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1、完整版相似三角形证明技巧专题doc相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1 的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础二、相似三角形(1) 三角形相似的条件： ； ； .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 .四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等 (对平行线型找平行线 )

2、，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似a)已知一对等找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b) 己知两边对应成比找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似c)己知一个直角找两边对应成比例判定定理1 或判定定理 4找顶角对应相等判定定理 1d) 有 等 腰 关找底角对应相等判定定理 1找底和腰对应成比例判定定理 3

3、e)相似形的传递性 若 1 2， 2 3，则 1 3五、“三点定形法” ，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例 1、已知 : 如图 , ABC中 ,CE AB,B

4、FAC.1求证 : AE ACAF BA（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图， CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高， BAC 的平分线分别交 BC、 CD 于点 E、F， AC AE=AF AB 吗？说明理由。分析方法：1）先将积式 _2） _（ “横定”还是“竖定”？ ）已知：如图， ABC 中， ACB=90 0，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。2求证： CD =DE DF。1）先将积式 _2） _（ “横定”还是“竖定”？ ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用 “过渡 ”，其主要类型有三种，下面分情

5、况说明1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例 1：如图 3， ABC 中，AD 平分 BAC ， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E求证：DE 2 BECE分析：2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不

6、能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第2三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例 2：如图 4，在 ABC 中， BAC=90 ， AD BC ， E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于点 FAB DF求证： AC AF3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种

7、方法行不通时，则考虑用等积代换法。例 3：如图 5，在 ABC 中， ACB=90， CD 是斜边 AB 上的高， G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BE AG ，垂足为 E，交 CD 于点 F求证： CD 2DFDG 小结：证明等积式思路口诀： “遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。 ”同类练习：1如图，点 D、 E 分别在边 AB 、AC 上，且 ADE=C 求证：（ 1） ADE ACB;(2)AD AB=AE AC.2 如图， ABC中，点 DE在边 BC上，且 ADE是等边三角形， BAC=120 求证：（ 1） ADB CEA;(2)DE2=BDC

8、E;(3)AB AC=AD BC.33 如图， 平行四边形 ABCD 中， E 为 BA 延长线上一点， D= ECA. 求证： AD EC=AC EB . （此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4 如图， AD 为 ABC中 BAC的平分线， EF 是 AD的垂直平分线。求证： FD2=FC FB。（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。 ）5如图， E 是平行四边形的边 DA延长线上一点， EC交 AB于点 G,交 BD于点 F, 求证： FC2=FGEF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。 ）

9、6如图， E 是正方形 ABCD边 BC延长线上一点， 连接 AE交 CD于 F, 过 F 作 FM BE交 DE于 M.求证： FM=CF.( 注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。 )47如图， ABC中， AB=AC,点 D 为 BC边中点， CE AB,BE 分别交 AD、 AC于点 F、 G，连接 FC.求证：（ 1）BF=CF.(2)BF 2=FG FE.8如图， ABC=90 ,AD=DB,DE AB,求证： DC2=DE DF.9如图， ABCD为直角梯形， AB CD,AB BC,AC BD。 AD= BD，过 E

10、作 EFAB 交 AD于 F.是说明：（ 1） AF=BE;(2)AF 2=AE EC.10 ABC中 , BAC=90 ,AD BC,E 为 AC中点。求证： AB:AC=DF:AF。11已知， CE是 RT ABC斜边 AB 上的高，在 EC延长线上任取一点 P, 连接 AP,作 BG AP,垂足为 G ，交CE于点 D.试证： CE2=ED EP.( 注：此题要用到等积替代，将 CE2用射影定理替代，再化成比例式。 )5七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明： 常用 “三点定形法 ”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段

11、比 “转移 ”(必要时需添辅助线 )，使其分别构成两个相似三角形来证明可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂例 1 如图 5 在 ABC 中， AD 、 BE 分别是 BC、 AC 边上的高， DF AB 于交 BE 于 G，求证： (1)FG / FA FB / FH (2) FD 是 FG 与 FH 的比例中项BF，交 AC 的延长线于 H ，AF GE图 5DCH1 说明：证明线段成比例或等积式， 通常是借证三角形相似 找相似三角形用三点定形法 (在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点

12、 )，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例 2 如图 6， ABCD 中， E 是 BC 上的一点， AE 交 BD 于点 F，已知 BE： EC 3： 1，S?FBE 18，求： (1)BF ： FD (2)S? FDAA DFB 图 6 E C2 说明： 线段 BF 、FD 三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由 “平截比定理 ”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积例 3 如图 7 在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， M 是 AD 的中点， CM

13、的延长线交 AB 于 N 求：AN ： AB 的值；E ANMB D C63 说明： 求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡例4 如图 8 在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点， BE AC 交 AC 于 F ，过 F 作 FG AB 交 AE 于 G求证： AG 2 AF FCD E CG FA B4 说明： 证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用 “三点定形法 ”确定要证明的两个三角形相似 、例5 如图在 ABC 中，D 是 BC 边的中点， 且 AD AC ，

14、DE BC，交 AB 于点 E，EC 交 AD 于点 F(1)求证： ABC FCD； (2) 若 SFCD 5，BC 10，求 DE 的长AEFB D M C5 说明： 要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长例 6 如图 10 过 ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E过点 D 作 DM FC 交 AB 于点 M (1) 若 SAEF ： S 四边形 MDEF 2： 3，求 AE： ED ； (2)求证： AEFB 2AF EDCDEA F M B图76

15、 说明： 由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用例 7 己知如图 11 在正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点， Q 在线段 BC 上，当 BQ 为何值时， ADP 与 QCP 相似？A DPB 图 11 Q C7 说明： 两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P 所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解例 8 己知如图 12 在梯形 ABCD 中， AD BC， A 900， AB 7， AD2， BC 3试在边 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P、 A、

16、D 为顶点的三角形与以 P、 B、 C 为顶点的三角形相似AD1PP23PB图 12C8 说明： 两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P 所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解例11如图，已知 ABC 中， AB=AC ，AD 是 BC 边上的中线， CF BA ， BF 交 AD 于 P 点，交 AC于 E 点 。 求 证 ： BP2=PE PF 。11 分析：因为 BP、 PE、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为 AB=AC ， D 是 BC 中点，由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线，如果我们连结 PC，由

17、线段垂直平分线的性质知 PB=PC ，只需证明 PEC PCF，问题就能解决了。例 12如图，已知：在 ABC 中， BAC=900 ，AD BC， E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于F 。 求 证 ： 。812 分 析：比例式左边 AB ， AC 在 ABC 中，右边 DF、 AF 在 ADF 中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。八、确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一， 从“已知”入手， 通过推理论证，得出“求证” ；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知” ；

18、第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁” ，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例 1. 如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD AE ，DE 延长线与 BC 延长线相交于BF BDF，求证：CF CE例 2. 如图， ABC 中， ABAC ，在 AB 、AC 上分别截取 BD=CE ，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：AB DF=

19、AC EF。BD例 3、如图 4 5， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF ：AE=_.A CEF例 4、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点， OE 交 BC 于 F，若 AB=a ， BC=b ， BE=c ，求 BF 的长9例 5、 ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF ?AC=BC ?FE例 6：如图 ABC中， AD为中线， CF为任一直线， CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证： AE：ED=2AF：FB。二、作延长线例 7

20、. 如图， RtABC 中， CD 为斜边 AB 上的高， E 为 CD 的中点， AE 的延长线交 BC 于 F， FGAB 于2=CF ?BFG，求证： FG例 8如图 4-1，已知平行四边AF1 ADABCD 中， E 是 AB 的中点，3，连 E、 F 交 AC 于 G求 AG ：10AC 的值三、作中线例 10： 已知：如图，ABC中， AB AC ， BD AC于 D 求证：BC2 2CD AC 中考综合题型1. 已知：如图，在ABC 中，ABAC ,A36 , BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2DC AC 1说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这

21、是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（ 2）要说明线段的乘积式 ab cd ，或平方式 a2 bc ，一般都是证明比例式， a d ，或 b a ，c b a c再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式2.如图，矩形 ABCD 中， AD 3 厘米， AB a 厘米（ a 3 ）动点 M ，N 同时从 B 点出发，分别沿BA ， B C 运动，速度是 1厘米秒 过 M 作直线垂直于 AB ，分别交 AN ，CD 于 P，Q 当点 N到达终点（ 1）若C 时，点 M 也随之停止运动设运动时间为 t 秒a 4 厘米， t 1秒，则 PM _厘米；（2）若

22、a 5 厘米，求时间 t ，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 t (用表示 )DQCDQCNPN11PAMB AMB3如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、 Q 同时从 A、 B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（ s），解答下列问题：（1）当 t 2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为 S（cm 2），求

23、 S 与 t 的函数关系式；4. 如图（ 10）所示：等边 ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线，过D 点的直线 B C AC 于 C 交 AB 的111延长线于 B1.AC1C1D请你探究：ACCDABDB，错误 !未指定书签。 是否都成立？AB1DB1请你继续探究：若 ABC 为任意三角形，线段ACCDAD 为其内角角平分线，请问DB 一定成立吗？AB并证明你的判断 .125.如图 12，在平面直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，四边形 ABCO 为矩形， AB=16，点 D 与点 A 关于 y 轴对称， AB:BC=4:3 ，点 E、F 分别是线段 AD、 AC 上

24、的动点（点 E 不与点 A、D 重合），且 CEF = ACB.（1）求 AC 的长和点 D 的坐标；（2）说明 AEF 与 DCE 相似；6.如图，在 Rt ABC 中， B 90， AB 1，BC 1 ，以点2以点 A 为圆心， AD 为半径的弧交 AB 于点 E（1）求 AE 的长度；（2）分别以点 A、 E 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想 EAGC 为圆心， CB 为半径的弧交 CA 于点 D ；F （ F 与 C 在 AB 两侧），连接 AF 、 EF，的大小，并说明理由FGA E BDC（第题）137.如图（ 1）

25、， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形， AC 与 DE 重合， AB=EF=9， BAC DEF 90，固定 ABC，将 EFD 绕点 A 顺时针旋转， 当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止 .不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、 DF （或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、 H 点，如图（ 2） .（ 1）问：始终与 AGC 相似的三角形有 及 ；（ 2）设 CG x， BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由） ；8.如图 8， ABC, 是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC 上的高， BC=40cm,AD=30cm,

26、 从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH ，使它的一边EF 在 BC 上，顶点 G、 H 分别在 AC ， AB上， AD 与 HG 的交点为 M.(1)求证： AMHG ;ADBC(2)求这个矩形EFGH 的周长 .9. （ 1）如图 1，在 ABC 中，点 D ， E， Q 分别在 AB， AC， BC 上，且 DE BC， AQ 交 DE 于点 P求14证： DP PE BQ QC（ 2） 如图，在 ABC 中， BAC =90，正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC 的边上，连接 AG，AF 分别交 DE 于 M， N 两点如图 2，若 AB=AC= 1

27、，直接写出 MN 的长；10 如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上一点， E 是 AC 边上一点且满足 AD AB， ADE C（1）求证： AED =ADC ， DEC =B；（2）求证： AB2AE?ACAEB CD11 学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（ 1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等” 。类似地，你可以等到： “满足 ，或 ，两个直角三角形相似” 。15（ 2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” ，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似” 。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图， 。试说明 Rt ABC Rt AB C.12 如图，在 ABC 中， C=90， AC=8 ， BC=6 P 是 AB 边上的一个动点 (异于 A 、B 两点 ) ，过点 P分别作 AC 、 BC 边的垂线，垂足为 M 、 N