全国数学竞赛初三决赛试题含答案.docx

1、全国数学竞赛初三决赛试题含答案2021年全国数学竞赛初三决赛试题(含答案)_文档视界 2014年全国初中数学联赛决赛试题 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=-，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y +-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又

2、,x y 为整数，可求得12,x y =-?=? ，或21.x y =-?=?， 所以1 x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2已知非负实数,x y z 满足1x y z +=，则22t xy yz zx =+的最大值为 （ ） A 47 B 59 C 916 D 12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =+=+ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-+2734 ()477x =-+， 易知：当37x =，27y z =时，22t xy yz zx =+取得

3、最大值4 7 . 3在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC 于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE （ ） A 6 2 B 2 C 3 D 6 【答】 B. 因为AD BC ，BE AC ，所以,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD =，所以6BD = ，所以3DP =. 又易知AEP BDP ，所以 AE PE BD DP = ，从而可得1623 PE AE BD DP =?=?=. 46张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可 以作为三角形的三边长的概率

4、是 （ ） A 12 B 25 C 23 D 34 【答】 B. 若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2228种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3412种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有81220种取法. 要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有428种. 因此，所求概率为 82 205 =. 5设t 表示不超过实数t 的最大整数，令t t t =-.已知实数x 满足33 118x x + =，则1 x x

5、 += （ ） A 12 B 35- C 1 (35)2 - D 1 【答】 D. 设1x a x + =，则32223211111 ()(1)()()3(3)x x x x x a a x x x x x +=+-=+-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -+=，所以3a =. 由13x x +=解得1(35)2x =，显然101,01x x ，所以1 x x +=1. 6在ABC 中，90C =?，60A =?，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE 为等腰直角三角形, 90ADE =? ,则BE 的长为 （ ） A 423- B 2

6、3- C 1 (31)2 - D 31- 【答】 A. 过E 作EF BC 于F ，易知ACD DFE ，EFB ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，2(1)DE x = -，1DF AC =， 故222 12(1)x x +=-，即2410x x -+=.又01x ，故可得23x =-. 故2423BE x =-. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1已知实数,a b c 满足1a b c +=，111 1a b c b c a c a b +=+-+-+-，则abc =_ 【答】 0. 由题意知 111 1121212c a b +=-，所以 (12

7、)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c -+-+-=- 整理得22()8a b c abc -+=，所以abc =0. F E B C A D 2使得不等式981715 n n k +对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 【答】144. 由条件得7889k n ，由k 的唯一性，得178k n -且189k n +，所以211871 9872 k k n n n +-=-= ，所以144n . 当144n =时，由78 89 k n 可得126128k ，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144. 3已知

8、P 为等腰ABC 内一点，AB BC =，108BPC =?，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为ABE 的内心，则PAC = 【答】48?. 由题意可得PEA PEB CED AED =， 而180PEA PEB AED +=?， 所以60PEA PEB CED AED =?， 从而可得30PCA =?. 又108BPC =?，所以12PBE =?，从而24ABD =?. 所以902466BAD =?-?=?， 11 ()(6630)1822 PAE BAD CAE =-=?-?=?， 所以183048PAC PAE CAE =+=?+?=?. 4已知正整数,a b c

9、 满足:1a b c ，111a b c +=，2b ac =，则b = 【答】36. 设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c ，则 2211b ac d a c =，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2 111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设22 11,a m c n =，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n . 又111a b c +=，故111()111d a b

10、 c +=，即22 ()111d m n mn +=. 注意到222212127m n mn +?=，所以1d =或3d =. 若1d =，则22 111m n mn +=，验算可知只有1,10m n =满足等式，此时1a =，不符合题意，故 舍去. 若3d =，则22 37m n mn +=，验算可知只有3,4m n =满足等式，此时27,36,48a b c =， 符合题意. 因此，所求的36b =. E D A B P C 三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22 (1)(2)40a b b b a +=，(1)8a b b +=，求22 11 a b +的值 解 由已知条件可得2

11、2 2 ()40a b a b +=，()8ab a b +=. 设a b x +=，ab y =，则有2 2 40x y +=，8x y +=， 5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. 10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2 (2)24200?=-=-，它有实数根.所以 22222222222 11()262282a b a b ab a b a b a b +-?+=. 20分 四、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一

12、点，且满足ECD ACB =, AC 的延长线与ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB = 证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF =. 5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆， 所以BDC ABD AFD =， .10分 所以ECD DAF ， 15分 所以 ED CD AB DF AF AF = . 20分 又EDF BDF BAF =，所以EDF BAF ，故 DFE AFB =. 25分 五、（本题满分25分） 设n 是整数，如果存在整数,x y z 满足333 3n x y z xyz =+-，则称n 具有性质P . （1）试判断1，2，3是否

13、具有性质P ； （2）在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z =，可得333 11003100=+-?，所以1具有性质P ； 取1x y =，0z =，可得333 21103110=+-?，所以2具有性质P ；5分 若3具有性质P ，则存在整数,x y z 使得3 3()3()()x y z x y z xy yz zx =+-+，从而可得 33|()x y z +，故3|()x y z +，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx +-+，即9|3，这是不可 能的，所以3不具有性质P . 10分

14、 F C A B D E （2）记333 (,)3f x y z x y z xyz =+-，则 33(,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =+-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =+-+-+ 3 ()3()()x y z x y z xy yz zx +-+ 2221 ()()2x y z x y z xy yz zx =+- 2221 ()()()()2 x y z x y y z z x =+-+-+-. 即(,)f x y z 2221 ()()()()2 x y z x y y z z x =+-+-+-

15、15分 不妨设x y z ， 如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z =+，则有(,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .20分 又若3 3|(,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =+-+，则3 3|()x y z +，从而3|()x y z +， 进而可知3 9|(,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =+-+. 综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P . 又201492237，所以，在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有2242448个. 25分