双曲线知识点总结例题.docx

1、双曲线知识点总结例题（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 （小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支Fi，F2为两定点，P为一动点，若|PF|-|PF 2|=2a102a|FiF2|则动点P的轨迹是 22a=|FiF2|则动点P的轨迹是 32a=0则动点P的轨迹是 （2） 若|P F|-|PF 2|=2a102ab0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 a2-入+ b2-入=1(b2V Va2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程

2、.x2 y2与双曲线9 16= 1有共同的渐近线，且过点(一3, 2);与双曲线16 y2= 1有公共焦点，且过点(3 , 2).1在双曲线的标准方程中， 若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果2的系数是正的, 那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2 + ny2 = 1(mnv 0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如 a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解

3、题过程x2 y2例5、(12分)双曲线C:a2 b2= 1(a0,b0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),AP PQ若C上存在一点P,使T0,求此双曲线离心率的取值范围.A.e 4B.1川C.1e D 宀1 尺F【例8】设户为双曲线 丄 上的一点， -是该双曲线的两个焦点，若I f、I 7，则尸也的面积为()A.上，则双曲线的离心率 e的范围是【评注】解题中发现 PFF2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为

4、双曲线所独有 .双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .【例9】过点（1, 3）且渐近线为+ 一X的双曲线方程是双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了 双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中Jt? _ J? _ J： . J/2 =1 -j- = 0 n一一0【评注】在双曲线 中，令 即为其渐近线.根据这一点，可 0，b0）的两条渐近线均和圆 C: x2+ y24.（金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知 ABC的顶点A（ 5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B3A.22B.35

5、C.44D.5在双曲线16 9 = 1 上，贝U |sin A sin C| 为()x2 y25.P为双曲线9 16 = 1的右支上一点， M、N分别是圆（x+ 5）2+ y2= 4和（x 5）2 + y2=1上的点，贝U |PM|PN|的最大值为()A . 6 B. 7 C. 8 D. 96.(2012南宁模拟)已知点Fi,F2分别是双曲线的两个焦点， P为该曲线上一点，若 PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线 的离心率为()A. +1 B. +1 C. 2 D. 2x2 y27.方程2 mi+ |m| 3 = 1表示双曲线那么 m的取值范围是 .& (2012大连测试)在双曲线4x2 y

6、2= 1的两条渐近线上分别取点 A和B,使得|OA| OB|=15，其中O为双曲线的中心，贝U AB中点的轨迹方程是 .x2 y2 b2+ 19.双曲线a2 b2= 1(a0, b0)的离心率是 2，贝V 3a的最小值是 .10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是F1( 3,0), 条渐近线的方程是x 2y= 0.(1)求双曲线C的方程；若以k(kz 0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点 M , N，且线段MN的81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0)，右顶点为(,0).(1)

7、求双曲线C的方程；(2)若直线：y= kx+ m(k丰0, 0)与双曲线C交于不同的两点 M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0, 1)，求实数m的取值范围.72112已知中心在原点，顶点Al、A2在x轴上，离心率e= 的双曲线过点P(6, 6) (1)求双曲线方程，动直线I经过 A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问 是否存在直线I,使G平分线段MN，证明你的结论.宀X13已知双曲线 ，问过点A ( 1, 1)能否作直线，使与双曲线交于P、Q两点，并且A为14已知点N (1，2),过点N的直线交双曲线于A、B两点，且CD -(1)求直线AB的方程；(2)若过N的直线I交双曲

8、线于C、D两点，且 D四点是否共圆？为什么？，那么 A、B、C、2线段PQ的中点？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由。（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 （小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支Fi，F2为两定点，P为一动点，若|PF|-|PF 2|=2a102a|FiF2|则动点P的轨迹是 22a=|FiF2|则动点P的轨迹是 32a=0则动点P的轨迹是 （2） 若|P F|-|PF 2|=2a102a|7W|

9、= -连FP，则叩=叫+旳=旳=5i=i为最小.xT yJ = i在 中，令尸*，得F 12 y.s取丄2 .所求p点考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法1a、b、c即可求得方程.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法一 x2 y2 x2 y2与双曲线a2- b2= 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 b2 = t(t工0);2若双曲线的渐近线方程是y=iax，则双曲线的方程可表示为a2 b2= t(tM0);一 x2 y2 x2 y23与双曲线a2 b2= 1共焦点的方程可表示为a2 k b2 + k = 1( b2V k

10、Va2);一 x2 y24过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 m+ n = 1(mnv 0);一 x2 y2 x2 y25与椭圆a2 + b2= 1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 a2 -入+ b2-入=1(b2V Va2).例2、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2与双曲线9 16= 1有共同的渐近线，且过点(一3，2);x2 y2与双曲线16 4 = 1有公共焦点，且过点(3，2).【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在 x轴上，故设双曲线的方x2 y2 c 9 门所以双曲线的万程为2-94程为a2 b2 = 1，由题意，得=1，解得a2= 4， b2 =

11、4，(2)解法一：设双曲线方程为a2-b2= 1,由题意易求c= 2,又双曲线过点(3,2), a2-b2 = 1又 a2+ b2=2, /.a2= 12, b2= 8. 12-% = 1.x2 y 2 1解法二：设所求双曲线方程为9 16 = %侍0),将点(一 3,2)代入得入=4.x2 y2 1 9 y2所以双曲线方程为9 16 = 4，即44 = 1.x2 y2解法二：设双曲线方程为16 k 4+ k= 1,且16 k 0,4+ k 0.将点(3, 2)代入得k= 4,且满足上面的不等式，所以双曲线方程为12 % = 1.1在双曲线的标准方程中， 若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；

12、如果y2的系数是正的， 那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2 + ny2 = 1(mnv 0),以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如 a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程AP PQ若C上存在一点P,使T - = 0,求此双曲线离心率的取值范围.例3、(12分)双曲线C：2 y2= 1(a0,b0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),【规范解答】设P

13、点坐标为(x, y),APPQ则由 T T = 0,得 APIPQ,即P点在以AQ为直径的圆上,3a c a x2 y2 (x 2)2 + y2 = (2)2.又P点在双曲线上，得a2 b2= 1(a2 + b2)x2 3a3x + 2a4 a2b2 = 0.即(a2 + b2)x (2a3 ab2)(x a)= 0.6 分2a3ab2当x= a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x= a2 + b2时，满足题意的2a3 ab2 c 6P 点存在，需 x= a2 + b2 a,化简得 a22b2, 即卩 3a22c2, av2.10 分.离心c 6率 e= a (1, 2).12 分例4、【活学

14、活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线 y2= 1(a0, b 0)的两个焦点分别为F1、F2, P为双曲线上一点，且|PF1 = 3|PF2|，贝U该双曲线的离心率e的取值范围是 .|PF1| = 3|PF2| 解析：依题意得|PF1| - |PF2| = 2a,由此解得 |PF2| = ac a, 即卩 c2a, e= aa时直线/与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:.设;|眄| 3 2,则陋的面积为（）|码卜兔肉卜二|円?|-朋| = 2a=2_二于 是I邛I=6禺日二册曲率=52二嗣故知 PF1F2是直角三角形，/ FP F2=90 .二

15、訥I网1 =扫“选B.【评注】解题中发现 PFF2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有 .双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了 双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中y = -jc【例7】过点（1, 3）且渐近线为 的双曲线方程是1解析_ :八4-=1 号一負2王#“【

16、评注】在双曲线 中，令 即为其渐近线.根据这一点，可将双曲线口的实、虚轴互易，所得双曲线方程为:.这两个双曲线就是互相共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同； 它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用1 丄例 8】两共轭双曲线的离心率分别为岂，证明：7 勺=1.【证明】双曲线双曲线考点5、直线与双曲线位置关系设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求 .请看下例:【例9】双曲线 =1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. J = B. y = 2x-2 C

17、. p = D. = 2x+3则有:兀十 = 4丹! 2 .故直线的斜率【解析】设弦的两端分别为则所求直线方程为:PH l 故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子 .请看：【例10】在双曲线 - 上，是否存在被点 M（ 1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦 AB,其两端分别为：A （X yj，B （X2, y2）.那么：叫廿形=

18、2A*J5=2代入（1）； 2（斗一町）一（卅一=V M （1, 1）为弦AB的中点,故存在符合条件的直线AB,其方程为：” 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点 M（ 1 , 1）代入方程 ，发现左式=1-2 - 2r3 =2=2x3-4r+3 =0 (2)*=2归这里A-16 21 10，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件此外，上述解法还疏忽了一点：只有当 F 时才可能求出k=2.若妆说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线 .练习1.（2011安徽高考）双曲线2X2 y2= 8的实轴长是（）A. 2 B. 2C. 4

19、D. 4x2 y2解析：2x2 y2= 8 化为标准形式： 4 8 = 1， / a2= 4. a = 2.二实轴长 2a= 4.x2 y22. （2011山东高考）已知双曲线a2 b2= 1（a 0，b0）的两条渐近线均和圆 C: x2+ y26x + 5= 0相切，且双曲线的右焦点为圆 C的圆心，则该双曲线的方程为 （）x2 y2 A. 5 4 = 1x2 y2B. 4 5 = 1x2 y2 x2C. 3 6 = 1 D. 6 解析：由题意得,x2 y2a2 b2= 1(a0, b0)的两条渐近线方程为by=也 x,即bxiay= 0,又圆C的标准方程为：（x 3）2 + y2= 4,半径

20、为2，圆心坐标为（3,0）.x2 y2的方程为5 4 = 1.内）上的任意一点, a2+ b2= 32= 9,且a卵b2= 2,解得a2= 5, b2= 4.二该双曲线x23.（2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4 y2= 1右支（在第一象限Ai,A分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线 PAi, PO, FA2的斜率分别为 ki，k2，k3,则斜率之积kik2k3的取值范围是（）A. (0,1)1B. (0, 8)1 1C. (0, 4) D. (0, 2)解析：设 P(x, y),则x (0, 2),且y3 yx2 4= 4y2(x 0, y 0), k1k2k3 = x(x2 4= 4x (0,18).4.（金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知 ABC的顶点A（ 5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B在双曲线 16 9 = 1 上，贝U