概念的分类.docx

1、概念的分类1引言 21.1选题背景 21.2研究的目的和意义 31.3术语界定 31.3.1数学概念 31.3.2数学概念的特点 32数学概念学习的研究现状 62.1国内研究现状 62.2国外研究现状 73概念的分类 83.1描述性概念 83.2建构性概念 94影响数学概念的几点因素 94.1教材编排对数学概念学习的影响 94.2先行组织者对数学概念学习的影响 174.3问题引入法对数学概念学习的影响 174.4发展性评价对数学概念学习的影响 184.5活动经验对数学概念学习的影响 225 椭圆概念课的案例对比 255.1 自学法 265.2 对比教学法 295.3 欣赏教学法 325.4 预

2、习教学法 335.5 椭圆一课不同版本的分析比较 386教学的一点建议 436.1用人文眼光重新审视概念课教学 436.2把握课堂组织形式的多元变化 431引言1.1选题背景有很多学生在小学、初中阶段学习一直名列前茅，学习中很多概念都可以在生活中轻易地找到原型，数学学习起来也是胸有成竹、如鱼得水，但是到了高中阶段就会茫然不知所措，有同学问我“老师，这里学习的椭圆和以前说的扁圆一样吗？”“抛物线我们初中也学过啊，挺好理解的！怎么现在概念一学，反而觉得这么陌生呢？原来学的还叫抛物线吗？”“”足以见得，自然科学的发展规律是在从直观到客观、从感性到理性、从重形象到重逻辑等规律在不断往复前进，我们学习知

3、识的规律也自然逃脱不了，小学、初中阶段所学东西很多都可以在生活中找到原型，是比较直观感性的，学生很容易通过类比加以递推、应用，而高中阶段，有些概念是数学家经过几代人的努力，不断斟酌改进，才浓缩提炼出来的精华，包含着严谨的逻辑和科学的推导，因而读起来难免拗口、抽象。在学习的进程中，我们开始接触到的是一些例子直接得到的，模糊甚至不准确的概念描述形式，在以后的学习过程中，在原有概念的基础上，再不断地加以修改、完善，也正因为前后学习同一概念的描述形式不同，也直接造成了学生的学习障碍，无法很快地调整学习策略，适应新的学习模式，从而陷入恐慌，不知所措。鉴于此种现象，本文作者将从概念分类的角度，挖出这些通过

4、人为逻辑推导出来的数学概念，通过教材编排、表征形式、先行组织者、问题引入方式、发展性评价、活动经验以及小学、初中、高中、大学各学段知识的衔接角度来分析此类概念的教法，指出学生更应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程来加深到概念的理解运用，并且对典型的椭圆的标准方程一课给出案例对比分析，希望能为此类概念找到最好的讲解方式作出自己的一点贡献。1.2研究的目的和意义1.3术语界定1.3.1数学概念课程标准（实验稿）中对数学的概念描述是：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、行程方法和理论，并进行广泛应用的过程。修正稿则指出：数学是研究数量关系和空间形式

5、的科学。数学是由抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，也正因它的抽象和严谨的逻辑性，在培养人的理性思维和创新能力方面更是起到不可替代的作用，它作为人类文化的重要组成部分，被广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。正因为它的基础性、普及性和发展性，使得在生产、生活、科学、技术等方面到处都能看到它的影子，它是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的重要工具。数学概念是通过数学语言和符号以揭示事物共同属性的一种形式，是从空间形式、数量关系方面来反映事物的本质属性和内在联系的。数学概念是建立数学公式、定理、法则的基础，也是推理、判断、运算和证明的前提，是数学思维、交流的源泉，更是数学与生活完美桥梁的

6、基石。数学概念的来源，可以是从客观世界的某个方面直接抽象得出，也可以在已有的数学理论的基础上通过逻辑建构得到。数学概念反映的可以是“过程”和“对象”两个方面：“过程”即可操作的法则、定理、公式、原理等；“对象”则为数学中定义的结构、关系等。我们学习和模仿的也多是过程阶段，因为此时概念的外在表现只是一系列固定的操作步骤，相对直观。而要想整体把握概念，还是要进入对象状态，来研究其呈现的静态结构关系。1.3.2数学概念的特点数学概念的特点：1.表述抽象；2.表征多元；4.多维联系；5.理解分层等，数学的大网就是由各个概念组成一个多维交叉的网络组成的，每一个概念都有部分来自于其他概念的相互关系或出自系

7、统的整体特征，数学概念的重要特征就是被镶嵌到组织良好的概念体系中。课程标准指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。在概念学习中认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流都不失为一种有效的学习方法，数学的学习应该是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，通过学生的观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，培养学生的动手意识、团队精神、抽象思维、推理能力、探索精神和创新意识。从新课程标准的提出，学界就展开了对数学“基本思想”和“基本思想方法”的讨论，大家一致认为“思想方法”一词，更容易让人联想到解决问题的

8、一般方法，也就是解决具体问题时所采用的方式、方法、途径或手段，换种说法就是解决数学问题的策略，比如配方法、换元法、十字交叉法等，都是一些比较细微的、直接的、具体的。而“基本思想”却是宏观的概念，有一种普遍的指导意义，指人们对数学理论和内容的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点。更多地提示了数学发展中的普遍规律，是对数学规律的理性认识，直接支配着数学的实践活动。鉴于此，我们就看一下课程标准指出的“抽象”、“推理”、“模型”、“审美”四种基本思想，说起“抽象”，大家第一时间就会想到符号化思想、无限化有限思想、对应思想等思想方法，那总的来说就是要把日常生活和生产实践中，与数学有关

9、的东西提取出来，作为数学的研究对象。三角函数中，我们学习了司空见惯的角，但是只有赋予它新的定义即由轴正轴出发，逆时针旋转作为正方向而得到的角，才可以与我们熟悉的实数建立一一对应。这些抽象的思维，只是方便我们去记录、描述和分析，显然是非常有意义的。而“推理”，大家自然也不会忘了归纳、类比、数形结合等方法，因为我们知道数学的发展是非常自然的，而教科书作为数学和生活的一种媒界，呈现的数学内容就更是在人类长期实践中，经过千锤百炼而得到的数学的精华和基础，它的数学概念、数学方法和数学思想都有着自然的起源和发展。数学自身的发展就是依靠推理，那我们在学习生活中就需要通过一定的逻辑规律进行推导，以得到某些定理

10、、命题或推论。“模型”作为沟通数学学科与外部世界的桥梁，起着非常重要的作用。它是学生创新思维和应用能力的直接体现，通过模型化思想，把看到的生活现象抽象成数学问题，并按照一定的简化、量化、统计、方程、优化等流程，并最终将数学模型再应用到客观世界中去。不得不说，很多伟大的发现都是在这样的思想下创造出来的，是学生能力培养的重要方面。“审美”并不是数学特有的学科特点，其实在生活、生产的任何方面，我们都在潜移默化地应用着它，你希望你见到的东西简洁、统一、对称、和谐这无时无刻不是在体现着一种“美”的领悟，数学也是这样，只要你用心地去发现，就会被数学所散发的深深魅力所打动。学生后续学习能否对数学概念所反映的

11、对象进行数学表达和数学思考，影响 到学生的数学化水平和学习水平。只有抓住数学概念的特点，开展不同的教学策略，精心设计不同的课堂教学环节，才能展开丰富的教学活动，提高概念教学质量，为学生进一步运用数学概念符号进行表达和思考、掌握数学思想方法，打下坚实的基础。1.3.3数学概念的学习理论（1）皮亚杰的认知发展理论数学概念学习最典型的研究理论就是皮亚杰的认知发展理论，曾被公认为是20世纪发展心理学上最权威的研究理论。当时最流行的研究方法是通过对相同数量的实验人员或者多人资料统计等的方法，而皮亚杰则是通过对包括自己女儿在内的个别儿童，在完全自然的状态下通过连续、仔细观察，记录他们对事物处理的智能反应。

12、他指出所谓认知发展，就是个体自出生以后，在适应环境的活动中，面对问题情境或对事情的处理上思维方式和能力表现的不同，而这种适应在个体成长期间是一直连续变化的。皮亚杰认为：智力的本质即是一种最高形式的适应，用四个概念概括就是图式、同化、顺应和平衡。为使主体有效地适应环境，我们就会通过图式对客体信息进行整理、创造，并由同化或顺应两种方式来构建动态的心理认知结构。主体会把环境中的信息纳入并整合到自己已有的认知结构中去，这就是同化，通过主体适应、改造、过滤外界刺激，来使图式达到量的变化，并以此丰富原有的认知结构。而当主体的图式不能适应外部要求时，人们还会通过顺应，来改变原有的力式，甚至有时候还要创造新的

13、图式来适应环境需要。人类就是通过不断地对环境进行主动探索，利用同化和顺应间的相互渗透和影响来构建新的知识，并达到和环境的动态平衡。（2）布鲁纳的认知结构理念布鲁纳的认知结构理论是皮亚杰、乔姆斯等著名的结构主义的核心，它反应了美国心理学由行为主义向认知观改变的时代大背景，他强调学习的过程，而非结果。学生不应该是消极被动地接受知识，而应该成为积极主动的知识探索者，学习的目的不是掌握老师或者教材上现成的知识，而是通过教师创设的足以启发学生独立思考的问题情境，使学生主动参与到该学科的知识体系建立和完善的过程。“不愤不启，不悱不发”，教学强调的是学生内在动机的满足。而好奇心正是内部动机的原型，通过激发学

14、生的好奇和未知欲，以增强他们学习和发现的信心和动力。教师作为学习的组织者、引导者和合作者，不能一味地通过语言提醒，以图学生更快、更好理解，而应该鼓励学生的探究活动，让学生自己试着做，边想边做，边做边想，以形成丰富的想象和鲜活的经验基础。（3）APOS理论APOS理论是由美国的杜宾斯基等人创立的，他认为数学概念的学习是通过学生进行心理建构而实现的，具体经过四个阶段：操作或活动（Action）过程（Process）对象（Object）概型（Scheme）。杜宾斯基APOS理论认为，学生不能直接学到数学概念，而是通过心智结构使得所学的概念有意义。而教师教学的目的就是帮助学生建立适当的心智结构，因为很

15、多数学概念都非常抽象，利用皮亚杰及其相关理念很难在抽象数学概念的学习中作出扩展，他就指出这些内隐的数学概念的本质，学生可以通过一系列外显的探究活动来获得，如猜想、回忆、对比、计算、推理、特殊化等。这四个阶段并不是一定在每一堂课中都有体现，它只是适应于数学概念在学生头脑中建立的那段时间，学生通过亲身体验参与活动，感受概念形成的直观背景，为理解概念做好必要的准备。之后学生要对活动做进一步的思考、想象、内化和概括，通过在脑海中对活动的描述和反思，从而抽象出概念的全部特征。2数学概念学习的研究现状2.1国内研究现状数学概念历来被看作数学教学的逻辑起点，是学生认知体系的地基，是学生培养数学思维的核心，在

16、数学教学和发展中都有着非常重要的地位。学习数学概念中所渗透的数学原理，也正是数学课程发展和数学教学的理论基础。但是不得不说，以前的教育太重视学生解决问题的能力，更倾向于关注学生基础知识和基本技能的掌握，在机械性记忆结论、大量的反复练习等模式下，很难真正实现培养学生素质的目标。由此，中国的数学教育也在一直作出改革，而且对数学概念教学也都十分重视，但是由于没有系统的数学概念学习理论，或者是受到其它浅显或偏激的理论引导，而使大家觉得数学概念只是逻辑基础，只是为了得到形式化、符号化的结论，从而很少去关注和把握数学概念学习的原理和方法。其中最典型的就是“新数运动”，即“回到基础”，力图以结构化、形式化、

17、公理化的方式来引入数学。但是究其原因，把数学概念仅仅作为孤立的对象，而不去理会概念产生的过程和与其它概念之间的联系，学生只是通过机械、刻板地去记忆结论和符号，没有亲身参与和经历概念产生的过程，也就无法灵活实现概念的运用，更加不会建立起真正的概念网络。而这样就不能算作是学会了数学概念，同时，对数学学科也就难以理解、掌握，从而形成一个不好的循环。这些改革历来都是在基础性目标和发展性目标之中在做出平衡，到20世纪80年代以来，数学教学所依据的心理学原理仍然是“刺激反应”的行为主义理论以及皮亚杰与奥苏贝尔的同化理论。2.2国外研究现状古希腊哲学家亚里士多德和柏拉图、苏格拉底（柏拉图的老师）一起被誉为西

18、方哲学的奠基者，他曾得用哲学观点把概念分为关系的、实质的、定性的和定量的概念四类。教育心理学方面，根据概念的掌握途径的不同，也即概念的来源，苏联心理学家维果斯基(Lev Vygotsky)将概念分为日常概念和科学概念两类；美国的赫尔斯(Hulse)则根据概念或定义得出的难易程序，将概念分为易下定义概念和难下定义概念；而奥苏伯尔(D. P. Ausubel)则将概念分为初级概念和二级概念；甚至还有学者从逻辑学角度，把概念分为单独的与普遍的、集合的与非集合的、实体的与非实体的、正的与负的概念等，这些对概念的分类都各有特点，但是要想对宏大的数学概念家族做出精确地刻画和分类，还是不够全面准确。布鲁纳最

19、早提出概念假设检验理论，他认为概念是思维过程的核心，学校教育的基本目的之一就是要有效地帮助学生习得概念，他根据概念属性的呈现，将概念的分为：合取概念、析取概念和关系概念三种类型，其中将同时呈现两个或两个以上属性的概念称为合取概念。3概念的分类章建跃老师指出在课程改革的驱动下，现在的数学概念教学太过强调情境化、生活化，从而存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征的情况。数学概念的学习是数学学科的基石，它的多元和多维特征正体现着数学知识之间、数学与其他学科之间以及数学与生活之间的广泛联系性，只有学好概念，体现其中渗透的数学思想和情感价值，才能发挥数学教学的奠基性作用和对学生逻辑思维、抽象能力、创造思维培

20、养的持续性影响，是数学教学的重要任务。3.1描述性概念描述性概念顾名思义，就是指用生动、直接、具体的形式来描述概念，它是通过对客观世界中的空间形式或者数量关系而直接抽象得到的，与现实对象就会非常贴近，也很容易找到现实原型，有时候甚至人们自己也常常将概念本身和现实原型混为一谈、融为一体。如一提到三角形，我们自然就好像有一个三角形已经出现在眼前。我们所知道的描述性概念大多在义务教育阶段就已接触，它们都是通过直接观察获得的，其呈现形式也多由例子引入，具有一定的模糊性和不科学性。3.2建构性概念建构性概念是数学家在已知的数学理论基础上，通过逻辑建构出来的概念。它是抽象逻辑思维的产物，在现实生活中是没有

21、客观原型的，如方程、函数等，它是建构数学理论的重要组成部分，是数学发展的逻辑源泉。概念形成和概念同化是心理学上学习概念的两种基本方式，在数学学习中，有些概念是源于长期的生产实践，人们通过观察、对比已经有所发现，而经过科学家、数学家的抽象比较，进而寻找规律，形成数学概念。4影响数学概念的几点因素4.1教材编排对数学概念学习的影响数学从来都不是独立存在的，数学知识的学习也是希望能为学生未来生活、工作和学习奠定基础，课程标准指出，“数学课程的学习可以使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创意意识和实践能力；促进学生在情感、态度和价值观方面的发展”。而教材作为课程

22、内容传达的最佳媒介，直接关系到教师教和学生学的质量，是教学活动实施的主要依托，足以见得其重要性。随着社会发展的需要，教育的形式和内容也在不断地发生着日新月异的变化，无数的教育工作者投身到教育改革的浪潮中，不论是教学内容的变化、呈现方式的不同、编排顺序的改变、例题创设的变迁还是探索欣赏的增加等等改变，都是为了在合理利用教材的情况下，以激发学生学习数学的好奇心，增加对新知识的追求欲望，以培养其创新意识和实践能力。近几年随着“一纲多本”政策的实施，全国各地出现了各种版本教材百花齐放的奇异景观，每个教材都在自身地域特征和教学条件允许范围内，最大程度地做出创新，以期培养出更加全面的创新性人才。虽然要达到

23、培养新世纪人才所必备的数学素养这一宏伟目标，并不是只靠一本教材就能完成的，但是到底哪种教材更合适？教师们便要苦心研究其各自编写的意图、编写理念、编写顺序等，从数学概念的学习角度，概念的引入方式、呈现形式、例题选择等都会直接导致学生理解概念的准确程度。而通过比较可以发现不同版本的教材在内容的选择上面也是十分地独到，下面，本文作者将以数列一课为例，从章节分布、概念引入、例题选择三个方面来比较研究。选择数列一课，因为它非常有代表性，如果学生没有完全理解概念，在考试大潮的席卷下，很可能会陷入只会做题的误区。而通过对高三年级学生的问卷分析，也发现绝大部分学生认为数列一章是一个独立的模块，本章的学习结束之

24、后会存在这样一种极端的弊病，认为数列就是等差和等比数列，学习数列只是为了做题求等差和等比混合之后新数列的通项公式和前n项和。出现这种现象的原因，是教师没有好好把握教材，因为教材呈现的数学概念和性质都是人类长期实践中经过不断地修正拓展、千锤百炼得到的数学的精华和基础，而要在极小的篇幅内给大家以呈现，同时还要保证基础教育的普及、基本思想方法的传播、基本数学素养的渲染是非常不易的。教师在讲授的同时，要注意体会它的背景、形成过程、应用以及它与其他概念的联系，只要这样，学生才会觉得这一切是合情合理、浑然天成的。（1）数列目录比较目录分析人教A版（必修5第二章）2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考 斐

25、波那契数列信息技术应用 估计的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考 九连环探究与发现 购房中的数学数列的研究源于现实生活的需要，人教A版教材在按部就班介绍了数列的概念及相关知识之后，还是选择从特殊入手以研究数学对象的性质，再逐步扩展到一般，所以教材用了很大篇幅详细介绍了数列通项公式和求和公式。人教B版（必修5第二章）2.1 数列 2.1.1 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列 2.2.1 等差数列 2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列 2.3.1 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和阅读与欣赏级数趣

26、题 无穷与悖论人教B版虽然只安排了简单的三块，但第一节简单介绍了数列概念之后，仍然加上了数列递推公式的选学内容，还配有“探索与研究”环节，章节后面还有阅读与欣赏环节通过“级数趣题”“无穷与悖论”让学生可以在了解其中的数学文化的同时，增加对民族的自豪感。北师大版（必修5第一章）1 数列 1.1 数列的概念 1.2 数列的函数特性2 等差数列 2.1 等差数列 2.2 等差数列的前n项和3 等比数列 3.1 等比数列 3.2 等比数列的前n项和4 数列在日常经济生活中的应用课题学习 教育储蓄北师大版教材在数列概念引入之后也直接加入了“数列的函数特性”一节，并且十分注意数列在日常生活中的应用，章节后

27、面还配了“课题学习”环节，通过教育储蓄问题让学生明白数学是真正应用于生活的。苏教版（必修5第二章）12.1 数列的概念和简单表示12.2 等差数列12.3 等比数列 苏教版教材以鲜亮的色彩一直给人耳目一新的感觉，在教材的安排上虽然没有刻意增加篇幅，但是不论是在探究环节还是在题目的安排环节上，都配了很多生活的问题和图片，并且重点介绍了斐波那契数列与生活的联系，为学生打开了新的视角。湘教版（必修4第二章）问题探索 从兔子问题引出的斐波拉契数列9.1 数列的概念9.2 等差数列9.3 等比数列数学实验 乐音的频率比阅读与思考 初识混沌9.4 分期付款中的有关计算实习作业 教育储蓄的收益与比较 湘教版

28、教材的安排非常人性化，在章前语部分一首小诗就将本章知识总结无遗，并且奠定情感基调，学习等差等比数列并不是本章的全部，其中渗透了太多的数学文化部分，在例子的选择上也都是生活中很常见的场景，在章节末还专门有生活中分期付款问题的单独介绍，完美诠释了数学是来源于生活且应用于生活的。从教材的目录上可以看出，虽然各个教材内容的安排上都稍有不同，但各个知识模块的顺序还是基本不变的，学生在系统地学习了函数知识之后，引入其后续概念数列，作为定义域为正整数集的离散函数而存在。北师大版教材专门安排了一节数列的函数特性。数列这一块知识几乎可以看作是函数这个华丽宫殿的隐密后花园，如果单独把数列作为一个完全独立的章节，学

29、生很容易迷失学习本章的生活意义，通过我们的问卷和个人访谈里都有这样的问题。调查发现大部分使用人教A版教材的学生，更容易迷失，会觉得学习等差、等比数列的通项和求和公式早已成为本章的重心，而这是与我们的教育愿意不符的，数学是来源于生活而应用于生活的，如果一味地陷于解决纸上的题目，就必定是与素质教育的目的背道而驰的。湘教材按惯例有章前小诗一首“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。”由这一首诗已经把本章的知识总结无踪了，兔子繁殖问题所渗透的斐波那切数列、古代皇帝奖励棋盘发明者麦粒的典故、求生活中物体的堆垛总和、

30、九连环的解法等等，其中也点明了数列的根基是函数，归根到底是要用函数的性质预测未来的走向，数列是函数的一部分，却也自成一格，等差、等比数列只是作为数列中两类最简单的部分，通过他们的性质探究，用于解决实际生活问题。（2）数列概念引入比较数列概念的引入图像引入分析人教A版 由古希腊数学家在沙滩上研究数学的三角形数为例，直接指出：数列就是这样按照一定顺序排列的一列数。通过特定的三角形数和正方形数的例子直接给出数列的概念，学生理解起来有障碍，会认为只有特殊的、具有某种规律的一列数才能称为数列。人教B版 章节开始用有趣的图片介绍了一个经典的关于兔子繁殖的故事，再指出这就是著名的斐波那切数列，并且紧接着在前

31、言部分通过几个简单的活动：折纸、平面画线分割、计算器操作等实验重点指出，这样一些有规律或毫无章法的数字其渗透的一些数学现象数列。 斐波那切数列是数学中一颗璀璨的明珠，它的介绍是为了让学生了解数学文化，但教材很注意从生活现象入手，通过学生操作实践，一张纸对折一次得2层，再对折4层，把得到的层数列出来，如此得到数列的概念章法自然，学生也印象深刻。北师大版 提丢斯由一列数联想到太阳到行星距离的规律，进而探明了一些新行星，由这个天文史上发现新行星的历史事实引出数字的重大含义，进而给出钢管堆、GDP值、人口数量等丰富的生活例子引出数列的概念。 该教材的引入别出心裁，站在跨学科的角度，通过天文学家的例子，让学生体会数字的妙用，其中渗透着模型思想。并结合六个生活中数字的例子引入数列，引发学生兴趣，只有通过学习他们，才能方便以后探索更多数字之间的数量关系。苏教版 由花瓣、螺壳等大家司空见惯的自然现象却也反映数字的特殊规律，引出研究需要。近而通过剧场座位、彗星出现年份等生活问题引入数列概念。 苏教版通过介绍细胞分裂、葵花种子、鹦鹉螺壳花纹排列等优美的自然现象揭示其都有各自消长的方式和特点，引出学生兴趣之后， 再以生活中数字的例子引入概念。 同时，章节后面配有的斐波那切数列的介绍里也详细介绍了树木生长模式等自然现象，与引入前后呼应，培养学生数学美的意识。湘教版教材已经利用一节“问