本（教师版） 6 且有A 32k，0，B(0，23k)， SABO12(23k) 32k12 12 9k 4 k 12 122 9k 4 k 12(1212)12 当且仅当9k4k，即k23时，取“” 即ABO的面积的最小值为12 故所求直线的方程为2x3y120 备课笔记：直线方程综合问题的

13、两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决 【质疑拓展】 变式1：经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_ 解析：如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角为钝角，k0时，0，k0时，为锐角 又kPA2 1 10

14、1，kPB11021，1k1 又当0k1时，04；当1k0时，34 故倾斜角的取值范围为0，434，) 变式2：已知点A(3，4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A且在两坐标轴上截距相等； (2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 解析：(1)设直线在x，y轴上的截距均为a 若a0，即直线过点(0，0)及(3，4)直线的方程为y43x，即4x3y0 若a0，设所求直线的方程为xaya1，又点(3，4)在直线上，3a4a1，a7 直线的方程为xy70 高中数学核心素养读本（教师版） 7 综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70 (2)由题意可知，所求直线的斜率为1又过点(3

15、，4)，由点斜式得y4(x3) 所求直线的方程为xy10或xy70 变式3：已知直线l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程 (1)证明：直线l的方程是k(x2)(1y)0， 令 x20，1y0，解得 x2，y1，无论k取何值，直线总经过定点(2，1) (2)解析：由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为12kk，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有 12kk2，12k1，解之得k0； 当k0时，直线

16、为y1，符合题意，故k0 (3)解析：由l的方程，得A 12kk，0，B(0，12k) 依题意得 12kk0，解得k0 S12OAOB12 12kk|12k|12 12k 2k12 4k1k412(224)4， “”成立的条件是k0且4k1k，即k12， Smin4，此时直线l的方程为x2y40 【教学反思】 _ _ _ 【巩固练习】 当堂检测 高中数学核心素养读本（教师版） 8 1直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_ 2已知直线PQ的斜率为3，将直线绕点P顺时针旋转60所得的直线的斜率为_ 3过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为

17、正值，且它们的和最小，则这条直线的方程为_ 答案：1 0，4 2， 23 32xy60 课后作业 一、填空题 1直线3xya0的倾斜角为_ 答案：60 解析：化直线方程为y3xa，ktan 30180，60 2直线xsin 7ycos 70的倾斜角是_ 答案：67 解析：tan sin 7cos 7tan 7tan 67，0，)，67 3已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三点共线，则x_ 答案：3 解析：A，B，C三点共线，kABkAC7543x513，x3 4如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过第_象限 答案：三 解析：由已知得直线AxByC0在x轴上的截距CA0，在y

18、轴上的截距CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限 5若直线axbyab (a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为_ 答案：4 解析：直线axbyab (a0，b0)过点(1，1)，abab，即1a1b1， ab(ab) 1a1b2baab22baab4，当且仅当ab2时，取“”， 直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4 高中数学核心素养读本（教师版） 9 6过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_条 答案：3 解析：设过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k

19、30，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k3)、N 23k，0 再由1212OMON12|2k3|23k|，可得|4k9k12|24，即4k9k1224，或4k9k1224解得k32或k9622或k9622，故满足条件的直线有3条 7若直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3，1)对称，则直线l2恒过定点_ 答案：(0，2) 解析：直线l1：yk(x6)恒过定点(6，0)，定点关于点(3，1)对称的点为(0，2)又直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2) 8设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为_ 答案：a

20、1 解析：将l的方程化为y(a1)xa2， a1 0，a20或 a1 0，a20，a1 综上可知a的取值范围是a1 9设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_ 答案：2，2 解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2，2 10已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_ 答案：3 解析：直线AB的方程为x3y41，设P(x，y)，则x334y，xy3y34y234(y24y)34(y2)243即当P点坐标为 32，2时，xy取最大

21、值3 二、解答题 11已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(3，4)； 高中数学核心素养读本（教师版） 10 (2)斜率为16 答案：(1) 2x3y60或8x3y120 (2) x6y60或x6y60 解析：(1)设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是4k3，3k4， 由已知得(3k4) 4k36，解得k123或k283 故直线l的方程为2x3y60或8x3y120 (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y16xb，它在x轴上的截距是6b， 由已知，得|6bb|6，b1直线l的方程为x6y60或x6y

22、60 12如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y12x上时，求直线AB的方程 答案：(33)x2y330 解析：由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)33， 所以直线lOA：yx，lOB：y33x 设A(m，m)，B(3n，n)，所以AB的中点C m3n2，mn2， 由点C在y12x上，且A，P，B三点共线得 mn212m3n2，m0m1n03n1，解得m3， 所以A(3，3) 又P(1，0)，所以kABkAP331332，所以lAB：y332(x1)， 即直线AB的方程为(3

23、3)x2y330 高中数学核心素养读本（教师版） 11 8.2 两条直线的位置关系 【复习指导】 1考试说明对知识点的要求：直线的平行关系与垂直关系（B），两条直线的交点（B），两点间的距离、点到直线的距离（B） 2能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 【自主先学】 一、自主梳理 1重读课本必修2 P89P106（）独立完成下列梳理 2两条直线的位置关系（） (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： (i)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2 (ii)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2 两条直线垂直： (i)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21 (ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2 (2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 3几种距离（） (1)