小升初数学面试部分历年冲刺创新实践.docx

1、小升初数学面试部分历年冲刺创新实践数学面试题汇总（教师版）第六章创新实践经典范例：例题1：（2022西安某交大附中）在一个长方形纸片中剪下一个三角形，这个三角形的一条边长为3，另一条边长为4。（30分）（1）请说出第三条边长的取值范围。（2）若第三条边长为整数，则第三条边长最长是多少（3）剪下一个什么样的三角形后（上面的三角形的一种情况，且第三条边长为整数），才能使剩下的面积最大【思路引导】本题涉及三角形的三边关系。第（1）问给出三角形的边长，就要想到三角形三边关系，即可确定第三条边长的取值范围；第（2）问根据第（1）问求的取值范围，结合边长为“整数”这个条件确定最长的边；第（3）问求剩下的面

2、积最大，即减掉的三角形的面积最小，三角形两边已经给出，要使三角形最小，则第三条边最小即可。【表达技巧】第（1）问中要表达出三角形三边关系，第（3）问中表达时从结论出发，步步向前，找到所需三角形。【评分标准】逻辑思维严密，语言组织简练、准确，每问得10分。共30分。【参考答案】（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则有43第三条边长43，即1第三条边长7；（2）小于7的最大整数是6，所以第三条边长最长是6；（3）要使剩下的面积最大，即减掉的面积最小，又知第三条边为整数，且1第三条边长7，所以第三条边长为2时，即三角形的三边分别为2、3、4时，剪下的三角形面积最小，则剩下的面积最

3、大。例题2：（2022西安某行知中学）两个地点之间一共有五个站牌（含两端站牌），每一个站牌之间需要一张车票，那么请问往返一共需要准备多少张车票（30分）【思路引导】本题是握手原理在实际生活中的应用。可把两地之间的线路想象成一条直线，五个站点是直线上的五个点，根据握手原理计算出两地之间单程需要的车票；从A地到B地和从B地到A地的起始点不同，所以在计算车票时往返路程都要算。可以先算单程的车票张数，再乘以2可得总共五个站牌往返一趟需要的车票张数。【表达技巧】在描述时首先需要表达清楚从A地到B地和从B地到A地的起始点不同，即需要两种不同的车票；从A地到B地总共有四站路，分别描述每站之间的不同类型的车票

4、，同理描述从B地到A地之间不同类型的车票；要说出两种不同方向总共需要的车票张数。【评分标准】说出起始点不同，车票不同，得5分；按照一定的顺序说出单程车票各有多少种，得15分，表达不清酌情扣分；说出需要的总票数，得10分。共30分。【参考答案】共需要准备20张车票。由题可知从第一个站牌到第二个站牌和从第二个站牌到第一个站牌的起始点不同，即是2种不同的车票。从第一个站牌到第五个站牌，以第一个站牌为起始站，在其余4站中任选一个为终点站，需要4种车票，以第二个站牌为起始站，后面站牌为终点站，需要3种车票，以第三个站牌为起始站，后面站牌为终点站，需要2种车票，以第四个站牌为起始站，后面站牌为终点站，需要

5、1种车票，共有432110（种）车票。同理，返回时也需要10种车票。故往返一趟共要准备101020（张）车票。真题演练：1（2108西安某尊德中学）一个长方形有几个角如果切掉一个角还剩几个角切的方法是什么（30分）【思路引导】本题涉及图形的认识和空间想象能力。在脑海中想象出长方形的图案，切掉一个角可以从边去切，可以从角去切，还可以边角同时切。【表达技巧】要说出长方形的角的个数；说出切法；分别切掉一个角后说出剩余的图形是几边形，再说出剩余角的个数。【评分标准】说出长方形的角的个数，得5分；说出切法和剩余角的个数及原因，1种得5分，2种得15分，3种得25分。共30分。【参考答案】长方形有4个角；

6、切掉一个角还剩角的个数有三种情况：第一种切法：沿对角线切2个对角，切完剩下3条边，所以剩3个角（可参考图）；第二种切法：一边切在角上，一边切在边上，切完剩下4条边，所以剩4个角（可参考图）；第三种切法：两边都切在边上，切完得到5条边，所以剩下5个角（可参考图）。2（2022西安某交大附中）（1）一个圆的半径是20厘米，它的周长增加1米，半径增加到多少厘米（15分）（2）将地球的赤道看作一个圆，它的周长增加1米，半径增加到多少厘米联系上一问，你发现了什么规律（15分）【思路引导】本题涉及圆的周长公式及找规律。对单位进行换算，利用圆的周长公式计算出周长，再根据周长的增加计算出半径；找规律时，把（1

7、）（2）问中的共性提出来进行总结。【表达技巧】要说明单位之间的换算；在利用圆的周长公式计算半径时要有逻辑关系，本题的结果是找出规律，所以不能直接从增加的周长就得出增加的半径，而要从“原半径原周长增加后的周长增加后的半径增加的半径”这个关系去推理；找规律时，把特殊数据去掉，保留（1）（2）问中的共性内容，包括运算符号等。【评分标准】第（1）问满分15分，说出单位的换算，得5分，利用公式计算出半径，得10分；第（2）问满分15分，计算出结果得10分，联系（1）（2）问总结出规律，得5分。共30分。【参考答案】（1）根据圆的周长2R，则原来圆的周长为22040（厘米），它的周长增加1米，1米100厘

8、米，此时周长为40100厘米，此时半径为（40100）220（厘米），所以当周长增加100厘米时，半径增加到20厘米。（2）1米100厘米，设地球的半径为R厘米，则地区的周长为2R，根据圆的周长公式，当周长增加100厘米时，周长为2R100，此时半径为（22R100）2R。结合（1）、（2）问发现规律：半径增加的长度圆的周长增加的长度2。3（2022西安交大附中）三边都对应相等的两个直角三角形拼成一个四边形，那么所拼的四边形有几种情况说明一下拼的方法。（30分）【思路引导】本题涉及三角形的拼接。理解题意，本题没有说出直角三角形是等腰还是不等腰，首先需要分情况考虑，然后想一下两个直角三角形都可以

9、怎么拼接；拼接后的图形有三角形和四边形，本题只要求说出四边形的情况。【表达技巧】首先要分两种情况，这体现了逻辑思维是否缜密；按照每种情况分别表述拼接后的四边形的形状和拼法，这样表达比较清晰；在表达的时候要注意语言的使用，比如：短边、长边、斜边，短边所对的角、长边所对的角、斜边所对的角等，使得表达更明确。【评分标准】分两种情况说出三种不同的四边形的形状、拼法，得30分，如果不分情况，只说其中一种情况，得15分；在表达时种类不全、不能具体的描述出拼法或语言表达不具体的酌情扣分。共30分。【参考答案】本题没有说出直角三角形是等腰还是不等腰直角三角形，所以需要分情况：（1）当三角形是等腰直角三角形时，

10、可以拼成的图形有正方形和两个一样的平行四边形，具体拼法为：两个三角形中直角边重合，且一个三角形的锐角和另一个直角三角形的直角边重合，拼成一个平行四边形；两个三角形中斜边重合，拼成的四边形是正方形；（2）当三角形不是等腰直角三角形时，可以拼成的图形有长方形和两个不一样是平行四边形、任意四边形。拼成的四边形有四种情况，分别为：两个三角形中长直角边重合，短直角边所对的角方向相反、拼成一个平行四边形；两个三角形中短直角边重合，长直角边所对的角方向相反，拼成一个平行四边形，这个平行四边形和前一个不一样；两个三角形中斜边重合，两个相等的角合在一起组成一个风筝形状的任意四边；两个三角形中斜边重合，两个相等的

11、角相反放置，组成一个长方形（任选三种即可）。4（2022西安某交大附中）如何用刻度尺和粗细均匀的圆柱形铅笔测一卷细铜丝的直径【思路引导】本题涉及学生实践创新的能力和动手操作的能力。通过题目可知铜丝很细，不能直接测量直径，需要借助工具，而题目给的铅笔是圆柱形的，可以把铜丝缠绕在铅笔上，测量n根铜丝的直径；用刻度尺测量，注意最后要算出直径。【表达技巧】注意每个字母代表的量，一般使用常规的字母表达相应的量，例如长度用L，直径用D等；在表述的过程中，要注意前后顺序、逻辑思维的连贯性和语言的完整性。【评分标准】方法不一，只要表达思路清晰，语言完整，能得出结果即可得30分，在表达中如果没有合理使用工具或者

12、没有记录数据，酌情扣分。共30分。【参考答案】方法一：先把铜丝在铅笔上一次紧密螺旋缠绕n圈，n的多少取决于测量的方便程度，然后用刻度尺测量绕线在铅笔上的长度，记为L，用L除以n即可得到铜丝的直径。方法二：先用刻度尺测出铅笔的直径记为d，然后用粗细均匀的铜丝在铅笔同一处叠加绕n圈，再用刻度尺测出铜丝最外圈所在圆的直径D，即可求出铜丝的直径。5（2022西安某交大附中）（1）给你一把刻度尺，一根棉线，一支铅笔，你将如何在地图上量出陕西省省界线在地图上的周长说出你的方法。（15分）（2）用上面和陕西省在地图上省界线周长相同的棉线，围成一个正方形，则该正方形的面积和陕西省在地图上的面积相等吗你将怎样计

13、算出陕西省在地图上的面积（15分）【思路引导】本题涉及测量与估算，意在了解学生对生活中新事物的探索能力。因为地图中陕西省界线是不规则图形，要想到不规则图形测量边长的方法是用一根线摆出图形样子，再量线的长度；周长相等的图形，面积不一定相等，不能受经常见的长方形、正方形和圆的思维定势，正方形的面积较容易算出，计算不规则图形的面积可以考虑用网格法来计算。【表达技巧】测量类题目，只能使用题目中给出的工具，在描述时需要刻度尺、棉线、铅笔的使用表达清楚；注意周长相同的两个图形，面积“不一定”相等和“不”相等的区别；利用网格法来计算面积，需要将具体的计算方法表达清楚。【评分标准】第（1）问说出工具的简单使用

14、情况，得5分，再说出具体方法，语言简洁、准确，得10分；第（2）问回答出周长与面积关系得5分，说出测面积的具体方法，描述准确，得10分。共30分。【参考答案】（1）我用铅笔头压住棉线的头固定在地图上陕西省省界线上的某一点，然后将棉线压着陕西省省界线摆一圈，将棉线上摆外一圈后与起点重合的那一点做好记号，然后展开棉线，用刻度尺测量棉线头到有记号的那一点的长度，即地图上陕西省省界线的周长。（2）用上面和陕西省在地图上省界线周长相同的棉线，围成一个正方形，则该正方形的面积和陕西省在地图上的面积不一定相等。正方形的面积根据周长可以很快计算出来，测量陕西省在地图上的面积，可以将地图上陕西省的图形放在一个格

15、子较小（例如1cm）的网格图中计算，运用割补的方法估算所占格子数或者用数格子的方法，先把地图所占满格子数完，把不满格子数完除以2，再加上满格数即可估算出陕西省在地图上的面积。6（2022西安某交大附中）（1）有一个小正方形的边长为6厘米，一个大正方形的边长为15厘米，问大正方形可以裁成几个这样的小正方形（10分）（2）有边长为60厘米的正方形地砖若干块，请问：在边长为150厘米的正方形地毯下最多能放几块完整的边长为60厘米的正方形地砖（10分）（3）有若干个棱长为3厘米的正方体，请问：最多能放多少个这样的正方体在棱长为20厘米的正方体里（10分）【思路引导】本题涉及图形的裁剪。平面图形中，大正

16、方形裁小正方形，首先考虑每边可裁得几个小正方形的边长，利用除法求解得商，裁的小正方形的个数为商乘以商；在地毯下铺地砖相当于把地毯裁成地砖，可以裁几块；立体图形中，大正方体中放小正方体，相当于把大正方体裁成小正方体，可裁几块，利用除法求解得商，裁的小正方体的个数为商的立方。【表达技巧】表达的时候，注意单位，商和余数的单位是不一样的。【评分标准】每问说出思路与计算过程，回答正确各得10分，如果只有结果，得5分。共30分。【参考答案】（1）1562（个）3（厘米），224（个），所以大正方形可以裁成4个这样的小正方形。（2）150602（块）30（厘米），224（块）。所以在边长为150厘米的正方形

17、地毯下最多能放4块完整的边长为60厘米的正方形地砖。（3）2036（个）2（厘米），666216（个）。所以最多能放216个棱长为3厘米的正方体在棱长为20厘米的正方体里。7（2022西安某交大附中）（1）用长为10cm的彩纸制作彩带，每两张彩纸粘贴重叠的部分为2cm，问5张彩纸能制作多长的彩带（15分）（2）若要制作一条长为162cm的彩带，问需要几张这样的彩纸说出你的思路。（15分）【思路引导】本题涉及图形找规律。本题没有给出具体的图，学生在自己的脑海中想象出图是；找出规律，此处如果不能直接找出规律，可以从最简单的形式进行总结，n张彩纸重叠n1次，对第（1）问，5张彩纸重叠4次，然后计算彩

18、带长，对第（2）问，根据规律求出需要的彩纸数量。【表达技巧】找规律问题，先把规律的通项公式表达出来；重叠的次数、长度与总彩带的长度之间的关系要逐步表述清楚；题目给出具体的数据，结果要算出确定的值，如果不能算出具体的值，也要把数据代入式子表达完整。【评分标准】第（1）问中说出通项公式，得5分；计算出彩带长度，得10分；第（2）问中计算出彩纸的张数，得15分；只有结果，没有过程各得一半分。共30分。【参考答案】（1）第1张彩纸长为10cm，由于重叠的部分为2cm，相当于从第2张彩纸开始，每次增加了（102）cm的长度，重叠的次数为（n1）次，所以n张彩纸可以制作彩带的长度为10（102）（n1）c

19、m，所以5张彩纸制作的彩带长度为10（102）（51）42（cm）。（2）通过第（1）问可知n张彩纸可制作彩带的长度为10（102）（n1）8n2；制作的彩带长为162cm，即8n2162，解得n20，所以需要20张这样的彩纸。8（2022西安某长安一中）用12个边长为1cm的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少cm请你说出具体的解答过程。（30分）【思路引导】本题涉及数的分解和图形的拼接。长方形的面积等于长宽，根据面积一定，可知拼接的图形的长和宽有多种，得到的周长也有多种，因此可以把12分解质因数，然后把一个因数作为宽，另一个因数作为长拼接，计算长方形的周长。【表达技巧】把12分解

20、质因数，按照一定的顺序表达，在说拼接的时候，按照行或列从小到大，有顺序的把每种情况都说出来，再说出长方形的长金额宽，最后计算周长。【评分标准】正确分解质因数并说出1种周长及拼法，得10分，说出2种周长及拼法，得20分，说出3种周长及拼法，得30分。共30分。【参考答案】把12进行分解质因数，121122634，则12个小正方形可以拼成的长方形有以下几种方式：当小正方形摆成一行，则长方形的宽为1cm，长为12cm，故周长为（112）226（cm）。当小正方形摆成两行，则长方形的宽为2cm，长为6cm，故周长为（26）216（cm）。当小正方形摆成三行，则长方形的宽为3cm，长为4cm，故周长为（

21、34）214（cm）。9（2022西安某高新一中）西安某区计划实行40%的绿化面积行动。（30分）（1）现有一片700平方米的空地，则需要绿化的面积为多少平方米（2）若已经绿化的面积为210平方米，那么还需要再绿化多少平方米【思路引导】本题涉及百分数的应用。第（1）问根据需要绿化的百分比来计算需要绿化的面积；第（2）问告诉了已经绿化的面积，利用第（1）问可计算出还需要绿化的面积。【表达技巧】在表达时需要分步骤去描述。【评分标准】正确的计算出绿化面积，得15分；正确的计算出还需要绿化的面积，得15分。共30分。【参考答案】（1）需要绿化的面积为70040%280（平方米）。（2）已经绿化210平

22、方米，则还需要再绿化28021070（平方米）。模拟特训：1小张买了24瓶汽水，每4个空瓶可以换1瓶汽水，小张最多能喝到多少瓶汽水（30分）【思路引导】本题涉及策略问题。要解决最多喝汽水瓶数，需考虑：买24瓶汽水，至少先喝24瓶；把1瓶汽水可以分成1个空瓶和1份不带瓶的汽水，根据4个空瓶换1瓶汽水，得到3个空瓶1瓶不带瓶的汽水，计算出喝到的汽水瓶数。【表达技巧】根据汽水瓶数、空瓶数，逐步分析汽水数；紧扣“每4个空瓶换1瓶汽水”进行阐述。【评分标准】说出24瓶汽水可先喝24瓶，得10分；根据3个空瓶1个不带瓶汽水计算出结果，得20分；表达不完整酌情扣分。共30分。【参考答案】因为有24瓶汽水，可

23、先考虑喝到24瓶汽水，又因为4个空瓶可以换1瓶汽水，相当于4个空瓶1个带瓶汽水1个空瓶1个不带瓶汽水，即3个空瓶1个不带瓶汽水。所以这24瓶汽水可以换2438（瓶），最多可以喝24832（瓶）。2有两根分布均匀的香，它们的长短不一样，粗细也不一样，从一端燃烧，每根烧完都是确定的1个小时，你能用什么方法来确定15分钟（30分）【思路引导】本题涉及策略问题。解答时需考虑：根据香的长度、粗细是不一样的；若每根香都从两端同时点燃，则烧完时间将缩短为原来的一半；燃烧1小时60分钟15分钟4。【表达技巧】逐步分析先得到30分钟时间，再确定15分钟；明确如何巧用两根香；本题和时间有关，注意点燃的“同时”性。

24、【评分标准】说出点燃两端的方法，得30分钟时间，得15分；给出确定15分钟的方法，表述合理，得15分。共30分。【参考答案】将两根香分别记为A，B。点燃A的一端，同时点燃B的两端，当B燃尽时，便是30分钟的时间，此时A还剩下一半的长度，再点燃A的另一端，这样，从A的另一端开始点燃，到最终燃尽，这个时间就是15分钟的时间。3有四根长度分别是2厘米、3厘米、4厘米和5厘米的木条，任选三根木条拼成一个三角形，可以拼成几种不同的三角形（30分）【思路引导】本题涉及三角形的三边关系。解答的关键点有两个：判断的依据是在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；所给的四个长度中，任选三个可以

25、有多少种不同的组合。【表达技巧】先给出判断三边可以组成三角形的方法，再说出每种组合形式，然后每组都要给出判断的依据，确定是否可以组成三角形。【评分标准】判断出符合题意的三种情况，每一种情况得10分，共30分。【参考答案】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，则可知：第一组：2厘米，3厘米，4厘米，234，324，所以符合题意；第二组：2厘米，3厘米，5厘米，因为235，所以不符合题意；第三组：2厘米，4厘米，5厘米，245，425，所以符合题意；第四组：3厘米，4厘米，5厘米，345，435，所以符合题意。综上所述，可以拼成三种不同的三角形。4有一根长为36分米的铁丝做一

26、个长方体框架，并且要求长是宽的2倍，长、宽、高都是整数。如果不计损耗，可以做成的长方体体积最大是多少立方分米（30分）【思路引导】本题涉及长方体的体积。解题时需考虑：棱长总和（即铁丝长）与长方体的长、宽、高之间的关系；满足已知条件“长是宽的2倍”及“都是整数”的长、宽、高的具体长度情况；可从最小的整数开始尝试得到体积的所有可能。【表达技巧】根据铁丝长表达出“长宽高”的长度；说出长、宽、高的值时要对应，每种情况说出来后就直接说体积的计算，不容易混乱。最后要给出最大值。【评分标准】说出长、宽、高三者之和，结果正确，得5分；说出长、宽、高三者长度的两种情况及各自体积计算均正确个得10分；说出最大体积

27、的值，得5分。共30分。【参考答案】根据长方体的棱长公式可知，长宽高3649（分米），而长、宽、高都是整数，且长是宽的2倍，满足条件的有两组：长、宽、高分别为2分米、1分米、6分米时，体积12612（立方分米）。长、宽、高分别为4分米、2分米、3分米时，体积24324（立方分米）。综上所述，长方体的体积最大是24立方分米。、B、C三个点，线段AB长26厘米，线段BC长18厘米，那么线段AC的长是多少厘米（30分）【思路引导】本题涉及线段的和差。解答时需考虑：点A、B、C在直线上有几种不同的位置关系；结合线段AB、BC的长，脑海中浮现线段的情况图，如解图；分别分情况，判断点C的位置是否符合题意，

28、给出AC的长。【表达技巧】固定A、B两点，分情况说出C点的位置，再计算长度，这样比较清晰。【评分标准】C点的三种情况说清楚，并计算出来各得10分；计算错误，表达不完整酌情扣分。共30分。【参考答案】根据题目描述，则点C可在线段AB上、左边、右边，又因为AB26厘米，BC18厘米。情况一：点C在线段AB上（如解图），ACABBC26188（厘米）。情况二：点C在线段BA的延长线上，即在点A左侧，因为ABBC（如解图），所以不存在这种情况。情况一：点C在线段AB的延长线上，即在点B右侧（如解图），ACABBC261844（厘米）。综上所述，线段AC的长是8厘米或44厘米。6有9颗钢珠，其中8颗一样

29、重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最少称几次，可以找到那颗较轻的钢珠（30分）【思路引导】本题涉及找次品的最佳策略。解答本题的关键是将9颗钢珠进行合理的分组，逐步试验，从而找出次品。解答时需考虑：将总量平均分组，先确定较轻钢珠所在组；从较轻的钢珠所在组，再确定较轻的那颗钢珠。【表达技巧】先给出分组的方法；再逐步给出测量的方法；方法的描述的层次性，需依次递进。【评分标准】确定出较轻的钢珠所在组，得15分；确定出较轻的那颗钢珠，得15分。共30分。【参考答案】最少称2次，即可找到那颗较轻的钢珠。把9颗钢珠平均分成3组，先把其中两组放在天平上称量，若天平平衡，则较轻的在第三组；若天平不平衡，则较轻

30、的在天平上升的一组；再把有较轻钢珠的一组，拿出两个分别放在天平的左右两边，若天平平衡，则剩下的那颗就是较轻的；若天平不平衡，则上升一方就是较轻的。这样用两次就可以找出那颗较轻的钢珠。7用一副（2块不同的）三角板，最多能拼出多少种大于0，不大于180的角（30分）【思路引导】本题借助三角板拼角了解学生的动手操作能力。解答时需考虑：一副三角板分别有哪些不同的角度；两个角都可以如何拼；所得的这些不同的角里大于0，不大于180的角有几个，此处注意有的拼法不同，但是拼成的角度是相同的。【表达技巧】先表述一副三角板的所有角；分别从求和、求差两个方向给出拼的所有可能得到的角度；注意本题中不大于180的角指的

31、是小于等于180的角。【评分标准】两个角求和所得到不同角全部正确，得15分；两个角求差所得不同角全部正确，得15分；求的角有遗漏，根据情况酌情扣分。共30分。【参考答案】一副三角板的角分别有30，60，90；45，45，90；两个角求和可拼的大于0，不大于180的角有：304575，3090120，6045105，6090150，9045135，9090180；两个角求差可拼的大于0，不大于180的角有：453015，903060，903060，604515，904545，所有，可拼的角有：15，30，45，60，75，105，120，135，150，180，因此最多可以拼10种大于0，不大于180的角。，在不计算的情况下，如何将这个正方形的面积扩大1倍（扩大后的图形还是正方形）（30分）【思路引导】本题涉及正方形的相关性质。解决本题的关键是将