RS编码和纠错算法.docx

1、RS编码和纠错算法Data Matrix将有效信息(数字字母等)编码成0255的数字表示 （编码方式参考：en.wikipedia.org/wiki/Data_Matrix）。为了及时发现数据传输时的错误，使用RS编解码来进行错误检测校验。RS码可以看成伽罗华域GF(2m)上的元素，dm码的元素0255正好对应伽罗华域GF(28)上的256个元素。通过编码时添加冗余信息，可以有效校验数据是否正确传输。以下为文献概要：1) 介绍如何生成GF(2m)域，伽罗华域的加法运算为异或运算，乘法运算为指数相加后mod(2m)。2) 实例分析如何编码及纠错。(实际上就是求解多项式方程组的过程，在实际工程算法

2、中运用到的钱氏搜索法(Chien Search)，Berlekamp-Massey 算法都是为了快速求解方程组，从而纠错)。3) 附录部分为GF(28)上的元素列表。13.2 RS编码和纠错算法13.2.1. GF(2m)域RS(Reed-Solomon)码在伽罗华域(Galois Field，GF)中运算的，因此在介绍RS码之前先简要介绍一下伽罗华域。CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。本原多项式的特性是得到的余式等于0。CD-ROM用来构造

3、GF(28)域的是(131)而GF(28)域中的本原元素为 = (0 0 0 0 0 0 1 0)下面以一个较简单例子说明域的构造。例13.1构造GF(23)域的本原多项式假定为定义为= 0的根，即31 = 0和 3= 1GF(23)中的元素可计算如下：0mod(31) = 00mod(31) = 0= 11mod(31) = 12mod(31) = 23mod(31) = 14mod(31) = 25mod(31) = 2116mod(31) = 217mod(31) = 08mod(31) = 1用二进制数表示域元素得到表13-01所示的对照表表13-01 GF(23)域中与二进制代码对照

4、表,GF(23)域元素二进制对代码0(000)0(001)1(010)2(100)3(011)4(110)5(111)6(101)这样一来就建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。现仍以GF(23)域中运算为例：加法例：03= 001011= 010 = 1减法例：与加法相同乘法例：54= (54)mod7= 2除法例：5/3= 23/5= 2= (27)= 5取对数：log(5) = 5这些运算的结果仍然在GF(23)域中。13

5、.2.2 RS的编码算法RS的编码就是计算信息码符多项式除以校验码生成多项式之后的余数。在介绍之前需要说明一些符号。在GF(2m)域中，符号(n，k)RS的含义如下：m表示符号的大小，如m = 8表示符号由8位二进制数组成n表示码块长度，k表示码块中的信息长度K=nk= 2t表示校验码的符号数t表示能够纠正的错误数目例如，(28，24)RS码表示码块长度共28个符号，其息代码的长度为24，检验码有4个检验符号。在这个由28个符号组成的码块中，可以纠正在这个码块中出现的2个分散的或者2个连续的符号错误，但不能纠正3个或者3个以上的符号错误。对一个信息码符多项式，RS校验码生成多项式的一般形式为(

6、132)式中，m0是偏移量，通常取K0= 0或K0= 1，而(n-k)2t(t为要校正的错误符号数)。下面用两个例子来说明RS码的编码原理。例13.2设在GF(23)域中的元素对应表如表13-01所示。假设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、m1和m0，信息码符多项式为(133)并假设RS校验码的2个符号为Q1和Q0，的剩余多项式为这个多项式的阶次比的阶次少一阶。如果K0= 1，t= 1，由式(132)导出的RS校验码生成多项式就为=(134)根据多项式的运算，由式(133)和式(134)可以得到m3x5m2x4m1x3m0x2Q1xQ0= (x)(x2)Q(x)当用x= 和x= 2

7、代入上式时，得到下面的方程组，经过整理可以得到用矩阵表示的(6，4)RS码的校验方程：求解方程组就可得到校验符号：在读出时的校正子可按下式计算：例13.3在例13.2中，如果K0= 0，t= 1，由式(132)导出的RS校验码生成多项式就为=(135)根据多项式的运算，由(133)和(135)可以得到下面的方程组：方程中的i也可看成符号的位置，此处i= 0，1，5。求解方程组可以得到RS校验码的2个符号为Q1和Q0，(136)假定mi为下列值：信息符号m3= 0= 001m2= 6= 101m1= 3= 011m0= 2= 100校验符号Q1= 6= 101Q0= 4= 110校正子s0= 0

8、s1= 0代入(136)式可求得校验符号：Q1= 6= 101Q0= 4= 11013.2.3 RS码的纠错算法RS码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)，(2)计算错误位置，(3)计算错误值。现以例13.3为例介绍RS码的纠错算法。校正子使用下面的方程组来计算：为简单起见，假定存入光盘的信息符号m3、m2、m1、m0和由此产生的检验符号Q1、Q0均为0，读出的符号为m3、m2、m1、m0、Q1和Q0。如果计算得到的s0和s1不全为0，则说明有差错，但不知道有多少个错，也不知道错在什么位置和错误值。如果只有一个错误，则问题比较简单。假设错误的位置为x，错误值为mx，那么

9、可通过求解下面的方程组：得知错误的位置和错误值。如果计算得到s0= 2和s1= 5，可求得x= 3和mx= 2，说明m1出了错，它的错误值是2。校正后的m1= m1mx，本例中m1=0。如果计算得到s0= 0，而s10，那基本可断定至少有两个错误，当然出现两个以上的错误不一定都是s0= 0和s10。如果出现两个错误，而又能设法找到出错的位置，那么这两个错误也可以纠正。如已知两个错误和的位置和，那么求解方程组：就可知道这两个错误值。CD-ROM中的错误校正编码CIRC和里德-索洛蒙乘积码(ReedSolomonProductlikeCode，RSPC)就是采用上述方法导出的。CopyRight

10、Octopus 2000附录1GF(8) 元素如下 GF(28 ) 1+x2+x3+x4+x8Field element(polynomial notation) 4-tuple representation 0 0000_0000(0 ) 1 0000_0001(1 ) a1 0000_0010(2 ) a2 0000_0100(4 ) a3 0000_1000(8 ) a4 0001_0000(16 ) a5 0010_0000(32 ) a6 0100_0000(64 ) a7 1000_0000(128) a8 0001_1101(29 ) a9 0011_1010(58 ) a10

11、0111_0100(116) a11 1110_1000(232) a12 1100_1101(205) a13 1000_0111(135) a14 0001_0011(19 ) a15 0010_0110(38 ) a16 0100_1100(76 ) a17 1001_1000(152) a18 0010_1101(45 ) a19 0101_1010(90 ) a20 1011_0100(180) a21 0111_0101(117) a22 1110_1010(234) a23 1100_1001(201) a24 1000_1111(143) a25 0000_0011(3 ) a

12、26 0000_0110(6 ) a27 0000_1100(12 ) a28 0001_1000(24 ) a29 0011_0000(48 ) a30 0110_0000(96 ) a31 1100_0000(192) a32 1001_1101(157) a33 0010_0111(39 ) a34 0100_1110(78 ) a35 1001_1100(156) a36 0010_0101(37 ) a37 0100_1010(74 ) a38 1001_0100(148) a39 0011_0101(53 ) a40 0110_1010(106) a41 1101_0100(212

13、) a42 1011_0101(181) a43 0111_0111(119) a44 1110_1110(238) a45 1100_0001(193) a46 1001_1111(159) a47 0010_0011(35 ) a48 0100_0110(70 ) a49 1000_1100(140) a50 0000_0101(5 ) a51 0000_1010(10 ) a52 0001_0100(20 ) a53 0010_1000(40 ) a54 0101_0000(80 ) a55 1010_0000(160) a56 0101_1101(93 ) a57 1011_1010(

14、186) a58 0110_1001(105) a59 1101_0010(210) a60 1011_1001(185) a61 0110_1111(111) a62 1101_1110(222) a63 1010_0001(161) a64 0101_1111(95 ) a65 1011_1110(190) a66 0110_0001(97 ) a67 1100_0010(194) a68 1001_1001(153) a69 0010_1111(47 ) a70 0101_1110(94 ) a71 1011_1100(188) a72 0110_0101(101) a73 1100_1

15、010(202) a74 1000_1001(137) a75 0000_1111(15 ) a76 0001_1110(30 ) a77 0011_1100(60 ) a78 0111_1000(120) a79 1111_0000(240) a80 1111_1101(253) a81 1110_0111(231) a82 1101_0011(211) a83 1011_1011(187) a84 0110_1011(107) a85 1101_0110(214) a86 1011_0001(177) a87 0111_1111(127) a88 1111_1110(254) a89 11

16、10_0001(225) a90 1101_1111(223) a91 1010_0011(163) a92 0101_1011(91 ) a93 1011_0110(182) a94 0111_0001(113) a95 1110_0010(226) a96 1101_1001(217) a97 1010_1111(175) a98 0100_0011(67 ) a99 1000_0110(134) a100 0001_0001(17 ) a101 0010_0010(34 ) a102 0100_0100(68 ) a103 1000_1000(136) a104 0000_1101(13 ) a105 0001_1010(26 ) a106 0011_0100(52 ) a107 0110_1000(104) a108 1101_0000(208) a109 1011_1101(189) a110 0110_0111(103) a111 1100_1110(206) a112 1000_0001(129) a113 0001_1111(31 ) a114