插板法原理及应用.docx

1、插板法原理及应用插板法理论分析：假定M个元素，分成N组。M个元素中间有（M-1）个空，如果想分为N组的话需要插入（N-1）个木板，所以方法数为：C（M-1，N-1）；注意插板法的三要件：相同元素分配；所分组是不相同的；每组至少分到一个。插板法的三种基本形式：（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A.21 B.28 C.32 D.48楚香凝解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C（7 2）=21种，选A 对于不满足第三个条件-即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒

2、子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？A.3 B.6 C.12 D.21楚香凝解析：先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个；转化为5个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（4 2）=6种，选B（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？A.15 B.28 C.36 D.45楚香凝解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去；转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（10 2）=45种，选D此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C（9 2）=36种、插同一个空有C（9 1）

3、=9种，36+9=45种；对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0 个球，有C（10 2）种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（7 2）种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（4 2）种； 这三种基本形式，要牢牢掌握。例1：某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问共有多少种不同的发放方法？ 【国家2010】A.12 B.10 C.9 D.7楚香凝解析：每个部分先提前分8份材料，还剩下30-38=6份；相当于6份材料分给3个部门，每个部

4、门至少分1份，插板法C（5 2）=10种，选B例2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（ ）种分配方式。 【广州2014】 A.15 B.18 C.21 D.28楚香凝解析：每人先分2份、还剩下15-32=9份；相当于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（8 2）=28种，选D例3：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？ 【黑龙江2015】A.7 B.8 C.9 D.10楚香凝解析：C（10-1，n-1）

5、=36，代入n=8满足，选B补充：若问最少有多少个科室，因为C（9 2）=36，此时为3个科室。例4：把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（）种。A.10 B.15 C.20 D.25楚香凝解析：第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩下10-1-2=7个球；相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（6 2）=15种，选B例5：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ A.15 B.28 C.36 D.66楚香凝解析：第

6、二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩下10-2+1=9个球；相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（8 2）=28种，选D例6：现有9块巧克力（其中5块有夹心），若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？ 【粉笔模考】A.6 B.9 C.12 D.25楚香凝解析：相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块，插板法C（4 2）=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A对于插板法的基础题型来说，最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少一个”。

7、插板法技巧进阶篇在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。例6：某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有（ ）种。 【广东2013】A.9 B.12 C.18 D.27 楚香凝解析：插板法C（9 2）=36种；然后去掉不满足题意的情况（即有的部门多于5台）：选一个部门C（3 1）、先分给这个部门5台，再把剩下的5台分给3个部门，插板法C（4 2），则不满足题意的情况有C（3 1）C（4 2）=18种，满足题意的情况有36-18=18种，选C例7：有3个单位共订300份人民日报，每个单位最少

8、订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？ 【黑龙江2010】A.4 B.5 C.6 D.7楚香凝解析：解法一：分类：99+100+101的情况有A（3 3）=6种，100+100+100的情况有一种，共7种，选D解法二：每个单位先提前分98份，还剩下300-398=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份的情况，C（5 2）-C（3 1）=7种，选D有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。例3：四个小朋友分17个相同的玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种

9、分法？【河南招警2011】A.18 B19 C20 D21楚香凝解析：每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20-17=3个，每人至少交回0个，插板法C（6 3）=20种，选C例4：某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定：第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内（选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒），某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上的答题用时组合有多少种： 【粉笔模考】A.8 B.15 C.19 D.20楚香凝解析：总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒；转

10、化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题的情况，插板法，C（6 3）-1=19种，选C如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。练习1：有3个单位共订300份人民日报，每个单位最少订99份，最多102份。问一共有多少种不同的订法？ A.6 B.7 C.8 D.10楚香凝解析：每个单位先提前分98份，还剩下300-398=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C（5 2）=10种，选D练习2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于10

11、份，则共有多少种分配方式：A.52 B.53 C.54 D.55楚香凝解析：每人先分1份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份，插板法C（11 2）=55种，去掉有人分到多于9份的情况（即10+1+1）、有C（3 1）=3种，则满足题意的情况有55-3=52种，选A练习3：某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.43 B.46 C.51 D.55楚香凝解析：每人先分2份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（1

12、1 2）=55种，去掉有人分到多于8份的情况：先选一个人分给他8份，剩下的4份分给3个人，每人至少1个，有C（3 1）C（3 2）=9种，则满足题意的情况有55-9=46种，选B练习4：某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分配方式：A.20 B.27 C.31 D.35楚香凝解析：每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C（7 3）=35种，去掉有人交出4份的情况C（4 1）=4种，则满足题意的情况有35-4=31种，选C练习5：袋中有红、白、黑三种

13、颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？A.35 B.45 C.75 D.105 楚香凝解析：相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（15 2）=105种；去掉某种颜色多于10个球的情况，先选一种颜色C（3 1）、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（5 2）=10，则满足题意的情况有105-310=75种，选C插板法技巧之比赛得分计算（1）某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；抢

14、答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（ ）种不同的分数。【广东2013】A.18 B.21 C.25 D.36楚香凝解析：有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（7 2）=21种，选B通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；抢到0道时，得分只有一种，即基础分10分；抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20；抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25；抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30；抢到5道时，得分有六种

15、，分别是0、7、14、21、28、35；共1+2+3+4+5+6=21种，选B（2）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？ 【深圳2008】A.45 B.47 C.49 D.51楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是41+（-1）4=0，即答对一道+答错四道=不答五道=0分。如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C（7 2

16、）=21，这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45种，选A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8这个得分，8=42=43+（-1）4，有两种可能：（1）答对两道、不答八道，（2）答对三道、答错四道、不答三道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对两道、不答三道）后，（1）不答五道，（2）答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩下五道题进行插板，这C（7 2）=21种情况都会出现重复、需要减掉

17、。（3）某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？ 【浙江B2018】A.38 B.39 C.40 D.41楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是31+（-1）3=0，即答对一道+答错三道=不答四道=0分。如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时C（8 2）=28，这28种情况出现的得分跟前四道题的0分合起来，每种得

18、分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-28=38种，选A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如15这个得分，15=35=36+（-1）3，有两种可能：（1）答对五道、不答五道，（2）答对六道、答错三道、不答一道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对五道、不答一道）后，（1）不答四道，（2）答对一道、答错三道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答四道=答对一道+答错三道，即如果先拿出四道题，对剩下六道题进行插板，这C（8 2）=28种情况都会出现重复、需要减掉。对于加分和减分不互质的情况，需要进行一步转化。（4）某次

19、数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣2分，不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？ A.21 B.30 C.38 D.51楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是41+（-2）2=0，即答对一道+答错两道=不答三道=0分。如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进行插板分配时C（9 2）=36，这36种情况出现的得分跟前三道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足

20、题意的情况数有66-36=30种，选B（5）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是回答完全正确得5分，不完全正确得3分，完全错误得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？A.30 B.38 C.45 D.60楚香凝解析：先做一步转化，使之转化为标准型。鸡兔同笼思想：假设初始为30分，相当于10道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加2分、每错一道减少3分，那么就变成了回答完全正确得2分，不完全正确得0分，完全错误得-3分。插板法C（12 2）=66种，去掉重复的部分：先拿出3+2=5道题，剩下的五道题插板C（7 2）=21种，66-21=45种，选C（6）在一次数学考试中，

21、有10道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试的学生中，至少有4人得分相同。那么，参加考试的学生至少有多少人？A.91 B.103 C.136 D.199楚香凝解析：先求得分情况有多少种；插板法，C（12 2）-C（7 2）=45种，抽屉原理之最不利原则，每种得分先分3个人，再分一个人必然满足题意，453+1=136人，选D（7）学生参加数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给0分，答错一题倒扣l分，若有l978人参加竞赛，至少有多少人得分相同？A.26 B.27 C.49 D.50楚香凝解析：先求得分情况有多少种；插板法，C（22

22、2）-C（18 2）=78种，抽屉原理之平均分配问题，197878=2528，所以每种得分先分25人，剩下的28个人也尽可能平均分配，则至少有25+1=26个人得分相同，选A（8）小梁买了一个会走路的机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。若在小梁的控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达（ ）种不同的距离。A.8 B.9 C.10 D.11楚香凝解析：解法一：最少走4cm、最多走20cm，所以420之间的偶数都可以到达，选B解法二：转化为4道题，每道题完全答对加5分、部分答对加3分、答错加1分，鸡兔同笼

23、转化为完全答对加2分、部分答对加0分、答错加-2分，插板法C（6 2）-C（4 2）=9种，选B（9）有1元、10元、100元的纸币共60张，每种至少一张，总钱数有多少种可能？A.583 B.592 C.604 D.617楚香凝解析：转化为完全正确得100分，不完全正确得10分，完全错误得1分；利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分，不完全正确得0分，完全错误倒扣9分；插板法C（59 2）=1711种；去掉重复的情况：1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确，先拿出11道题，剩下的插板C（48 2）=1128种；1711-1128=583种，选A插板法技巧之常见应用模型（1）方程a+b+c

24、=10有多少组正整数解？A.15 B.20 C.28 D.36楚香凝解析：相当于把10个相同的苹果分给三个人，每人至少一个，插板法C（9 2）=36种，选D（2）不等式a+b+c10有多少组非负整数解？A.66 B.78 C.84 D.286楚香凝解析：补一个字母d，转化为a+b+c+d=10，此时a、b、c、d都是0的，相当于把10个相同的苹果分给四个人，每人至少0个，插板法C（13 3）=286种，选D（3）（A+B+C）10 的展开式中共有多少项？A.36 B.45 C.66 D.91楚香凝解析：对于（A+B+C）10 的展开式中的任何一项AxByCz，都有x+y+z=10，其中x、y、

25、z都是0的；相当于把10个相同的苹果分给三个人，每人至少0个，插板法C（12 2）=66种，选C（4）有10颗糖，如果每天至少吃一颗（至多不限），吃完为止，问有多少种不同的吃法？A.144 B.217 C.512 D.640楚香凝解析：解法一：若1天吃完，只有1种；若2天吃完，插板法有C（9 1）种；若3天吃完，插板法有C（9 2）种，共C（9 0）+C（9 1）+C（9 2）+C（9 9）=29=512种，选C解法二：10颗糖之间有9个空，每个空都可以选择是否插板，对应的吃糖数就不同，共29=512种，选C（5）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写

26、为止，如257、303369、1347等等，这类数共有多少个？A.36 B.45 C.55 D.66楚香凝解析：前两位固定，则第三位及之后的数都固定，首位+第二位9，补成a+b+c=9，其中b、c都可为0，插板法C（10 2）=45个，选B（6）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等，这类数共有多少个？A.45 B.50 C.54 D.55楚香凝解析：从最后两位考虑，若个位和十位固定，则往前依次固定，个位+十位9，补成a+b+c=9，其中a、b、c单独都可为0，插板法C（11 2）=55，去掉a、b同时为0的情

27、况，满足题意的情况有55-1=54种，选C补充：这类自然数中最大的为85321101（7）4位同学分五个苹果、1个梨，每位同学至少分到一个水果，有多少种不同的分法？A.16种 B.24种 C.40种 D.48种楚香凝解析：先分梨有C（4 1）=4种，假设分给了甲；接下来把五个苹果分给甲乙丙丁，其中甲可以分0个，插板法C（5 3）=10种；共410=40种，选C（8）5个相同的苹果和3个相同的梨分给4个小朋友，每人至少分1个水果，有多少种分配方式？A.210 B.420 C.630 D.840楚香凝解析：解法一：先分梨，分类；（1）3个梨分给同一个人，C（4 1）=4种，假设都分给了甲；接下来5

28、个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（5 3）=10种，共410=40种；（2）3个梨分给了两个人，C（4 2）2=12种，假设分给甲2个、乙1个；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（6 3）=20种，共1220=240种；（3）3个梨分给了两个人，C（4 3）=4种，假设分给甲乙丙各1个；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丁至少分1个苹果，插板法C（7 3）=35种，共435=140种；共40+240+140=420种，选B解法二：直接容斥，苹果和梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C（8 3）C（6 3）-C（4 1）C（7 2

29、）C（5 2）+C（4 2）C（6 1）C（4 1）-C（4 3）=420种，选B（9）有一个两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B，再将A和B相加，结果仍为一个两位数。问这样的两位数A有多少个？ 【粉笔模考】A.9 B.32 C.36 D.64楚香凝解析：ab+ba=11（a+b），则2a+b10，补上百位、用百位去凑满10；相当于把10个名额分给百十个位，每位至少分1个名额，插板法C（9 2）=36种，去掉a=b的四种（11、22、33、44），满足题意的有36-4=32个，选B（10）小明将一颗质地均匀的正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数之和大于5的概率是多少？ 【

30、粉笔事业模考】A.1/6 B.5/18 C.5/6 D.13/18楚香凝解析：总情况数有66=36种；不满足题意的情况数，两次点数和6，相当于6个名额分给三个人，每个人至少分1个，插板法C（5 2）=10种，概率=（36-10）/36=13/18，选D插板法技巧应用之取球问题（1）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？ 【联考2014】A.11 B.15 C.18 D.21楚香凝解析：相当于三个名额分给3种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（5 2）=10种，抽屉原理，10+1=11种，选A刚学插板法时

31、应用起来不熟练，为了更加便于记忆，特做如下总结：三种颜色的球各一颗，取三颗，有C（3 ，3）=1种取法。三种颜色的球足够多，取三颗，【取三补二】，有C（3+2，3）=C（5 3）=10种取法。n种颜色的球足够多，取m颗，【取m补m-1】，有C（n+m-1，m）种取法。（2）从5个相同的苹果、6个相同的橘子、7个相同的香蕉中取4个水果，有多少种取法？A.15 B.20 C.35 D.3060楚香凝解析：相当于四个名额分给3种水果，每种水果至少分0个，插板法C（6 2）=15种，选A（3）一个袋里有四种不同颜色的小球若干个，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？A.55 B.87 C.41 D.91楚香凝解析：解法一：相当于两个名额分给4种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（5 3）=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，109+1=91次，选D解法二：四种颜色的球足够多、取两个，取2补1，C（4+1，2）=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，109+1=91次，选D（4）有四种颜色的文件夹若干，每人可任取12个文件夹，如果要保证有3人取到完全一样的文件夹，则至少应该有（ ）人去取。 【天