完整版相似三角形证明技巧 专题.docx

1、完整版相似三角形证明技巧 专题两角对应相等，两三角形相似判定定理1或判定定理4判定定理1判定定理1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨 论又是以全等形的有关定理为基础.二、 相似三角形（1）三角形相似的条件： : : .三、 两个三角形相似的六种图形：糾边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决 四、三角形相似的证题

2、思路：判定两个三角形相似思路：1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、口血占殆r找另一角 两角对应相等，两三角形相似a） 已知一对等tL找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似J找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b） 己知两边对应成比找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似c） 己知一个直角 -找两边对应成比例找顶角对应相等d） 有等腰关找底角对应相等e）

3、相似形的传递性 若厶1 2, 2s 3,则厶1s 3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式 前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 百例 1、已知：如图， AB（中 ,CE丄 AB

4、,BF丄 AC. BAF BA（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BC、CD于点E、F, AC AE=AF AB吗？ 说明理由。分析方法：1） 先将积式 2） （ “横定”还是“竖定”？ ）已知：如图， ABC中，/ ACB=9O0, AB的垂直平分线交 AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE DF。分析方法：1） 先将积式 2） （ “横定”还是“竖定”？ ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用 过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.1、等量过渡法（等线段代换法

5、）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。例1:如图3, ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E .求证：DE2= BE-CE . 分析：2、等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代

6、换时，可以考虑用等比代换法,三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2 :如图4,在厶ABC中，/ BAC=90AB DF求证：一AC AF 3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3:如图5,在 ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高, BE丄

7、AG，垂足为E,交CD于点F.求证：CD2= DF-DG .小结：证明等积式思路口诀： “遇等积，化比例：横找竖找定相似;不相似，不用急：等线等比来代替。同类练习：1.如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：（ADEA ACB;（2）AD - AB=AE- AC.2.如图， ABC中，点 DE在边BC上，且 ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：(ADBA CEA;(2)DE 2=BD- CE;(3)AB - AC=AD BC.3.如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点,（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代

8、思想解决）4.如图，AD ABC中/ BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。5.如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点 （此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。6.如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点,代可以解决。）7.如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点, 求证：(1) BF=CF. (2)BF 2=FG FE.&如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE!AB,求证：DC2=DE- DF.ABCD为直角梯形， AB/ CD,ABL BC,AC丄 BD。AD= BD,过 (

9、1) AF=BE;(2)AF 2=AE - EC.10.A ABC中，/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF。11.已知，CE是RT ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点CE于点 D.试证：CE2=ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将 CE2用射影定理替代，再化成比例式。七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明： 常用三点定形法或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比 三角形来证明.可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 平行线，转比例，等线等比来代替；等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式转移”必要

10、时需添辅助线），使其分别构成两个相似三点定形用相似，三点共线取平截；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5在厶ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F,交AC的延长线于 H , 交BE于G,求证：（1）FG / FA= FB / FH （2）FD是FG与FH的比例中项.1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中, 或横着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找 等比代换例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE： EC = 3： 1 ,S?F

11、BE = 18,求：（1）BF : FD （2）S?FDA2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由 平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的面积.例3 如图7在厶ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N .求： AN : AB的值；E ANMB D C3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当 已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4 如图8在矩形 ABCD中，E是CD的中点

12、，BE丄AC交AC于F ,过F作FG / AB交AE于G.求 证：AG 2 = AF FCD E CG F4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用 三点定形法”确定要证明的两个三角形相似.、例5 如图在 ABC中，D是BC边的中点，且AD = AC , DE丄BC,交AB于点E, EC交AD于点F. 求证： ABC FCD; (2)若 fcd= 5, BC = 10,求 DE 的长.AE5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6 如图10过厶ABC的顶

13、点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM / FC 交 AB于点 M. 若 Saaef : S 四边形 MDEF = 2 : 3,求 AE： ED ; (2)求证：AEXFB = 2AF D图6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比注意平截比定理的应用.例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1 , P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时, ADP与厶QCP相似？B 图 11 Q C7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点 P所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意

14、计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD/ BC,/ A= 900, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.AC8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点 P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解.例11.如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF / BA , BF交AD于P点，交 AC 于 E 点。 求 证： BP2=PE PF 。11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他

15、方法，因为AB=AC , D是BC中点，由等腰三角形的性质知 AD是BC的垂直平分线，如果我们连结 PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC，只需证明 PECs PCF,问题就能解决了。例12 .如图，已知：在 ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于 AS DFF 。 求 证 ： - 。 I-12分析：比例式左边 AB , AC在厶ABC中，右边DF、AF在厶ADF中，这两个三角形不相似，因此本 题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 :.八、确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一， 从已知”入手，通过

16、推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知” ；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁” ，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主 下几种：一、作平行线 ，一 .例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于BF BDF，求证：CF CE例2.如图， ABC中，AB / 如图8,A ABC,是一张锐角三角形的硬

17、纸片， AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片 上剪下一个长 HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边 EF在BC上，顶点G、H分别在AC , AB 上, AD与HG的交点为M.（1）求证：処匹AD BC（2）求这个矩形EFGH的周长.9.（1）如图1,在厶ABC中，点D , E, Q分别在AB, AC, BC上，且DE / BC, AQ交DE于点P.求DP PE证：BQ QC(2)如图，在 ABC中，/ BAC=90正方形DEFG的四个顶点在 ABC的边上，连接 AG, AF分别交DE于M，N两点.如图2,若AB=AC= 1,直接写出 MN的长；10.如图，在

18、ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足 AD = AB,Z ADE =Z C .(1)求证：/ AED = / ADC，/ DEC = / B;(2)求证：AB2 = AE?AC.11学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直 角三角形相似的条件。(1) “对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等” 类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。（2） “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” ，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，

19、并完成说理过程。 已知：如图， 。12.如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=8 , BC=6. P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P 分别作AC、BC边的垂线，垂足为 M、N .设AP=x .在厶ABC中，AB= ;（2）当x= 时，矩形PMCN的周长是14;是否存在x的值，使得 PAM的面积、 PBN的面积与矩形 PMCN的面积同时相等？请说出你的 判断，并加以说明.13如图，已知 ABC a1B1C1，相似比为k（ k 1），且 ABC的三边长分别为a、b、c（ a b c）, ABiG的三边长分别为3|、D、C| 。若c ai，求证：a kc ；若c ai，试给出符合

20、条件的一对 ABC和厶ABiG，使得a、b、c和印、b、Ci进都是正整数，并加以说明；若b ai，c bi，是否存在 abc和厶ABC1使得k 2?请说明理由。A(如图8所示).(i )当AD=2且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长;3(2)在图8中，联结AP 当AD ,且点Q在线段AB上时，设点 B Q之间的距离为x ,216.如图，M为线段 AB的中点，AE与BD交于点C,Z DME =Z A =Z B= a, 且DM交AC于F, ME交BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结 FG,如果 a= 45, AB = 4.2 , AF = 3,求 FG

21、的长.17.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(8,0)，直线BC经过点B( 8,6), C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q.BP(1)四边形OABC的形状是 当 90时，竺的值是 ;BQBp(2)如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求 的值;BQ如图3，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求 AOPB的面积.y BB A CQPCA Ox（图2）（图3）AB（ Q）P（第 10 题）O（备用图）18.如图，在矩形 ABCD中, AB=3,AD=1,点P在线段AB

22、上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF （点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当X=0时，折痕EF的长为 #当点E与点A重合时，折痕 EF的长为 #（2）请写出使四边形 EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当 x=2时菱形的边长; 温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！第（3）題吊19.正方形ABCD边长为4, M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM 和MN垂直，(1)证明：Rt ABM s Rt MCN ;(2)设BM x ,梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；(3)当M点运动到什么位置时 RtA ABM s RtA AMN，求x的值.20如图， ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G 求证：GE GD -CE AD 3AB CD（第21题）