1、定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常用运算有:、等 .如: 2 3 5236都是 2 和 3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同 .可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算 .当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应 . 只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算 .在这一讲中,我们定义了一些新的运算形 式,它们与我们常用的“”,“”,“”,“”运. 算不相同我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算” .例 1、设 a、b 都表示数,规定 ab3a2b,求 32, 23;这个运算“
2、”有交换律吗?求( 17 6) 2,17 (6 2);这个运算“”有结合律吗?如果已知 4b2,求 b.分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍.解: 3233 2 2 9 4 5 2 3 3 2 2 3 6 60.由的例子可知“”没有交换律.要计算( 176 ) 2,先计算括号内的数,有: 17 6317 2639 ;再计算第二步 39 23 39 2 2 113 , 所以( 17 6) 2113.对于 17 (62),同样先计算括号内的数, 6 2362214, 其次 17 14317 214 23,所以
3、 17 (62) 23.由的例子可知 “ ”也没有结合律 .因为 4b342b12 2b ,那么 12 2b2 ,解出 b5.例 2、定义运算 为 a ba b( ab),求 57,75; 求 12 ( 3 4),( 12 3)4;这个运算 “”有交换律、结合律吗? 如果 3(5x) 3,求 x.解: 5 7 5 7( 57) 35 12 23, 7 575( 7 5) 35 1223.要计算 12 ( 3 4),先计算括号内的数,有: 3434( 3 4) 5,再计算第二步 12 5 125( 12 5) 43,所以 12 (34) 43.对于( 12 3)4,同样先计算括号内的数, 12
4、312 3(12 3 ) 21 , 其次 21 4 214( 21 4) 59,所以( 12 3)459.由于 abab( ab);baba( ba)ab( ab)(普通加法、乘法交换律) 所以有 abba,因此“” 有交换律 .由的例子可知,运算 “” 没有结合律 .5x5x ( 5x) 4x5;3(5x) 3(4x 5)3(4x 5)( 34x 5)12x 15( 4x 2) 8x 13那么 8x 13 3 解 出 x 2.例 3、定义新的运算 a ba ba b.求 6 2, 2 6;求( 1 2) 3,1 ( 2 3);这个运算有交换律和结合律吗?解: 6 2 6 26220, 2 6
5、262620.(1 2) 3( 121 2) 35 35353231 (2 3) 1 (2323) 1 11 1 111 11 23.先看“ ”是否满足交换律:a bababb ababaa bab(普通加法与乘法的交换律) 所以 a bb a,因此“ ”满足交换律 .再看“ ”是否满足结合律:( a b) c( a bab) c( abab)cababcabc ac bc ab abc. a (b c) a (b cbc)a(bcbc)abcbc abc ab ac a bc bc abc ac bc aba bc.(普通加法的交换律) 所以( a b) ca (b c),因此“ ”满足结合
6、律 .说明: “ ”对于普通的加法不满足分配律,看反例:1 (23) 1 5151511 ;1 21 3121213135712 ;因此 1 (23) 1 21 3.例 4、有一个数学运算符号 “ ”,使下列算式成立: 2 48 ,5 3 13 ,3 511 , 9 7 25,求 7 3?解:通过对 2 48 ,5 313 ,3 5 11,9 725 这几个算式的观察,找到规律:a b2a b,因此 7 32 7 317.例 5、x、y 表示两个数,规定新运算“ *”及“”如下x*y:=mx+ny ,xy=kxy ,其中 m、 n、k 均为自然数,已知 1*2=5 ,( 2*3) 4=64 ,
7、求( 12)*3 的值.分析:我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求 12)*3 的值,首先我们要计算 12,根据“” 的定义: 1 2=k 12=2k ,由于 k 的值不知道,所以首先要计算出k 的值, k 值求出后, l2 的值也就计算出来了 .我们设 12=a , (1 2)*3=a*3 ,按“*” 的定义: a*3=ma+3n ,在只有求出 m、n时,我们才能计算 a*3 的值.因此要计算( 12 )*3 的值,我们就要先求出 k、m、n 的值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值,通过( 2*3 ) 4=64 求出 k 的值.解:因为 1*2=m 1+n 2=m+2n ,所
8、以有 m+2n=5. 又因为 m、n 均为自然数,所以解m=2出:m=1 n =2n = 3 (舍去)2m=3 n =1当 m=1, n=2 时:(2*3 )4= (12+2 3)4=8 4=k 84=32k有 32k=64 ,解出 k=2.当 m=3, n=1 时:(2*3 )4= (32+1 3)4=9 4=k 94=36k有 36k=64 ,解出 k=1 79,这与 k 是自然数矛盾,因此 m=3 ,n =1 ,k= 179这组值应舍去 .所以 m=l,n=2 , k=2.(12) *3= (212 )*3=4*3=1 4+2 3=10.在上面这一类定义新运算的问题中,关键的一条是:抓住
9、定义这一点不放,在计算时, 严格遵照规定的法则代入数值 .还有一个值得注意的问题是:定义一个新运算,这个新运算常常不满足加法、 乘法所满足的运算定律, 因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前, 不能运用这些运算律来解题 .1. a*b 表 示 a 的 3 倍 减 去 b课后习题的 1 ,例如:21*2=1 321 =2,根据以上的规定,计算:210*6 ; 7*(2*1 ).2. 定义新运算为 a一b a 1 ,b求 2一( 3一4)的值; 若 x一41.35 ,则 x?3. 有一个数学运算符号,使下列算式成立:1 2 =3 , 4 7 =11 , 5 1 =6 ,求 3 4 的值.2 3
10、65 9 456 7 4211 54. 定义两种运算 “ ”、“ ”,对于任意两个整数 a、b, a bab1, a b=ab 1,计算 4 (6 8) (3 5)的值;若 x (x 4)=30 ,求 x 的值.5. 对于任意的整数 x、y,定义新运算 “ ” ,xy=6x y(其中 m 是一个确定的整数),m x 2 y如果 12=2,则 29=?6. 对于数 a、b 规定运算 “”为 ab=(a1) (1b),若等式( aa)(a 1)=( a 1)(aa)成立,求 a 的值.7. “*”表示一种运算符号,它的含义是:x*y= 1 1 ,xy (x 1)( y A)已知 2*1= 1 1
11、= 2 ,求 1998*1999 的值.21 (2 1)(1 A ) 38.a b= a b ,在 x(51)=6 中,求 x 的值.a b9.规定 ab=a ( a1 )( a 2) ( ab1),( a、b 均为自然数, ba)如果x10=65 ,那么 x=?17 ) (0.625 23263334 237 ) ( 2.259910610. 我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如: 53=3 5=5 ,符号表示选择两数中较小数的运算,例如: 53=3 5=3 ,计算:(0.6)=?(0.3 )课后习题解答1.2.3.所以有 5x-2=30 ,解出 x=6.4左边:精品资料8.解:由于
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