角平分线的性质和判定复习题.docx

1、角平分线的性质和判定复习题角平分线内容及典型例题一. 复习内容：1. 角平分线的作法2. 角平分线的性质及判定3. 角平分线的性质及判定的应用二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等推导已知：OC平分MON，P是OC上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点A、点B求证：PAPB证明：PAOM，PBONPAOPBO90OC平分MON12在PAO和PBO中，

2、PAOPBOPAPB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，OP平分MON（12），PAOM，PBON，PAPB（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上推导已知：点P是MON内一点，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求证：点P在MON的平分线上证明：连结OP在RtPAO和RtPBO中，RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即点P在MON的平分线上几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）如图所示，PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）3. 角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：

3、一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米在下图中标出工厂的位置，并说明理由4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的 【典型例题】例1. 已知：如图所示，CC90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定） 分析：由条件C

4、C90，ACAC，可以把点A看作是CBC平分线上的点，由此可打开思路 证明：（1）CC90（已知），ACBC，ACBC（垂直的定义）又ACAC（已知），点A在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）ABCABC（2）CC，ABCABC，180（CABC）180（CABC）（三角形内角和定理）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性例2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC

5、于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出12，再利用平行线推得34，最后用角平分线的定义得证 解：AD平分BACD到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BAC 评析：由角平分线的判定判断出PD平分EPF是解决本例的关键“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”例3. 如图所示，已知ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分BAC？

6、请说明理由由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段 解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上，PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PFPE，PDPFAP平分BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角

7、坐标系（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号 解：（1）点P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点P到公路的距离是400m，点P（学校）到铁路的距离是400m（2）学校所在位置的坐标是（400，400）评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例5. 如图所示，在ABC中，C90，ACBC，DA平分CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E

8、，并给出证明；若不能，请说明理由分析：由于点D在CAB的平分线上，若过点D作DEAB于E，则DEDC于是有BDDEBDDCBCAC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论解：能过点D作DEAB于E，则BDE的周长等于AB的长理由如下：AD平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL）ACAE又ACBC，AEBCBDE的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化这是初中几何中常用的一种数学思想【方法总结】学过“角的平

9、分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分AOB，PCOA于C，PDOB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）A. PCPD B. PCPD C. PCPD D. 不能确定2. 在RtABC中，C90，AD是角平分线，若BC10，BDCD32，则点D到AB的距离是

10、（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 在ABC中，C90，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DEAB，则（ ）A. BCAE B. BCAE C. BCAE D. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是BAC的平分线AD上一点，PEAC于点E，已知PE3，则点P到AB的距离是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图所示，在ABC中，C90，AD平分BAC，AEAC，下列结论中错误的是（ ）A. DCDE B. AED90 C. ADEADC D. DBDC6. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点C. 三条角平

11、分线的交点 D. 不能确定7. 如图所示，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6cm，则DEB的周长为（ ）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是CAB的平分线上一点，PFAB于点F，PEAC于点E，如果PF3cm，那么PE_10. 如图所示，DBAB，DCAC，BDDC，BAC80，则BAD_，CDA_11. 如图所示，P在AOB的平

12、分线上，在利用角平分线性质推证PDPE时，必须满足的条件是_12. 如图所示，BC，ABAC，BDDC，则要证明AD是BAC的_线需要通过_来证明如果在已知条件中增加B与C互补后，就可以通过_来证明因为此时BD与DC已经分别是_的距离13. 如图所示，C为DAB内一点，CDAD于D，CBAB于B，且CDCB，则点C在_14. 如图所示，在RtACB中，C90，AD平分BAC交BC于点D（1）若BC8，BD5，则点D到AB的距离是_（2）若BDDC32，点D到AB的距离为6，则BC的长为_15. （1）OP平分AOB，点P在射线OC上，PDOA于D，PEOB于E，_（依据：角平分线上的点到这个角

13、两边的距离相等）（2）PDOA，PEOB，PDPE，OP平分AOB（依据：_）三. 解答题16. 已知：如图，在RtABC中，C90，D是AC上一点，DEAB于E，且DEDC（1）求证：BD平分ABC；（2）若A36，求DBC的度数17. 如图：ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDFBAF180（1）求证：DEDF；（2）若把最后一个条件改为：AEAF，且AEDAFD180，那么结论还成立吗？18. 如图，12，AEOB于E，BDOA于D，AE与BD相交于点C求证：ACBC19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm（1）在图上标出仓库G的位置（比例尺为110000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为MON的平分线你认为他这种作法对吗？试说明理由