中考数学热点冲刺1新定义型问题含答案解析.docx

1、中考数学热点冲刺1新定义型问题含答案解析热点专题1新定义型问题中考要求综观2019年中考 新定义”问题的解答，效果并不是很理想，普遍出现 题没看清、没看懂”、理解错了”等状况，究其原因是阅读理解能力太弱 这就要求我们在平时关注理解能力的培养，从而使学生综合分析解决问题的能力得到提升1.新定义”问题的概念及特征新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点， 通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中 新知识”通过阅读材料呈现给初中学生， 让他们将这些 新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新

2、知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类 新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义 新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型.2.新定义”问题类型和常用解题方法（1） 定义新规则，新运算”型 新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注意题 目中看似不经意的限制条件 （2） 定义数学新概念型 定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟 定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发

3、现探究能力（3） 定义新函数，新知识型 定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新 能力解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质3.新定义”问题类型应对策略 数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用 因此，在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，弓倾学生找到解决问题的思想方法 在中考复习中，适当进行要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注题多变”、一题多解”

4、、一法多用”的教学活动 专题集训考向1定义新概念1.(2019岳阳)对于一个函数，自变量 x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点 XI、X2,且X1V 1 VX2，则c的取值范围是( )1A cV 3 B cv 2 C c D. cV 14【答案】BX1 x2 1【解析】 当y=x时，x=x2+2x+c,即为x2+x+c=0 ,由题意可知：X1 ,X2是该方程的两个实数根， 所以x1 x2 cT X1V 1 V X2,.(X1 1)( X2 1)v 0,即 X1X2 (X1+ X2) + 1 V 0, c ( 1)+ 1v0, c

5、v 2又知方程有两个不相等的实数根，故 0,1即12 4c0,解得：cv c的取值范围为cv 2 .42. (2019?山东临沂)一般地，如果x4=a(a0 ,则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个.它 们互为相反数，记为 土需，若疗=10，则m= .【答案】10【解析】 Vmr=10,A m4=104,. m= 10故答案为：10.3 ( 2019?湖北十堰)对于实数 a, b，定义运算 ”如下：ab= (a+b) 2-( a-b) 2若(m+2)( m-3) =24，贝U m= 【答案】-3或4【解析】根据题意得(m+2) + ( m - 3) 2 - (m+2 ) -( m -

6、 3) 2=24,(2m - 1) 2 - 49=0,(2m - 1+7) ( 2m - 1 - 7) =0,2m - 1+7=0 或 2m - 1 - 7=0,所以 m1= - 3, m2=4.故答案为：-3或4.4.(2019常德)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且1两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若 M、N的坐标分别为(0，1)，(0，- 1), P是二次函数y=x24的图象上在第一象限内的任意一点， PQ垂直直线y= -1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形

7、其中正确的是 (填序号)【答案】【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；中的四边形1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 PMNQ 满足 MN / PQ,设 P(m, 0) (m 0) , / PM= m (m 1) =-m + 1, PQ=：m - (- 1)=- m +1 , PM=PQ，故四边形PMNQ是广义菱形.综上所述正确的是.5.( 2019陇南)定义：等腰三角形

8、的顶角与其一个底角的度数的比值 k称为这个等腰三角形的 特征值”若等腰ABC中，/ A=80，则它的特征值 k= .8 1【答案】？或丄.5 46.(2019重庆A卷)道德经中的 道生一，一生二，二生三，三生万物 ”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、 质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数 一纯数”定义：对于自然数 n在计算n+ (n + 1) + (n + 2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n为 纯数”例如：32是”纯数”因为计算32 + 33+ 34时，各数位都不产生进位； 23不是 纯数

9、”因为计算23+ 24+25时，个位产生了进位.(1) 判断2019和2020是否是 纯数”请说明理由；(2)求出不大于100的 纯数”的个数.【答案】(1) 2019不是 纯数” 2020是 纯数”理由如下：在计算 2019 + 2020 + 2021时，个位产生了 进位，而计算 2020+ 2021 + 2022时，各数位都不产生进位， 2019不是 纯数” 2020是 纯数”(2) 由题意可知，连续三个自然数的个位不同， 其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为 0、1、2、3时，不会产生进位.现分三种情况讨论如下：当这个数为一位自然数时， 只

10、能是0、1、2,共3个；当这个数为二位自然数时， 十位只能为1、2、3, 个位只能为 0、1、2，即卩10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个；当这个数为 100时，易知100是 纯数”综上，不大于100的 纯数”的个数为3 + 9 +仁13 .7.(2019宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形 ，这两个角的夹边称为邻余线 .(1)如图1,在AABC中,AB=AC,AD是AABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证：四边形ABEF是邻余 四边形；(2)如图2,在5M的方格纸中,A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF,使AB是邻余 线

11、,E,F在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下，取 EF中点M,连接DM并延长交 AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,求邻余线AB的长.【答案】：（1） / AB=AC,AD 是 AABC 的角平分线，二 AD 丄 BC, a / ADB=90 ,二/ DAB+ / DBA=90 ,/ FAB 与/ EBA 互余四边形 ABEF是邻余四边形；(2)如图所示，四边形ABEF即为所求(答案不唯一)/ AB=AC,AD 是AABC 的角平分线EDF=90 ,M 为 EF 的中点， DM=ME., BD=CD, T DE=2BE, BD=CD=3BE, CE=CD+DE

12、=5BE. v/ / MDE= / MED. v AB=AC, / B= / C, DBQ ECN, QB BD 3, v QB=3, NC=5, v AN=CN, AC=2CN=10, AB=AC=10. NC CE 58. (2019达州)箭头四角形模型规律，如图 1,延长CO交AB于点D,则/ BOC= / 1 + / B= / A+ / C+ /B.因为凹四边形 ABOC形似箭头，其四角具有 / BOC= / A+ / C+/ B”这个规律，所以我们把这个模型叫 做箭头四角形”模型应用：(1)直接应用：1如图 2 ,Z A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F= 2如图3,

13、/ ABE、/ ACE的2等分线(即角平分线) BF、CF交于点F，已知/ BEC=120 / BAC=50，则Z BFC= .3如图4, BO1、CO 2分别为Z ABO、/ ACO的2019等分线(i=1 , 2, 3,，2017, 2018)，它们的交点从上到下依次为。1 , O 2 , O3 ,，。2018.已知Z BOC=m , / BAC=n，则Z BO1oooC= 度(2) 拓展应用：如图5,在四边形ABCD中，BC=CD , Z BCD=2 Z BAD. O是四边形ABCD内的一点， 且OA=OB=OD.求证：四边形 OBCD是菱形.【答案】（1 ：/ A+ Z B+ Z C=

14、 , Z D+ Z E+ Z F= /.Z A+ Z B+ Z C+ Z D+ Z E+ Z F=2 tZ BEC= Z A+ Z ABC+ Z ACBZ BFC= Z A+ - Z ABC+ - Z ACB , Z BEC=120 Z BAC=502 2 1 Z BEC= 1 Z A+ 1 Z ABC+ - Z ACB /. 60 =25 + 1 Z ABC+ 1 Z ACB2 2 2 2 2 21 Z ABC+21 1 1-Z ACB=35 /Z BFC= Z A+ Z ABC+ Z ACB=50 + 35 =85 /Z BFC=852 2 2 1 m20191019n2019(2)证明：

15、(1)如图，延长AO到E,/ OA=OB,/Z ABO= Z BAO.又/ BOE= / ABO+/ BAO ,二/ BOE=2/ BAO ,同理/ DOE=2 / DAO ,/ BOE+Z DOE=2/ BAO+2 / DAO=2 (/BAO+ / DAO )，即/ BOD=2/ BAD. 又v/ BCD=2 / BAD BOD=Z BCD.(2)如图，连接 OC ,v OB=OD , CB=CD , OC=OC, OBC ODC ,/ OBC= / ODC.又vZ BOD= / BCD，四边形OBCD是平行四边形.又v OB=OD，四边形OBCD是菱形.C9.（ 2019扬州）如图，平面内

16、的两条直线 li、I2，点A， B在直线li上，点C、D在直线12上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为 A，Bi,我们把线段A Bi叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度 可记作t（ab,ad）或T（ab2），特别地线段AC在直线I2上的正投影就是线段 AiC.请依据上述定义解决如下问题：（1） 如图i,在锐角 ABC中，AB 5 , Tac,ab） 3，则 T（bc,ab） ；（2） 如图 2,在 Rt ABC 中， ACB 90 , T（ac,ab） 4 , T（bc,ab） 9，求 ABC 的面积；（3）如图 3，在钝角 ABC 中，A 60，点 D 在 AB 边上， AC

17、D 90 , T（ad ,ac） 2 , T（bc,ab） 6，求T（bc ,cd）,【答案】(1)如图1中，作CH AB .QT（ac,ab）3 , AH 3, Q AB 5 ,BH 5 3 2, T（bc,ab）bh 2，故答案为 2.（2）如图2中，作CH AB于H .QT（ AC,AB） 4 , T BC,AB ） 9 , AH 4, BH 9 ,Q ACB CHA CHB 90 ,A ACH 90 , ACH BCH 90 , A BCH ,ACH s CBH ,CHBHAHCH ，CH94CH，CH 6 ,1S ABC gAB（CH21-1326 39 .(3)如图3中，作CH A

18、D 于 H ,BKCD于KAD AHCD 3AC 2 3 , AD 2AC 4 , AH AC 1 , DHQ T(BC ,ab )6，CHAB，BH6，DBBHDH3，在 Rt BDK 中，QK 90，bd3，BDK30DKBD gsos303.32CKCDDK2.33.3_2-7.32-T（bc,cd） CK 2考向2定义新运算111. （2019济宁）已知有理数a工1,我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1,- 1的差倒数1 a 1 2么a1 + a2+ a1oo的值是（）【答案】A则 m=()21x 3 2x可得方程，解得x=1，经检验此解为方程的根.4.(2019枣庄)对于

19、实数a、b,定义关于的一种运算： a b=2a+b.例如3 4=2 X3+4=10.(1)求4 ( 3)的值；若 x ( y)=2 , (2y) x= 1,求 x+y 的值.【答案】 根据题意得：4 ( 3)=2 X4+( 3)=5.(2) / x ( y)=2 , (2y) x= 1,5. (2019毕节)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数 a , b , c,用Ma, b , c表示这三个数的平均数，用 min a , b , c表示这12 9三个数中最小的数.例如： M1 , 2, 9 4 , min1 , 2, 3 3

20、 , min3 , 1 , 1 1 .请结合3上述材料，解决下列问题：(1 M( 2)2, 22, 22 ； min si n30 , cos60 , tan 45 ;(2 )若 M 2x , x2 , 3 2,求 x 的值；(3)若min3 2x , 1 3x , 5 5,求x的取值范围.4 1【答案】(1 -:-；(2) x 1 或 3； ( 3) -2Wx422)3 2【解析】解：(1 M( 2) , 22 ,1 min si n30 , cos60 , tan 45 (2)Q M 2x , x2 , 3 2 ,(3)Q min3 2x, 1 3x , 56.(2019随州)若一个两位数

21、十位、个位上的数字分别为 m, n，我们可将这个两位数记为 mn，易知mn =10m+n , 同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 赢=100a+10b+c.(1) 解方程填空：若 2x + x3=45,则 x=；若 7y y8 =26，则 y=；若 t93 + 5t8=13t1，则 t=;(2) 交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数 nm ,贝V mn + nm 一定能被整除， mnnm定能被整除， mn，nm mn定能被整除；(请从大于 5的整数中选择合适的数填空)(3)北京时间2019年4月10 日 21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天

22、体，连光都逃脱不了它的束缚， 数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数， 要求个、十、百位的数字各不相同，2xx23 2，解得，解得:1或3;-2W x b c),试说明其均可产生该黑洞数.【答案】(1) t=7 ； ( 2) mn + 一定被11整除； mn nm 一定被9整除；mn nm mn一定能被10整除；(3反复运算可得495；证明过程见解析【解析】解：(1 )T mn =10m+n , 2x + x3 =45=20+x+10x+3=11 x+23=45，得 x=2，同理可得 y=4, t=7 ；(2) mn + nm=10m+n+10n+m=11 (m+n)故一定被 11 整除；

23、同理 mn nm一定被 9整除；mn nm mn定能被10整除；(3)反复运算可得495:/ a b c,.第一次运算得到100a+10b+c ( 100c+10b+a)=99 (a c),可以看出结果必为 99的倍数，a b c, ab 1, bc 1,即a12, - a c9a c,. a c 0)是减函数.X、 6证明：设 0V X1 v X2, f(x1) f(x2)=X16 6x2 6x1X2XjX26 X2 XiXjX2/ 0V Xiv X2,X2 X1 0, X1X2 0.6 x2 x1X1X2 0，即 f(x1) f(x2) 0./ f(xi) f(x 2),函数 f(x)=

24、-X(x 0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f X12 x (XV 0),X0, f 2(1)计算：f( - 3)=,f( - 4)=(2)(3)1猜想：函数f X 冷X请仿照例题证明你的猜想.(xV 0)是函数(填增”或减”)；6316【答案】(1)(2)增;(3 )证明：设X1 v X2V 0,f(x 1) f(X2)=12 X1X112X2X212X12X2X1X22X22X12 2X1 X2X1X2X2 X X X122X-! X2X2X1X2X1x2 为1-22 X-! X?T X1 v X2V 0,. X2 X1 0, X12X220 , X2+ X1 1 V 0

25、 ,3. (2019金华)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为4,边OA , OC分别在x轴，y轴的 正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点. 点P为抛物线y= (x 2) 2 + m+ 2的顶点.(1 )当m=0时，求该抛物线下放(包括边界)的好点个数.(2)当m=3时，求该抛物线上的好点坐标.(3) 若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在 8个好点，求m的取值范围./当 x=0 时,y=2 ;当 x=1 时，y=1 ;抛物线经过点（0, 2）和（1, 1）.好点有：（0, 0）,（ 0, 1）,（ 0, 2）.（ 1 , 0）和（1 , 1）共 5 个.(2)当m=3时，二次函数的表达式为y= ( x 3) 2+ 5,画出函数图象(图 2).当 x=1 时，y=1 ； 当 x=4 时，y=4.抛物线上存在好点，坐标分别是( 1, 1 )和(4, 4).(3)抛物线顶点 P的坐标为(m, m+ 2),.点P在直线y=x + 2上.由