关于地方日报的最优订阅价格.docx

1、关于地方日报的最优订阅价格数学建模第一次大作业关于地方日报的最优订阅价格08机电专业第二组林炳文 杨杰 罗庚关于地方日报的最优订阅价格摘要 关于日报的单变量最优价格的讨论，这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。并建立了相应的模型，求出了订阅人数与价格之间的关系。在模型求解过程中我们运用了Mathematica画出了相应的图形，从而阅读来比较直观。 问题二和问题三中，从灵敏性方面进行分析，得到日报的最优价格。关键词 ：灵敏性 最优 单变量一、 问题提出一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美分，就会损失500

2、0订户。问题：（1）求使利润最大的订阅价格？ （2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000、6000及7000，计算最优订阅价格。 （3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。求最优订阅价格p作为n的函数关系。并用这个公式来求灵敏性S(p,n)。 （4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的结论。二、基本假设 订户一旦订阅日报之后无在退订情况发生；日报订阅价格每周七天均保持不变；日报的生产数量能满足用户的需求；直到达到最优价格之前，每周日报的价格均提高0.1美元；5、订户每户只能订一份日报；三、 符

3、号说明意 义备 注p利润最大时日报的订阅价格单位：美元/份T提高到最优价格所用的周数r每周提高的订价单位：美元/份每周价格提高之后损失的订户数单位：户 第周的订户数单位：户第T周日报的净利润单位：美元 起始的日报总订户数=80000（户）四、模型的建立与求解4.1 问题一模型建立与求解4.1.1 问题一的分析本问题中，根据题意，我们有如下关系式：提高到最优价格所用的周数；第周的订户数；故第T周日报的净利润4.1.2 问题一模型的建立由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：max ，s.t p1.54.1.3 问题一模型的求解 当n=5000,r=0.1时，这是一个单变量的函数的最优化问题，

4、而且是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，其求解过程如下：(1)求驻点：驻点为：代入常量参数得到：根据模型可画出函数Q（p）关于p的图象如下图一 由图一可知函数Q（p）在单调递增，在单调递减，故，是函数Q（p）的极大值点。依题意可知日报价格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。 假设日报价格不提高：=120000假设日报价格提高了0.1美元后：=120000根据报社实际情况，在利润相同的条件下，订户数越少，报社的工作量就越小，故取价格提高0.1美元，即日报最优订阅价格为1.6美元。4.2 问题二模型建立与求解4.2.1 问题二模型的分析数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此

5、需要考虑数据的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性，如日报当前的价格，日报现在的订户数，有些数据的确定性却很低，如日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量，在前面，我们假设n=5000(户)，r=0.1(美元/份)4.2.1 问题二模型的建立考虑r=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减少的用户数量的灵敏性则有模型max s.t n04.2.1 问题二模型的求解由上面的模型可知，n变化时，最优日报价格p的变化如下表一和图二：n30004000500060007000p2.081.751.551.411.32表一 问题二模型的图象有如下： 图二由图二可知，随着

6、n增加，价格p在减少。4.3 问题三模型建立与求解4.2.1 问题三模型的分析 由于模型假设中的参数是估计和预测的，所以应该研究它们所变化时对模型的结果的影响。我们用灵敏性来解释。4.3.2 问题三模型的建立 设每周的日报上涨价格0.1美元不变,研究n的变化的影响,代入0.1后:可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。P对n的敏感记作S(p,n),定义为： =，此即为问题三的模型。4.3.3 问题三模型的求解根据上面的模型画出图形n4200440046004800500052005400p1.702381.659091.619571.583331.551.519231.49074又当n =5

7、000时可以算出S(p,n)= - 0.516就是报子价格每周增加1%出售日报就减少0.516%份。五、模型评价 本模型直观易懂，对实际问题的描述是合理的。相比于其他模型，此模型变量较少，属于单变量问题，求解过程比较简单，所以它能求得最优解。在计算中，我们采用了合理的算法及相关软件，并做出了图表和图象，使得求解难度大大降低。 对问题四的解答，即应该改变其订阅价格，要根据实际情况来说明，因为在相同的利润条件下，就要考虑报社员工的工作量和报纸的原材料花费，现在的社会讲究人文化和绿色环保，所以应该提高价格，虽说减少了订阅数，但其利润还是保持最大。六、参考文献1 费培之，数学模型实用教材，成都，四川大

8、学出版社，1998年2 卢开澄，单目标、多目标与整数规划，北京，清华大学出版社，1999年3 傅鹏等，数学实验，重庆，科学出版社，2000年4 姜启源，数学建模，北京，高等教育出版社，2009年七、附录 利用Mathematica编写有如下程序和图象 附表一 ?Graphics?附表二 ?Graphics? 1.70238 1.65909 1.61957 1.58333 1.55 1.51923 1.49074附表三 ?Graphics? 5.83333 2.5 0.5 -0.833333 -1.78571附表四 ?Graphics? -2.28571 -4. -16. 8. 3.2附表五 ?Graphics? 2.08333 1.75 1.55 1.41667 1.32143