摆线公式等.docx

1、摆线公式等摆线公式等摆线方程它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线 xa（sin），ya（1cos）设该点初始坐标为（0，0）,圆心坐标为（0,a)当圆转动时，圆心坐标为（a, a)该点相对于圆心坐标为（-asin，-acos）所以该点坐标为（a（sin），a（1cos）即xa（sin），ya（1cos）摆线编辑维基百科，自由的百科全书本条目需要扩充。（2010年7月25日）请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。一条由滚动的圆所生成的摆线在数学中，摆线(Cycloid) 被定义为，一个圆沿一条直线运动

2、时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是roulette曲线的一个例子。摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。隐藏 1历史 2方程 3面积 4弧长 5其它相关联的曲线 6应用 7参考 8外部连结历史编辑摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森 (Marin Mersenne)也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几

3、何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。1.方程编辑由半径为2的圆所生成的摆线过原点半径为r的摆线参数方程为在这里实参数t 是在弧度之下，圆滚动的角度。对每一个给出的t ，圆心的坐标为 (rt, r)。 通过替换解出 t 可以求的笛卡尔坐标方程为摆线的第一道拱由参数 t 在 (0, 2) 区间内的点组成。摆线也满足下面的微分方程。面积编辑一条由半径为 r 的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：微分，于是可以求得弧长编辑弧形的长度可以由下面的式子计算出：其它相关联的曲线编辑一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线 (curtat

4、e cycloid) 和长摆线 (prolate cycloid)，两者合称为次摆线 (trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。trochoid则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线 (epicycloid)（沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线 (hypocycloid)（沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线 (epitrochoid)和内旋轮线 (hypotrochoid)（定点可以在圆内的任一点包括边界。）小圆边缘沿大圆转动：圆外螺线/外摆线圆内螺线/内摆线小圆短径外转：外旋轮线小圆长径内转：内

5、旋轮线小圆边缘沿直线转动：摆线外摆线编辑维基百科，自由的百科全书不同的外摆线外摆线是所有形式为的曲线，其中n为正实数。轨迹定义编辑n = 4的外摆线轨迹假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的倍的圆在上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。心脏线编辑心脏线心脏线是外摆线的一种，其n为 2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cos这样的心脏线的周界为 8，围得的面积为。心脏线亦为蚶线的一种。在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的Philosophical Transactions of

6、the Royal Society发表的；意为“像心脏的”。肾脏线编辑肾脏线亦是外摆线的一种，其n为 3。圆内螺线编辑维基百科，自由的百科全书内摆线（圆内螺线）是所有形式为的曲线，其中n为正实数。轨迹定义编辑假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条内摆线（圆内螺线）。三尖瓣线和星形线编辑三尖瓣线（Deltoid，字自“Delta”）是内摆线（圆内螺线）一种，其n为 2（或1/2）。1星形线是内摆线（圆内螺线）一种，其n为 3。外旋轮线编辑维基百科，自由的百科全书R= 3,r= 1 和d= 1/2 的外旋轮线外旋轮线(Epitro

7、choid-IPAptrkd, -tr-)是追踪附着在围绕半径为R的固定的圆外侧滚转的半径r的圆上的一个点而得到的转迹线，这个点距离外部滚动的圆的中心的距离是d。外旋轮线的参数方程是特殊情况包括R = r的蜗牛线和d = r的外摆线。经典的玩具万花尺追踪外旋轮线和内旋轮线。转子活塞发动机的定子是外旋轮线。内旋轮线编辑维基百科，自由的百科全书红色曲线是R= ,r= 3,d= 5 的内旋轮线内旋轮线(hypotrochoid)是追踪附着在围绕半径为R的固定的圆内侧滚转的半径为r的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是d。内旋轮线的参数方程是:特殊情况包括d=r的内摆线和R= 2r的椭圆。经典的玩具万花尺追踪出内旋轮线和外旋轮线。