三角函数实际应用题答案解析版本.docx

1、三角函数实际应用题答案解析版本三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念 仰角与俯角： 在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的叫做仰角， 在水平线方的叫做俯角如图 坡角与坡度： 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 （或叫做坡比） ，用字母表 示为 i h ，坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 i h tan 坡度越大，坡 ll 面就越陡如图 方向角（或方位角） ：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东西）度 . 如图2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： 分析

2、题意， 根据已知条件画出它的平面或截面示意图， 分清仰角、 俯角、 坡角、 坡度、 水平距离、垂直距离等概念的意义； 找出要求解的直角三角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线， 把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算， 检验是否符合实际， 并按题目要求的精 确度取近似值，注明单位3. 0、30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值 （重要）三角函数030 456090 sin01231222cos13222120tan03313-cot-31330典型例题类型一 .所求

3、线段由两段和差组成。例题 1. （2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 2018年 5月成 功完成第一次海上试验任务 . 如图，航母由西向东航行，到达 A处时，测得小岛 C 位于它的 北偏东 70 方向，且于航母相距 80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 C 位于它的 北偏东 37 方向.如果航母继续航行至小岛 C的正南方向的 D 处，求还需航行的距离 BD的长 . （参考数据：sin700.94 ， cos70 0.34， tan702.75 ， sin37 0.6 ，cos37 0.80，tan370.75). 解：由题知：ACD70 ，BCD 37 ， AC

4、80.在 Rt ACD 中，cos ACD CDCD，0.34 ，CD27.2(海里） .AC80在 Rt BCD 中，tan BCD BDBD，0.75 ， BD20.4（海里） .CD27.2答：还需要航行的距离 BD的长为 20.4 海里 .变式 1. 为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏 上方增加隔音屏 如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角 ABC 的度 数是 20，仪器 BM 的高是 0.8m，点 M 到护栏的距离 MD 的长为 11m，求需要安装的 隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m，参考数据：sin2

5、0 0.34，cos200.94， tan20 0.36)解：由题意： CD BM 0.8m， BCMD11m，在 RtECB 中， ECBC?tan20 110.363.96（m），ED CD+EC3.96+0.84.8（m），ED 的长 4.8m答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离2.如图，登山缆车从点 A出发，途径点 B 后到达终点 C。其中 AB 段与 BC段的运行路程为 200m，且 AB段的运行路线与水平面的夹角为 30 ， BC段的运行路线与水平面的夹角为 42 ，求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离。 （参考数据： sin42 0.67 ， cos42 0.74，

6、tan42 0.90 ）答案： 234 米3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE ，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点 C的俯角为 30 ，测得大楼顶端 A的仰角为 45（点 B,C,E在 同一水平直线上） 。已知 AB 80m， DE 10m，求障碍物 B,C 两点间的距离。 （结果精 确到 0.1m ，参考数据： 2 1.414， 3 1.732 ）解：如图，过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H则 DEBFCH 10m，在直角 ADF 中， AF80m10m70m，ADF 45，DF AF70m在直角 CDE 中， DE 10

7、m， DCE 30，CEBC BECE7010 7017.3252.7（m）答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7m类型二：辅助线技巧例题 1（ 2017 成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾 到古镇 C游玩，到达 A地后， 导航显示车辆应沿北偏西 60 方向行驶 4 千米至 B地，再沿北偏东 45 方向行驶一段距离到达古镇 C ， 小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，求B,C 两地的距离。解：过 B作BDAC 于点D在 RtABD 中， AD=AB?cosBAD=4cos60=4BD=AB?sinBAD=4 =2 （千米），BCD 中， CBD

8、=45 ，BCD 是等腰直角三角形， CD=BD=2 （千米）， BC= BD=2 （千米） 答：B，C 两地的距离是 2 千米变式 1 如图，南沙群岛是我国固有领土， 现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业， 当渔船航行至海面 B处时，测得该岛位于正北方向 201 3 海里的 C 处，为了防止某国海 巡警干扰，就请求我 A处的渔监船前往 C处护航，已知C位于 A处的北偏东 45 方向上， A由题意得， ACD45， ABD 30设 CD x，在 RtACD 中，可得 ADx， 在 Rt ABD 中，可得 BD x， 又 BC20（1+ ）， CD+BDBC，即 x+ x 20（ 1+

9、），解得： x 20， AC x20 （海里）答： A、 C 之间的距离为 20 海里2.（2017 武侯二诊） 为促进我市经济的快速发展， 加快道路建设， 某高速公路建设工程中需 修隧道 AB ，如图，在山外一点 C测得 BC距离为 200m， CAB 45 ， CBA 30 ， 求隧道 AB 的长。解：过点 C作CDAB于 D，BC800m， CBA30，在 Rt BCD 中，CD BC400m，BDBC?cos30 800 400 693（ m）， CAB 54，在 RtACD 中，AD 231（ m）， AB AD + BD 693+231 924（ m）答：隧道 AB 的长为 924

10、m3.渔船上的渔民在 A处看见灯塔 M在北偏东 60 方向，这艘渔船以 28海里/时的速度向正东 航行，半小时到 B处.在B处看见灯塔 M在北偏东 15 方向，求此时灯塔 M与渔船的距离 北北ABBM= 7 2CD上的 C 处引拉线 CE、CF固定电线杆，拉线 CE和地6 米的 B 处安置高为 1.5 米的测角仪CE的长CE=4+ 3变式 1如图，某中学在主楼的顶部 D 和大门 A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主 楼的距离 BC90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是 30，而当时测倾器离地面 BE BC 45m， EF 45m， DEF 30 ， DFE 90， tan30，解得， DE

11、15 ， EB m，DC 15 16 m，即学校主楼的高度是 16 m；（ 2）作 AGBC 交 DC 于点 G，BC AG45m，AB m，DC 16 m， GC AB 3 m，DG 16 3 13 m， AGD 90， AD 2 m，即大门上方 A 与主楼顶部 D 的距离是 2 m2 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的 BAD 60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？（结果精确到 0.1cm，参考数据： 1.732）解：由题意得： A

12、DCE，过点 B 作 BMCE， BFEA，灯罩 BC 长为 30cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，sin30 CM 15cm，在直角三角形 ABF 中， sin60解得： BF 20 ，又 ADC BMD BFD 90四边形 BFDM 为矩形，MDBF，CECM+MD+DECM+BF+ED15+20 +251.6cm 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 51.6cm3 如图，要在宽为 22 米的大道两边安装路灯， 路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公 路

13、路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱 BC 高度解：如图，延长 OD，BC 交于点 P ODC B 90， P30，OB11米，CD2米，在直角 CPD 中， DP DC ?cos30 m，PCCD（sin30） 4米， P P， PDC B90 PDC PBO， BC PB PC（ 11 4）米类型三 .双直角三角形与方程思想例题 1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A ，又在河的另一岸边取两点 B,C ,测得 30 , 45 ，量得 BC长为 100米，求河的宽度（结果保留根号）。解答 :50 3 +50变式 1 如图，小明在一块平地上测山高， 先在 B 处测得

14、山顶 A 的仰角为 30，然后向山脚直行 100 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45，那么山高 AD 为多少米？ （结果保留整数， 测角仪忽略不计， 21.414， 31.732）解：如图， ABD30，ACD 45，设 AD xm，在 Rt ACD 中， tanACD CADD BD BC+CDx+100，在 Rt ABD 中， tan ABD AD ， BDx 33x+100)，BC 100m， CD AD x， x 50( 3+1 137 即山高 AD 为 137 米2. 如图，是某市一座人行天桥的示意图， 天桥离地面的高 BC 是 10 米， 坡面 10 米处有一建 筑物

15、HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角 BDC =30，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否 需要拆除（计算最后结果保留一位小数）（参考数据： 2 = 1. 414， 3 =1. 732）3.为了测量白塔的高度 AB，在 D 处用高为 1.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A的仰角为 42， 再向白塔方向前进 12 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 61，求白塔的高度 AB （参考数据 sin420.67，tan420.90，sin61 0.87，tan61 1.80，结果保留整数）解：设 AE x，在 Rt A

16、CE 中，在 Rt AFE 中，由题意得， CFCE FE 1.1x 0.55x12，解得： x ，故 AB AE+ BE +1.5 23 米答：这个电视塔的高度 AB为 23米例题 2（ 2014成都）如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P的仰 角是 45，向前走 6m到达 B点，测得杆顶端点 P和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30。（ 1）求 BPQ 的度数；（2）求该电线杆 PQ 的高度（结果精确到 1m）。备用数据： 3 1.7 ， 2 1.430 度，9 米变式 1.如图：某电信部门计划修建一条连结 B、C 两地的电缆，测量人员在山脚 A点测得B 、

17、 C两地的仰角分别为 30 、45 ，在B地测得C地的仰角为 60 ，已知C地比A地高200m ，电缆 BC 要多少米？（结果保留根号）2.数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知 CD 2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中 CAH30， DBH 60， AB10m，请你根据以上数据计算 GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）解：延长 CD 交 AH 于点 E，设 DE x，则 BE A 30， x 5 3 ， GH EC5 1（ m）答： GH 的长为（ 5 1） m3 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长），直线 MN 垂直于地面，垂

18、足为点 P在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58、点 N 的仰角为 45， 在 B 处测得点 M 的仰角为 31， AB5米，且 A、B、P 三点在一直线上请根据以上 数据求广告牌的宽 MN 的长（参考数据： sin58 0.85， cos58 0.53， tan58 1.60，sin31 0.52，cos31解：在 Rt APN 中， NAP45PAPN，设 PA PN x， MAP 58MPAP?tanMAP1.6x， MBP 31， AB5， 0.6 ， x 3，MNMP NP0.6x1.8（米）， 答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米课后练习：1. （ 2016 成都）在学习完

19、“利用三角函数测高 ”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校 旗杆高度的实践活动。如图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB 1.5m，测得旗杆顶 端 D 的仰角 DBE 32 ，量出测点 A到旗杆底部 C 的水平距离 AC 20m，根据测量数 据，求旗杆 CD的高度。（参考数据： sin32 0.53 ， cos32 0.85， tan32 0.62）2.如图，海面上以点 A 为中心的 4 海里内有暗礁，在海面上点 B 处有一艘海监船，欲到 C 处去执行任务，若 ABC45，ACB37，B，C两点相距 10 海里，如果这艘海 监船沿 BC 直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由（参考数据

20、： sin37 0.60， cos37 0.80， tan37 0.75）】解：如果这艘海监船沿 BC 直接航行，不会有触礁的危险；理由如下： 作 AM BC 于 M，如图所示： ABC 45，ABM 是等腰直角三角形， AM BM ，设 AMBMx 海里，则 CM 10 x（海里），在 RtACM 中， tanACBtan37 0.75，如果这艘海监船沿 BC 直接航行，不会有触礁的危险3.某海域有 A,B 两个岛屿 ,B 岛屿在 A 岛屿北偏西 30方向上 ,距 A 岛 120 海里 ,有一艘船从 A 岛出发 ,沿东北方向行驶一段距离后 ,到达位于 B 岛屿南偏东 75方向的 C 处 ,求

21、出该船与 B 岛 之间的距离 CB 的长 （结果保留根号 ）.4.一艘轮船位于灯塔 P南偏西60 方向的 A处，它向东航行 20海里到达灯塔 P南偏西 45 方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行图中与灯塔 P 的最短距离。（结果保留根号）5.如图，已知楼房 AB高 40米，铁塔 CD 塔基中心 C到 AB楼房房基 B点的水平距离 BC为50 米，从 A 望 D 的仰角为 26.6，求塔 CD 的高（参考数据： sin26.6 0.45，cos26.60.89，tan26.6 0.50）解：过A作 AECD于 E，则 AEBC50 米， ABCE40 米，在 Rt AED 中，

22、 DAE 26.6， tanDAE ， DE AEtan DAE 50 tan26.6 50 0.50 25 ，CDCE+DE40米+25 米 65米， 即塔 CD 的高约为 65 米6.如图， C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需绕行 B 地已知 B 地位 于 A 地北偏东 67方向， 距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南偏东 30方向 若打通穿山 隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长 （结果保留整数）解：过点 B 作 BD AC 于点 D，B地位于 A地北偏东 67方向，距离 A地 520km， ABD 67， AD AB?si

23、n67 520 480km，BDAB?cos67 520 200kmC地位于 B 地南偏东 30方向， CBD 30，CDBD?tan30 200答： A 地到 C 地之间高铁线路的长为 595km7.如图，一辆滴滴快车在笔直公路上由西向东行驶， 行驶至 A 处时接到正东方 B 处乘客订单， 但师傅发现油量不足， 马上左拐 30，沿 AC 行驶 1200 米到达加油站 C 处加油， 加油用 时 5 分钟，加油后再沿 CB 行驶 1000 米到 B 处接到乘客，假设滴滴快车的平均速度是每 分钟 360 米，其他情况忽略不计，滴滴快车让乘客多等了多少时间？（结果保留整数 1.414， 1.732，

24、 2.236）解：如图作 CHAB 于 H 在 RtACH 中， AC 1200， A30，AB1893，AC+BC 2200，8（8 分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上， A、B 之间的距离约为 49cm，现测得 AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45与 68 ，若点 C 到地面的距离 CD 为 28cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm， 求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数） （参考数据： sin68 0.93，cos68 0.37， cot68 0.40）解答】 解：过点 C 作 CH AB 于点 H，过点 E 作 EF 垂直于 AB 延长线于点 F，设 CH x，则 AHCHx，BHCHcot68 0.4x，由 AB 49 知 x+0.4 x 49，解得： x 35，BE4， EF BEsin68 3.72，则点 E 到地面的距离为 CH+CD+EF35+28+3.7266.7（ cm）， 答：点 E 到地面的距离约为 66.7cm