数学史教案朱家生000.docx

1、数学史教案朱家生000闽 江 学 院 教 案课 程 名 称 ： 数学史 课 程 代 码 ： 授课专业班级 ： 10数本（1）（2）（3）（4）授 课 教 师 ： 陈福松 系 别 ： 数学系 2012 年 9 月 1 日绪论 一、教学时间安排：3学时二、教学目的、要求：1.了解数学史研究对象；2.理解学习数学史的意义。三、教学的重点和难点：数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助五、教学过程设计：导入、新课、小结六、教学内容：数学是人类文明的一个重要组成部分。与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。（数学是人类文明的一个重要组成部分？）（1）从

2、远古时期的结绳记事、屈指记数到借助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用勾股测量等具体的操作到抽象的公理化体系的产生，所有这些，都构成了科学史上最富有理性魅力的题材。（1）随着时代的进步，数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域，科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识。（数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域？科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识？）人类的现实生活需要数学、国家的发展、科学技术的进步更离不开数学。（20世纪中叶，美、苏两国在检讨本国科技落后时，寻找到的最终根源都是“数学问题”没处理好）因此，具备一些必需的数学知识和一定的数学思想

3、方法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分。（为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分？）（1）与其他学科相比，数学是一门积累性很强的学科，他的许多重大理论都是在继承和发展原有理论的基础上发展起来的。（天文学地心学说；物理学燃素说，等等都被推翻了。）如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正理解数学的真谛，正确把握数学科学发展的方向。（许多有成就的数学家都关注数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学家都非常关注数学史的发展）。法国著名数学家庞加莱说过：“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研

4、究数学这门科学的历史和现状。”（ “如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。” 谁的名言？）数学史主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。（数学史主要研究什么？）它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。（1）数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。（如果人类文明史去掉数学史，那么人类文明史将会变成？）（1）研究与学习数学史，可以弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同

5、时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质，帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系以及研究数学思想的传播与交流史，了解数学家的生平等。（为什么要学数学史？）（1）具体而言，学习数学史至少具有以下一些重要意义：首先，每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性。（今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化和发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此，我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。）数学科学具有悠久的历史

6、，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性。（2）科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，预见科学未来，使我们在明确科学研究的方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据。（2）我国著名数学史家李文林先生曾经说过：“不了解数学史就不可能全面了解数学科学。”（2）美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时

7、影响着政治家和神学家的学说”。（2）例如，古希腊（公元前600年公元前300年）的数学家们强调严密的推理和由此得出的结论，他们不关心这些成果的实用性，而是要人们去进行抽象的推理，从而激发对理想与美的追求。通过对希腊数学史的考察，就容易理解为什么古希腊会具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建筑与雕塑了。再者，当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合乎逻辑。或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。（3）通过对数学史的学习和研究，既可以使数学类专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；也可使文科或其他专业的学生了解数学概

8、貌，获得数理方面的修养。此外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。（3）思考题：1、简述数学史研究的对象是什么？2、简述数学史与数学教育的关系。3、简述文科与理科学生学习数学史的必要性。第一章 源自河谷的古老文明数学的萌芽一、教学时间安排：3学时二、教学目的、要求：1、了解数学的起源与世界古老文明产生的关系；2、探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪些还具有现实意义。三、教学的重点和难点：数学的起源与世界古老文明产生的关系及古埃及和古巴比伦人古老的数学的介绍。四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助五、教学过程设计：导入、新授课、小结六、教学内容

9、。数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史。据文字记载，至少在5000年以前，人类就已有了数学活动。数学是人类文明的一部分，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度。但就国外数学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与古巴比伦。（4）1.1 古埃及的数学我们知道，非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一。早在公元前3000年左右，在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制国家，其地理位置与现在的埃及区别不大。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来的肥沃的淤泥，那些以游牧为生

10、的古埃及人便在这里定居下来，由狩猎转向耕种。在发展农业的同时，手工业与贸易也随之迅速发展起来，这些都推动了自然科学各学科知识的积累。（4）提到古埃及，大家就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附近的吉萨省的胡夫金字塔法老胡夫的陵墓是埃及最大的金字塔，大约建于公元前2500年左右。该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个方向，边长230.5m，塔高146.6m（现高约137m）。近年来，科学家们通过古埃及人在建造神奇的金字塔、狮身人面像以及神庙的同时，也建立了相当发达的数学。从公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字。（流传至今的古埃及文献，大部分是以僧侣文（又称祭司文

11、）书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书）。（6）保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的。这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集。人们对古埃及人数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献。（6）1.1.1 古埃及的记数制与算术古埃及人使用的是十进制记数制，并且有数字的专门符号。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的

12、法则，这说明，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有2/3是一个例外。（6）古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。（7）1.1.2 古埃及的代数古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。（7）在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。（8）等比数列也已在古埃及纸草书中出现。1.1.3古埃及的几何学古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线，

13、这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。在两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。（8）古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圆周率近似地取为3.16。（8）著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：略1.2古巴比伦的数学古巴比伦，又称美索波达米亚（错误），位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比

14、伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。（9）在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。（9）19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。（10）（人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）1.2.1古巴比伦的记数制与算术古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是60进制。（10）古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。（10）

15、与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的，在已发现的泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的。1.2.2古巴比伦的代数在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。（11）古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，由于他们没有负根的概念，二次方程的负根不予考虑。他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。（11）最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板，这是一张勾股数数表（即x+y=z的整数解）表，并且极有可能用

16、到了下列参数式：x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。（11.2.3古巴比伦的几何在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。（12）古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。（12）古巴比伦人错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。（12）1.2.4古巴比伦的天文学在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他

17、们的年历是从春分开始的，一年有12月，每月有30天。（12）所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。（12）从古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。（13）古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。（13）古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。以上情况表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。（13）需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于

18、一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如何去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。（13）从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。（13）思考题：1、进一步收集阅读相关资料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老文明产生的关系。2、进行调查研究，探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数学知识在我们的生活（包括学习、工作等）中还具有现实意义。3、在古埃及

19、和古巴比伦人的数学中，大量地使用了归纳的思想。试通过对他们文献资料的研究，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对于我们今天的数学研究的现实意义。4、试比较古埃及人和巴比伦人解方程的饭饭，探讨他们各自对后来的数学发展的启迪作用。第二章 地中海的灿烂阳光希腊的数学一、教学时间安排：3学时二、教学目的、要求：1、了解古典时期的希腊学派对数学科学的发展的重要贡献；2、了解第一次数学危机的起因及毕氏学派对危机所采取的态度；3、了解亚历山大时期的希腊数学；4、了解欧几里得几何原本对数学及整个科学的发展的重大意义。三、教学的重点和难点：第一次数学危机的起因与毕氏学派

20、对危机所采取的态度及欧几里得几何原本对数学及整个科学的发展的重大意义的介绍。四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助五、教学过程设计：导入、新授课、小结六、教学内容：从公元前2000年左右到公元前30年，古希腊人（又称海伦人）以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。（希腊数学是希腊人创造的吗？）特别是在公元前5、6世纪西波战争以后，雅典取得了希腊社会的霸主地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要地位的希腊文化，数学也是其中非常重要的一个组成部分。（14）

21、希腊一些城市加强与海外各地的商业联系，为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便。（15）从公元前6世纪起，由于经济和政治的进步，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的重要成就之一。（15）数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学，而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学，希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。（15）2.1希腊数学学派与演绎数学的产生在公元前6世纪公元前3世纪期间，先后出现了许多数学学派，（什么时候出现许多数学学派？）他们的工作使得希腊数学得以长足的发展，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧

22、辩学派和柏拉图学派。（15）2.1.1爱奥尼亚学派和演绎证明以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。（15）（什么城市？什么数学成就？）享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元前636公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派爱奥尼亚学派。（15）（谁创立？数学什么学派？）泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积累了足够的财富，使他的后半生能够从事游历和研究。（15）（可见足够的经济基础，才能让天才更好地发挥其才能。）关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料，但他的成就还是被后人肯定。（15）（是金子总会发光，）泰

23、勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。（16）从泰勒斯开始，人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。（16）泰勒斯曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称为“测量学的鼻祖”。（16）（因什么获得测量鼻祖的美誉？）客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本

24、质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释，这种理解思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。（16）（）2.1.2毕达哥拉斯学派与“万物皆数”毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海（今希腊东部小岛），青年时期，他曾经离开家乡，到世界各地游学，游历过埃及和巴比伦，可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、哲学，40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派。（16）在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的

25、。（16）尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。（16）在毕达哥拉斯学派看来，万物的本质就是数，这个学派一个重要成员就曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数既不可能来表达也不可能来理解任何事物。”他们认为：数是由单子或1生成的，因此将1命名为“原因数”，（数是由什么生成的？“1”被命名为什么数？）（16）每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。（他们认为什么数是完美、和谐的标志？）（16）这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想

26、的最初表达形式。（17）（什么思想的最初表达形式？）毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。（他们定义了许多概念）（17）毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的。（17）他们常把数以点的形式排成各种图形。（见教材17）毕达哥拉斯学派认为，“美是和谐与比例”，这是他们对科学美所持的基本观点。（18）（他们对科学美所持的基本观点是什么？）在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。（18）（最美的图形是什么？）最完美的数是10，因为10=1+2+3+4，

27、并将1，2，3，4称为四象。他们认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的，他们研究了一些美的比和比例关系；（18）（音乐的基本原则是什么？）毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学 、医学等领域。（18）（美只用于音乐和雕刻？）西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的。（据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”，但迄今为止并没有毕达

28、哥拉斯发现和证明这一定理的直接证明。）（18）（什么是“百牛定理”？）按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。（18）这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，既有公共的度量单位。（19）（什么是可公度量？）据亚里士多德的著作记载，毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明是无理数的方法相同。相传该学派的成员希帕索斯还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑。（19）（数学的研究不是一帆风顺的）

29、由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。（第一次数学危机发生的原因是什么？）希腊人对第一次数学危机的态度不是积极地去解决，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究专项对型的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不对称的。（态度怎样？什么原因使其研究转向？）（19）2.1.3芝诺悖论与巧辩学派巧辩学派又称诡辩学派毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系。（提出一个什么难题？）（19）大多数希

30、腊数学家回避这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。（19）来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺，针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。（针对什么问题？提出几个悖论？）（19）芝诺关于运动的三个悖论是：（1）二分说：物体运动是不存在的；（2）阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太保”，却永远追不上乌龟；（3）飞箭静止说：飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上，他此时是不动的，因此说飞箭实际上是静止的。（19）芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模

31、糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。（19）（芝诺的悖论在当时为什么困难？“自圆其说”与“公理化思想方法产生”的关系？）巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者。（20）巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。（20）巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。（20）（什么学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的？）巧辩学派在芝诺的那

32、些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问题，又让古希腊人陷入了困惑。（20）（感谢对手！）所谓三大尺规作图不能问题是指，只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，是后者体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。（20）（三大尺规作图不能问题是指什么？）围绕三大作图不能问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品。（20）（研究不但要重视结果，更要重视研究的过程，及过程中产生的副产品。）（故事：煮石头、煮铁钉）巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样一个认识：即他们强调在