绕任意轴旋转.docx

1、绕任意轴旋转几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。平移变换将三维空间中的一个点x, y, z, 1移动到另外一个点x, y, z, 1，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即x = x + Txy = y + Tyz = z + Tz平移变换的矩阵如下。缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是x, y, z, 1，变换后的点是x, y, z,

2、 1，那么x = x * Sxy = y * Syz = z * Sz缩放变换的矩阵如下。旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。x, y, z, 1表示变换前的点，x, y, z, 1表示变换后的点。变换矩阵如下。关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如Computer Graphics C Version，p409。绕Y轴旋转

3、绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转度。x, y, z, 1表示变换前的点，x, y, z, 1表示变换后的点。变换矩阵如下。绕Z轴旋转绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转度。x, y, z, 1表示变换前的点，x, y, z, 1表示变换后的点。变换矩阵如下。绕坐标轴旋转的矩阵推导上面三个旋转矩阵是如何得来的呢？我们推导一下，首先看一下二维的情况，再扩展到三维即可。实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转，相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。假设点P(x, y)是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为r，其与X

4、轴的夹角为A，现将点P绕原点旋转度，得到点P(x, y)，P与X轴的夹角为B，则A = B - 。（注意，在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由P旋转到P，角度为，若是由P转到P，则角度为-）。 于是可得下面的转换方程（式一）写成矩阵的形式就是求得旋转矩阵为由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式绕Z轴旋转矩阵和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可。替换后得到(式二)对应的旋转矩阵为绕X轴旋转矩阵对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为对应的变换

5、矩阵为绕Y轴旋转矩阵逆矩阵平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大。= Happy Coding =作者：zdd出处：绕任意轴旋转绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作旋转，对应操作步骤1的逆过程，对应操作 整个过程就是对于不平行于坐标轴的，可按如下方法

6、处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）1将旋转轴平移至原点2将旋转轴旋转至YOZ平面3将旋转轴旋转至于Z轴重合4绕Z轴旋转度5执行步骤3的逆过程6执行步骤2的逆过程7执行步骤1的逆过程假设用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)来表示旋转轴，表示旋转角度。为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。步骤1是一个平移操作，将v1v2平移至原点，对应的矩阵为步骤2是一个旋转操作，将p(p = v2 -v1)旋转至XOZ平面，步骤3也是一个旋转操作，将p旋转至与Z轴重合，这两个操作对应的图如下。做点p在平面YOZ上的投影点q。再过

7、q做Z轴垂线，则r是p绕X轴旋转所得，且旋转角度为，且, 于是旋转矩阵为现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且, 于是得到旋转矩阵为最后是绕Z轴旋转，对应的矩阵如下如果旋转轴是过原点的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵即对应的函数代码如下。void RotateArbitraryAxis(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* axis, float theta) D3DXVec3Normalize(axis, axis); float u = axis-x;

8、 float v = axis-y; float w = axis-z; pOut-m00 = cosf(theta) + (u * u) * (1 - cosf(theta); pOut-m01 = u * v * (1 - cosf(theta) + w * sinf(theta); pOut-m02 = u * w * (1 - cosf(theta) - v * sinf(theta); pOut-m03 = 0; pOut-m10 = u * v * (1 - cosf(theta) - w * sinf(theta); pOut-m11 = cosf(theta) + v * v

9、* (1 - cosf(theta); pOut-m12 = w * v * (1 - cosf(theta) + u * sinf(theta); pOut-m13 = 0; pOut-m20 = u * w * (1 - cosf(theta) + v * sinf(theta); pOut-m21 = v * w * (1 - cosf(theta) - u * sinf(theta); pOut-m22 = cosf(theta) + w * w * (1 - cosf(theta); pOut-m23 = 0; pOut-m30 = 0; pOut-m31 = 0; pOut-m32

10、 = 0; pOut-m33 = 1;如果旋转轴是不过原点的，那么第一步和最后一步就不能省略，将所有七个矩阵连乘起来，得到如下变换矩阵对应如下这个超长的矩阵，在这里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1)，且是单位向量，a, b, c分别表示(a1, b1, c1)将上面的过程写成函数，该函数接受四个参数，第一个参数是一个输出参数，用来保存得到的旋转矩阵，第二个和第三个参数是旋转轴的两个端点，最后一个参数是旋转角度，注意，在函数中我们已经将上面的矩阵转置了，因为上面是按照列向量计算的。void RotateArbitraryLine(D3DXMATRIX*

11、 pOut, D3DXVECTOR3* v1, D3DXVECTOR3* v2, float theta) float a = v1-x; float b = v1-y; float c = v1-z; D3DXVECTOR3 p = *v2 - *v1; D3DXVec3Normalize(&p, &p); float u = p.x; float v = p.y; float w = p.z; float uu = u * u; float uv = u * v; float uw = u * w; float vv = v * v; float vw = v * w; float ww

12、= w * w; float au = a * u; float av = a * v; float aw = a * w; float bu = b * u; float bv = b * v; float bw = b * w; float cu = c * u; float cv = c * v; float cw = c * w; float costheta = cosf(theta); float sintheta = sinf(theta); pOut-m00 = uu + (vv + ww) * costheta; pOut-m01 = uv * (1 - costheta)

13、+ w * sintheta; pOut-m02 = uw * (1 - costheta) - v * sintheta; pOut-m03 = 0; pOut-m10 = uv * (1 - costheta) - w * sintheta; pOut-m11 = vv + (uu + ww) * costheta; pOut-m12 = vw * (1 - costheta) + u * sintheta; pOut-m13 = 0; pOut-m20 = uw * (1 - costheta) + v * sintheta; pOut-m21 = vw * (1 - costheta)

14、 - u * sintheta; pOut-m22 = ww + (uu + vv) * costheta; pOut-m23 = 0; pOut-m30 = (a * (vv + ww) - u * (bv + cw) * (1 - costheta) + (bw - cv) * sintheta; pOut-m31 = (b * (uu + ww) - v * (au + cw) * (1 - costheta) + (cu - aw) * sintheta; pOut-m32 = (c * (uu + vv) - w * (au + bv) * (1 - costheta) + (av - bu) * sintheta; pOut-m33 = 1;