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1、离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案word 完美格式离散数学答案 屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设 p、 q 的真值为 0；r 、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。（1）p(q r)0 (0 1)0（2）（ p?r ） ( qs)（0?1） (1 1)0 10.（3）（ p qr ）? (p q r)（111） ? (0 00) 0(4) （ r s） (p q)（01） (1 0)00117判断下面一段论述是否为真： “是无理数。并且，如果3 是无理数，则2 也是无理数。另外6 能被 2 整除， 6 才能被 4 整除。”答： p:

2、是无理数 1q: 3是无理数 0r:2 是无理数 1s: 6能被 2整除 1t: 6 能被4整除 0命题符号化为： p (q r) (t s) 的真值为 1，所以这一段的论述为真 。19用真值表判断下列公式的类型：（ 4）(p q) ( q p)（ 5）(p r)(pq)（ 6）(p q)(q r) (p r)答：（ 4）p q pqqpq p (p q) ( q p)0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案精心整理 学习帮手word 完美格式3. 用等值演算

3、法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值 .(1) (p qq)(2)(p (p q) (p r)(3)(p q) (p r)答： (2) （p(p q) ） (p r) ( p (p q) ( p r) ppqr 1所以公式类型为永真式(3) Pqrpqpr（pq） (p r)000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式类型为可满足式4. 用等值演算法证明下面等值式：(2)(p q) (p r) (p (q r)(4)(p q) ( p q) (p q) (p q)证明（ 2）(p q) (p r)(

4、p q) ( p r)p(q r)p (q r)（ 4） (p q) ( pq) (p ( pq) ( q( p q)(p p) (p q) ( q p) ( qq)1(p q) (p q) 1(p q) (p q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)( p q) ( qp)(2) (p q) qr(3)(p (q r) (p qr)精心整理 学习帮手word 完美格式解：（1）主析取范式( p q) ( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m

5、2 m3 (0,2,3)主合取范式：( pq) ( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p) ( q ( q p)1 (p q)(p q) M1 (1)(1) 主合取范式为：(p q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式 .主合取范式为 (0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3) 主合取范式为：(p (q r) (p q r)(p (q r) (p q r)( p ( q r) (p q r)( p (p q r) ( q r) (p q r)1 11 精心整理 学习帮手word 完美格式所以该式为永真

6、式 .永真式的主合取范式为 1主析取范式为 (0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明：(2) 前提： p q, (q r),r结论： p(4) 前提： q p,q s,s t,t r结论： p q证明：（ 2）(qr)前提引入qr置换 qr蕴含等值式 r前提引入q拒取式 pq前提引入 p（ 3）拒取式证明（ 4）：t r前提引入t化简律qs前提引入st前提引入qt等价三段论（ qt ） (tq) 置换（ qt ）化简q 假言推理qp前提引入精心整理 学习帮手word 完美格式p 假言推理(11)p q 合取15 在自然推理系统

7、 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提： p (q r),s p,q结论： s r证明s附加前提引入sp前提引入p假言推理p(qr) 前提引入qr假言推理q前提引入r假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s结论： p证明：p结论的否定引入p q前提引入 q假言推理 rq前提引入 r化简律rs前提引入r化简律rr 合取由于最后一步 r r 是矛盾式 , 所以推理正确 .第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化 , 并分别讨论个体域限制为 (a),(b) 条件时命精心整理 学习帮手word 完美格式题的

8、真值 :(1) 对于任意 x, 均有 2=(x+ )(x ).(2) 存在 x, 使得 x+5=9.其中 (a) 个体域为自然数集合 .(b) 个体域为实数集合 .解 ：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1) 在两个个体域中都解释为 xF ( x) ，在（ a）中为假命题，在 (b) 中为真命题。(2) 在两个个体域中都解释为 xG ( x) ，在（ a） (b) 中均为真命题。4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 :(1) 没有不能表示成分数的有理数 .(2) 在北京卖菜的人不全是外地人 .解 :(1)F(x): x 能表示成分数H(x): x 是有理数命题符号化为

9、 : x( F ( x) H (x)(2)F(x): x 是北京卖菜的人H(x): x 是外地人命题符号化为 : x( F (x) H ( x)5. 在一阶逻辑将下列命题符号化 :(1) 火车都比轮船快 .(3) 不存在比所有火车都快的汽车 .解 :(1)F(x): x 是火车 ; G(x): x 是轮船 ; H(x,y): x 比 y 快命题符号化为 : x y( F (x) G ( y) H ( x, y)(2) (1)F(x): x 是火车 ; G(x): x 是汽车 ; H(x,y): x 比 y 快命题符号化为 : y(G ( y) x( F (x) H ( x, y)9. 给定解释

10、 I 如下 :精心整理 学习帮手word 完美格式(a) 个体域 D 为实数集合 R.(b) D 中特定元素 =0.(c) 特定函数 (x,y)=x y,x,y D .(d) 特定谓词 (x,y):x=y, (x,y):xy,x,y D .说明下列公式在 I 下的含义 , 并指出各公式的真值 :(1)xy(G ( x, y)F ( x, y)(2)xy( F ( f ( x, y), a) G ( x, y)答 :(1) 对于任意两个实数 x,y, 如果 xy, 那么 x y. 真值 1.(2) 对于任意两个实数 x,y, 如果 x-y=0, 那么 xy. 真值 0.10. 给定解释 I 如下

11、：（a） 个体域 D=N(N为自然数集合 ).（b） D 中特定元素 =2.（c） D 上函数 =x+y, (x,y)=xy.（d） D 上谓词 (x,y):x=y.说明下列各式在 I 下的含义，并讨论其真值 .(1) xF(g(x,a),x)(2) x y(F(f(x,a),y) F(f(y,a),x)答 :(1) 对于任意自然数 x, 都有 2x=x, 真值 0.(2) 对于任意两个自然数 x,y, 使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0.11. 判断下列各式的类型 :(1)(3) yF(x,y).解:(1) 因为 p (q p) p ( q p) 1 为永真式；所以 为永真

12、式；(3) 取解释 I 个体域为全体实数F(x,y) ：x+y=5所以 , 前件为任意实数 x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真；后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假， 此时为假命题精心整理 学习帮手word 完美格式再取解释 I 个体域为自然数 N，F(x,y) ：:x+y=5所以 , 前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。(1) (F(x)(2) x(F(x) G(x) H(x)解 :(1) 个体域 : 本班同学F(x) ：x 会吃饭 , G(

13、x) ：x 会睡觉 . 成真解释F(x) ：x 是泰安人 ,G(x) ：x 是济南人 . （2）成假解释(2) 个体域 : 泰山学院的学生F(x) ：x 出生在山东 ,G(x):x 出生在北京 ,H(x):x 出生在江苏 , 成假解释 .F(x) ：x 会吃饭 ,G(x) ： x 会睡觉 ,H(x) ：x 会呼吸 . 成真解释 .第五章部分课后习题参考答案5. 给定解释如下 :(a) 个体域 D=3,4;(b)f ( x) 为 f (3)4, f (4)3(c)F ( x, y)为 F (3,3)F (4,4)0, F (3,4) F (4,3) 1.试求下列公式在下的真值 .(1) x yF

14、 (x, y)(3)x y( F (x, y)F ( f (x),f ( y)解 :(1)xyF (x, y)x( F (x,3)F ( x,4)(F (3,3)F (3,4)(F (4,3)F ( 4,4)(01)(10)1(2)xy( F ( x, y)F ( f ( x), f ( y)x(F ( x,3)F ( f (x),f (3)( F (x,4)F ( f (x), f (4)x( F (x,3)F ( f (x),4) ( F (x,4)F ( f (x),3)精心整理 学习帮手word 完美格式( F (3,3)F ( f (3),4)(F (3,4)F ( f (3),3)

15、(F ( 4,3)F ( f (4),4)(F (4,4)F ( f (4),3)(0F (4,4)( F (3,4)F (4,3)(1 F (3,4) (0 F (3,3)(00)(11)(11)(00)112. 求下列各式的前束范式。(1)xF ( x)yG ( x, y)(5)x1F ( x1 , x2 )(H ( x1 )x2G ( x1 , x2 ) ( 本题课本上有错误 )解:(1)xF ( x)yG( x, y)xF ( x)yG(t, y)x y( F ( x) G (t, y)(5)x1 F (x1 , x2 )( H ( x1 )x2 G (x1, x2 )x1 F (x1

16、 , x2 ) ( H ( x3 )x2 G( x3 , x2 )x1 F (x1 , x4 ) x2 ( H ( x3 ) G ( x3 , x2 )x1 x2 ( F( x1 , x4 ) ( H (x3 ) G (x3 , x2 )15. 在自然数推理系统 F 中, 构造下面推理的证明 :(1) 前提 : xF ( x) y( F ( y) G ( y) R( y) , xF ( x)结论 : xR(x)(2) 前提 : x(F(x) (G(a) R(x), xF(x)结论 : x(F(x) R(x)证明 (1)xF (x)前提引入F(c)EIxF (x)y( F ( y) G ( y)

17、R( y)前提引入y( F ( y)G( y)R( y)假言推理(F(c) G(c) R(c) UIF(c) G(c) 附加R(c) 假言推理 xR(x) EG(2)精心整理 学习帮手word 完美格式 xF(x) 前提引入 F(c) EI x(F(x) (G(a) R(x) 前提引入 F(c) (G(a) R(c) UI G(a) R(c) 假言推理 R(c) 化简 F(c) R(c) 合取引入 x(F(x) R(x) EG第六章部分课后习题参考答案5. 确定下列命题是否为真：（ 1）真（ 2）假（ 3）真（ 4）真（ 5）a,b a,b,c,a,b,c 真（ 6）a,b a,b,c,a,b

18、 真（ 7）a,b a,b, a,b 真（ 8）a,b a,b, a,b 假6设 a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式为真 :（ 1） a,b ， c, = a,b ,c 假（ 2）a ,b,a =a,b 真（ 3） a，b =a,b 假（4），a,b =, ,a,b 假8求下列集合的幂集：（ 1）a,b,c P(A)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c（ 2）1， 2， 3 P(A)=, 1,2,3,1，2 ，3 （3）P(A)=, （4）， P(A)=, 1,2,3,1，2 ，3 精心整理 学习帮手word 完美格式14化简下列集合表达式：（ 1）（A B） B ）-

19、 （A B）（ 2）（A B C）- （B C） A解 :(1) （A B） B ）- （A B）=（A B） B ） （ A B）=（A B） （ A B）) B= B=（ 2）（A B C）- （B C） A=（A B C） （ B C） A=（A （ B C） （B C ） （B C） A=（A （ B C） A=（A （ B C） A=A18某班有 25 个学生，其中 14 人会打篮球， 12 人会打排球， 6 人会打篮球和排球， 5 人会打篮球和网球， 还有 2 人会打这三种球。已知 6 个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。解 : 阿 A=会打篮球的人 ，B=会打排球的

20、人 ，C=会打 网 球的人 |A|=14, |B|=12, |A B|=6,|A C|=5,| A B C|=2,|C|=6,C A B如图所示。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共 5 人21. 设集合 A1 ， 2 ，2 ，3 ， 1 ，3, , 计算下列表达式：（ 1） A（ 2） A（ 3） A（ 4） A解 :（1）A=1，22 ，31 ，3=1 ，2，3, （2）A=1，22 ，31 ，3=（3）A=123=（4）A=27、设 A,B,C 是任意集合，证明精心整理 学习帮手word 完美格式(1)(A-B)-C=A- B C(2)(A-B)-C=(

21、A-C)-(B-C)证明(1)(A-B)-C=(AB)C= A( B C)= A (BC) =A-B C(2)(A-C)-(B-C)=(A C)(B C)= (AC)(B C)=(AC B)(A CC)= (A CB)= A(BC) =A- BC 由（ 1）得证。第七章部分课后习题参考答案7. 列出集合 A=2,3,4 上的恒等关系 I A, 全域关系 EA, 小于或等于关系 LA, 整除关系 DA.解： I A =,E A=,LA=,DA=13. 设 A=, B=,求 A B,A B, domA, domB, dom(A B), ranA, ranB, ran(A B ), fld(A-B)

22、.解： A B=,A B=domA=1,2,3domB=1,2,4dom(A B)=1,2,3,4ranA=2,3,4ranB=2,3,4ran(A B)=4A-B=, ， fld(A-B)=1,2,314. 设 R=,求 R R, R -1 , R 0,1, R1,2精心整理 学习帮手word 完美格式解： R R=,R -1 ,=,R 0,1=,R1,2=ran(R|1,2)=2,316设 A=a,b,c,d ， RR2 为 A 上的关系，其中1 ，R1=a, a , a,b , b, dR2a, d , b,c , b,d, c, b求 R1 R2, R2 R1, R12 , R23 。解 : R1 R2=, R 2 R1=R12=R1 R1=, R22=R2 R2=, R23=R2 R22=,36设 A=1，2，3，4 ，在 A A 上定义二元关系 R，, A A ，u,v R u + y = x + v.(1) 证明 R 是 A A上的等价关系 .(2) 确定由 R 引起的对 A A 的划分 .（ 1）证明： R u+y=x-yR u-v=x-y A Au-v=u-v RR是自反的任意的 , A A如果 R ，那么 u-v=x-y x-y=