金融数学引论北大版第4章答案解析.docx

1、金融数学引论北大版第4章答案解析第四章习题答案1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。解： 设每个季度还款额是R ，有Ra(4)5p6% = 1000解得R ，代入B2 的表达式B2 = Ra(4)3p6%= 635.32 元2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n =100002000= 5B5 = 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年

2、底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解： 对现金流重新划分，有B7 = 2000a8p + 1000a3p北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款

3、金额。解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有 5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得：L = 5000 a7pa3p= 10814.16 元6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有 20000 = R a12pi L = R a8pi 把(1 + i)4 = 2 代入整理得：L = 5000 1 (1 + i)81 (1 + i)12= 17142.86 元7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5

4、 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20年内还清。计算调整后的每次还款额。解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较日，有 20000 = Ra20pXa13p v2 = Ra15p整理得：X = 20000 a15p a20p (1 + i)2a13p8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：K =a20p a15pa25p a5p L证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有 L = Ra25pKs5p

5、 (1 + i)10 = Ra5p整理即得。9 设Bt 表示未结贷款余额，证明：(1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2;(2) Bt + Bt+3 Bt+1 + Bt+2证： (1)(Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (R + Bt+11 + i Bt+1) (Bt+2 (1 + i)Bt+2 R)=R iBt+11 + i (R iBt+2)= (R iBt+1) R i(1 + i)Bt+1 R)1 + i= (R iBt+1)2= (Bt+1 Bt+2)2(2)Bt Bt+1 = R iBt R iBt+2= Bt+2 Bt+3) Bt

6、+ Bt+3 Bt+1 + Bt+2默认每次还款额是相同的！10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算第6 次还款中的本金量。解：P6 = B5 B6= 1000a205p3% 1000a206p3% = 1000 1.0315= 641.86 元11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。解： 设第t 年支付的利息为It ，有It = iBn+1t= ian+1tp= 1 vn+1t支付利息的总现值为：I =nt=1Itvt=nt=1(1 vn+1t)vt= anp nvn+112 设10000 元贷款20 年还清，年利率1

7、0%，证明第11 次中的利息为10001 + v10元。此处有改动10000改成1000证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有I11 = R(1 v10)=10000a20p (1 v10)= 10000 i1 + v10=10001 + v1013 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。解： 不妨设每次还款额为1。Pt It = vnt+1 (1 vnt+1)= 2vnt+1 1由2vnt+1 1 = 0 t 12.96验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为1

8、00 元，季换算的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得Rv203+1 = 100 R =100v18于是最后5 次本金总额为R(v1 + + v5) = 724.59 元15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本金量。解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有：1 = Ra10pi + Ra10pj (1 + i)10) R =1a10pi + (1 + i)10a10pj (1) I5 = iB4= i

9、R(a6pi + (1 + i)6a10pj )(2) P15 = B14 B15= Ra6pj Ra5pj = R(1 + j)616 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本金部分是否为等比数列？解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。(1) 利用追溯法可得Bt = A(1 + i)t Kstp , t n0, t = n故Pt = (K iA)(1 + i)t1, t L2Bk1 = Rank+1p 1故K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2ln v +

10、 1其中x 表示取整函数。21 设有年利率2.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4 倍解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法Bk1 = L(1 + i)k1 Rsk1p Ik = iBk1 = iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1再由Pk = 4Ik 得k 11。22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(

11、1)1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。解： (1) 设In, Pn 为别为n 年的利息部分和本金部分，I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5又I1989 + P1989 = I1990 + P1990 P1990 = 67.5(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得B1989 = 1225 。设最后一次还款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足1225 = 165.51 v11+ti t = 0.653故最后一次还款时间为2000 年9 月

12、24 日，金额为165.5 1.08t10.08 = 106.67元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一年的等价时间偿还的方法。与原答案有出入23 某贷款通过2n 次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。解： 由题意得 34L = Ranpi L = Ra2npi vn =13而In+1 = R(1 vn)，故利息部分所占的比例是23。24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利率0.75% 的10 年贷款，对

13、这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。a120p0.75% = (1 + K%)a120p1% K = 13.258%25 现有10000 元贷款利率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算：(1) 1500 元中的利息量；(2) 1500 元中的偿债基金存款；(3) 1500 元中偿还当年利息的部分；(4) 1500 元中的本金量；(5) 第11 年底的偿债基金余额。解： (1) I11 = 10000 10% = 1000 元；(2) 偿债基金

14、存款额为1500 1000 = 500 元；(3) 也即是计算净利息: 1000 5000 8% = 600 元；(4) 本金量1500 600 = 900 元；(5) 11 年底的偿债基金余额5000 (1 + 8%) + 500 = 5900 元。26 证明：anpi&j =snpj 1 + isnpj 。证： 利用 L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去R可得(Lanpi&j iL)snpj = L再适当变形便可得结论。27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还贷

15、款。计算K。解： 由题意得Ks10p7% = 104 K = 676.4328 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。解： 设贷款额为X ，有 X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1 + R2整理得到X2(1a10p5% +1anp5%&4% ) = 1000X = 7610.48 元29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以i(2) = 12%计息，后5 年以i(2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率i(

16、2) = 8% 的偿债基金。计算第10 年底偿债基金与贷款之间的差额。解： 前5 年每半年放入偿债基金1000 12000 6% = 280后5 年每半年放入偿债基金1000 12000 5% = 400故第10 年底偿债基金余额为280s10p4% (1 + 4%)10 + 400s10p4% = 9778.6于是差额为2221.4 元。30 为期10 年的3000 元贷款，以i(2) = 8% 计息。如果借款人将贷款的1/3 通过存入利率i(2) = 5% 的偿债基金偿还，剩余的2/3 通过存入利率i(2) = 7% 的偿债基金偿还。计算每年的还款总额。解： 设对于1/3 部分贷款每年还款

17、为R1 ，剩余部分贷款每年还款为R2 。有(R1 1000 4%)s20p2.5% = 1000(R1 2000 4%)s20p3.5% = 2000分别解得R1 = 79.15,R2 = 150.72。故每年的总还款额为R1 + R2 = 229.87 元31 为期31 年的400000 元贷款,每年底还款36000 元，若以年利率3%建立偿债基金。计算原贷款利率。解： 设原贷款利率就是i 。有(36000 400000i)s31p3% = 400000解得i 7% 。32 某20 年期末年金，以前10 年利率8%后10 年利率7%计算的现值为10000元。某投资者以年利率9% 买得该年金，

18、并允许以累积偿债基金的方式收回这笔资金，偿债基金前10 年利率为6%，后10 年利率为5%。计算偿债基金的存款额。解： 设期末年金每年的金额是R ，偿债基金存款额为X ，未结贷款余额为P ，有 10000 = Ra10p8% + Ra10p7% (1 + 8%)10R = X + P 9%P = Xs10p 6%(1 + 5%)10 + Xs5%p解得：X = 246.95 元有待讨论！我们认为年利率9% 就是利率i33 某n 年期利率为i 的贷款，以利率j 建立偿债基金。试给出以下各问的表达式(1 6 t 6 n )：(1) 贷方每年得到的利息；(2) 偿债基金每年的存款额；(3) 第t 年

19、偿债基金所得利息；(4) 偿债基金在第t 年底的余额；(5) 第t 年底的未结贷款余额；(6) 第t 年支付的净利息；(7) 第t 年支付的本金。解： 设贷款额为L。(1) 贷方每年得到的利息为iL ；(2) 由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为Lsnpj (3) 偿债基金在t 1 年末的余额是Lsnpj st1p ，故在第t年所得利息为jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1(4) 偿债基金在第t 年底的余额是Lsnpj stpj = L(1 + j)t 1(1 + j)n 1(5) 第t 年底的未结贷款余额为L L(1 + j)t 1(1 + j)n 1= L(1 + j)n

20、(1 + j)t(1 + j)n 1(6) 第t 年支付的净利息为iL jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1(7) 第t 年支付的本金量是第t 年偿债基金所得利息与第t 年存入偿债基金金额之和，即为jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1+Lsnpj =j(1 + j)t1L(1 + j)n 134 为期10 年的100000 元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基金。已知前5 年还款为K ；后5 年还款为2K 。计算K 。解： 每年的利息为100000 12% = 12000故100000 = (K 12000)s5p8% (1 + 8%)5 + (2K 1200

21、0)s5p8% 解得K = 13454.36 元。35 某10000 元贷款以利率i(12) = 15% 按月偿还利息，同时以利率i(12) = 9% 每月存款100 元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到10000 元，则结束还贷。计算借款人总的还款额。解： 每月还利息为10000 i(12)12= 125 元，于是每月总支出为100 + 125 = 225再由100snp7.5% 10000 n = 75但需要注意100snp7.5% 10, 000 = 18.33 ，故最后一个月放入偿债基金的应是100 18.33 元。所以总共还款额为75 225 18.33 = 16856.67 元3

22、6 为期25 年的100000 元贷款，贷款利率12%。如果贷款人从每年的还款中以年利率i 提取利息，同时将剩余部份以利率j 累积偿债基金。分别对j = 8%, 12%和16%三种情况计算i 。解： j = 12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为R ，于是R =La25p0.12 再根据偿债基金的定义有(R iL)s25pj = L解得i =1a25p12% 1s25pj 代入数据便有(1) j = 8% 时，i = 11.38%；(2) j = 12% 时，i = 12%；(3) j = 16% 时，i = 12.35%。37 现有10 年期贷款按月偿还，其中月换算名利率i(12

23、) = 12% ，首次为600 元，然后每次增加5 元。(1) 计算原始贷款金额；(2) 证明：Pt = P1(1 + 0.01)t1 + 5st1p1% 。解： L = 595s120p1% + 5Ia120p1% = 58490.89 元；证： 这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。下面给出的证明方法是作者认为最简单的。如果每次还款额是一样的，那么Pt 呈等比数列，且Pt = P1(1+i)t1 。于是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用B1t 表示等额还款时第t次的未结贷款余额，B2t 表示按题中方式进行还款时第t 次的未结贷款余额。于是B1t = L(1

24、 + i)t 600stpi B2t = L(1 + i)t 600stpi 5Ist1pi 故P2t P1t = (B2t1 B2t ) (B1t1 B1t )= (B2t1 B1t1) + (B1t B2t )= 5(Ist1pi Ist2pi )= 5st1pi (直接带公式化简)于是Pt = P1(1 + 0.01)t1 + 5st1p1% 38 某帐户现有1000 元存款，每月实利率1%，且月月结算。如果每次恰好在利息结算的下一个瞬间取出100 元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户每月余额和利息的列表。解： 设第t 个月帐户余额为Bt ，于是Bt = 1000(1 + i)t 1

25、00stpi 容易算得t = 10 时，帐户余额首次低于100 元，故最多能够提取10 次。每月结余和利息列表如下：月份利息帐户余额0 0.00 1000.001 10.00 910.002 9.10 819.103 8.19 727.294 7.27 634.565 6.35 540.916 5.41 446.327 4.46 350.788 3.51 254.299 2.54 156.8310 1.57 58.4039 已知某贷款每半年偿还K 元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72 ，5084.68 和4973.66 。计算K。解： 利用追溯法可得 5190.72(1 + i) K = 5084.685084.68(1 + i) K = 4973.66由此可解得K = 349.81 元。40 利率为i 的贷款L ，每次偿还K ，直至最后的不足额(不足金额K )还款。证明：Bt =Ki (