线性代数的应用案例.docx

1、线性代数的应用案例案例一已知不同商店三种水果的价格、不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A商店B苹果-0.10 0.15橘子0.15 0.20梨0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3人员B |4 5 5人员A人员B城镇 1 1000 500城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C。(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D，则D=BA，即:D10|(4 5迅10卫.100.152.30 3.050.20

2、 =1.65 2.100.10 -此结果说明，人员A在商店A购买水果的费用为2.30，人员A在商店B购买水果的费用为3.50，人员B在商店A购买水果的费用为1.65，人员B在商店B购买水果的费用为 2.10。(2)设该矩阵为E，贝U E=CB，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|4 5 5-7000 12500 5500*4000 25000 11000一此结果说明，城镇1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。题后说明：这是一个

3、矩阵的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇 1和城镇2）;城镇1中有人员A（ 1000人）和人 员B（ 500人），城镇2中有人员A（ 2000人）和人员B（ 1000人）；人员A需苹果、橘子 和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别 4、5和5;现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、0.15和0.10，而商店B中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。现问：（1 ）每个商店每个人购

4、买水果的费用是多少？ （ 2）每个城镇每种水果的购买量是多少？解：（1 ）商店A:人员A购买水果的费用为：5 0.10 10 0.15 3 0.10=2.30人员B购买水果的费用为：4 0.10 5 0.15 5 0.10 =1.65商店B：人员A购买水果的费用为：5 0.15 10 0.20 3 0.10 = 3.05人员B购买水果的费用为：4 0.15 5 0.20 5 0.10 =2.10此时如果用矩阵表示的话，有:商店A商店B人员A2.303.05人员B,652.10一显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（ 2）也是一样的。然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。就此问题

5、而言， 数据简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有 10个，商店有50个的话。显然用一般解法 是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。案例二某文具商店在一周内所售出的文具如下表，周末盘点结账，计算该店每天的售货收入及一周的售货总账.文具星期单价（元）-一一-二二-三四五六橡皮（个）1585112200.3直尺（把）152018168250.5胶水（瓶）2001215431解 由表中数据设矩阵*158511220、*0.3 A =15201816825，B =0.50121543202530.5丿所以，每天的售货收入加在一起可得一周的售货总账，即32 12.4 22.5

6、23.3 11.6 21.5 =123.3（元）案例三某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁 10%与20%，乙种原料分别含锌与镁10%与30%，现在要用这两种原料分别配制 AB 两种试剂，A试剂需含锌镁各2克，5克，B试剂需含锌镁各1克，2克.问配制 AB两种试剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？解： 设配制A试剂需甲乙两种化学原料分别为 x，y克；配制B试剂需甲乙两种化学原料分别为s，t克；根据题意，得如下矩阵方程*0.1 0.Px s2,0.2 0.3丿y t5 2*o.1 0.rx s2 1、,X =,B =p.2 0.3y t5 2设A二F面用初等行变换求A，0.

7、1 0.1 1 O101 、 dnr-?Z1 1 10 0 xZ1 1 10 0 xJ 0 30 -100.2 0.3 0 1 丿1022 3 0 10丿0 1 -20 10丿0 1 -20 10 丿即A1厂30-20-1010t s30 -10广2 1、10 10、120 10 !,5 2丿J0 0丿所以X =即配制A试剂分别需要甲乙两种化学原料各10克，配制B试剂需甲乙两种化学原料分别为10克，0克.案例四一百货商店出售四种型号的 T衫：小号，中号，大号和加大号.四种型号的T衫的售价分别为：22元，24元，26元，30元.若商店某周共售出了 13件T衫，毛收入为320元.已知大号的销售量为

8、小号和加大号销售量的总和，大号的X(i =1,2,3, 4)，由销售收入也为小号和加大号销售收入的总和，问各种型号的T衫各售出多少件?解 设该T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为 题意得% + x2+ x3+ % = 1322x124x226x330x4= 320为一花+ x4= 022片26X3 *30X4 =0F面用初等行变换把A化成行简化矩阵511113 111113 22242630320r22r1，i31024834:10-110r22i? 0_1_20-13220-263000-22488-286 丿A 二111113 q11113 0_1-20-13r3七r2亠0-1-20

9、-130248344亠2000880-22488286 丿00一480丿广101-11-21013、-131n01112101313 二 T00-480001-200088001111012、110010、3创、0120132 -2r301009r1亠00102r1 001020011丿0011丿q 000 i、0 10 0 90 0 10 20 0 0 1 1 ?所以方程组解得为=1X2 = 9X3 =2X4 =d因此T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为1件，9件，2件和1件.案例五一个牧场，12头牛4周吃草10/3格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔 牧草，多少头牛18周吃完？

10、（注:格尔一一牧场的面积单位）解设每头牛每周吃草量为x,每格尔草地每周的生长量（即草的生长量）为 y，每格尔草地的原有草量为a，另外设24格尔牧草，z头牛18周吃完.12 4x =10a/3 10/3 4y则根据题意得 21 9x =10a 10 9y 其中（x, y,a）是线性方程组的未知数z 18x =24a 24 18y144x -40y - 10a = 0化简得 189x -90y-10a =0J8zx - 432 y - 24a = 0根据题意知齐次线性方程组有非零解，故 r（A）：3,即系数行列式144-40-10189-90-10=0,18z-432-24计算得z = 36.所以

11、24格尔牧草36头牛18周吃完.案例六3场，胜者田忌和齐王赛马双方约定出上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，比赛共 得一分，负者-1分。已知在同一等级的马进行赛跑，齐王可稳操胜券，另外，齐王的中等马对田忌的上等马， 或者齐王的下等马对田忌的中等马， 则田忌赢。齐王和田忌在排列赛马出场顺序时各取下列 6种策略之一： 上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中若将这6种策略从1到6依次编号，则可写出齐王的赢得矩阵广311-111、13-111-1A =1131111113-11-11113111-11113案例七奶粉一奶粉二奶粉三甲超市5810乙超市735甲乙两超市销售三种奶粉

12、的日销售量见下表抽象为矩阵A =8 10、3 5单价与利润见下表单价利润奶粉一151奶粉二121奶粉三20215抽象为矩阵B= 12由此得矩阵C= AB#158 10)123 5丿20勺7101332求甲乙两超市销售奶粉总收入与总利润收入利润甲5x15+8*12+10x20=3715疋1 +8汉1 +10汉 2 =33乙7 汉 15+3 汉 12+5 汉 20=2417汉1 +3 汇 1 +5汉2 =20案例八机床定模型兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格机床，其价格和成本见下表甲乙丙单价（万元每台）765成本（万元每台）64.54一月份，工厂收到北京上海和广东三地的订购数量如下表北京上海广东甲机床（

13、台）457乙机床（台）568丙机床（台）349请计算各地订购三种机床的总价值总成本和总利润各是多少。案例九军事通讯中的加密与解密军事中通讯中，需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与数字对应，如：abcd . xyz1234 242526如are对应的矩阵B=(1 18 5),如果直接按这种方式传输，则很容易被敌人破译而造成巨大的损失，这就需要加密，通常的做法是用一 个约定的加密矩阵A乘以原信号矩阵B，传输信号时，不是传输的矩 阵B，而是传输的转换后的矩阵C=ABT,收到信号时，再将信号还原。如果敌人不知道加密矩阵，则他就很难弄明白传输的信号的含义。 设1 0 1收到的信号为 C= 121

14、27 31T,并且已知加密矩阵是 A= 0 11,问U 1 1丿原信号B是什么？ 解答：由加密原理知：bt=a-1c所以先求逆矩阵：二10 1 100-10 110 001 1010011010-,11 1001一1012101 一-10 11 0 00 110 10 =0 0 11-11二10001-11000-111010-12-1戶1010-12-10011-1-0011-11 一0 -1 1从而得到A-1= -1 2 -11-1 10 - 1 1 2 1 4所以 BT= A- 1C = - 1 2 - 1 2 7 = 2.1 -1 1_ 3 1 . 2 5所以B= 14 2 251，信

15、号为dby.案例十-韩信点兵有兵一队，人数在 500到1000人之内，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问这队士兵多少人？案例一 商品市场占有率有两家公司R和S经营同类产品，他们相互竞争，每年 R公司保有四分之一的顾客，而四分之三转移到S公司，每年S公司保有三分之二的顾客，三分之一转移向 R公司。当产品开始制造时R公司占有五分之三的市场份额，而 S公司占有五分之二的市场份额，问两年后，两家公司占有的市场份额变化怎样？五年后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据 使以后每年市场份额分配额定不变？ 解答：两年后市场份额 R和S公司分别为31%和69%，五年后市场份额 R和S公司分别 为31%

16、和69% , R和S两家公司市场稳定的初始份额为十三分之四约为 31%和十三分之九 约为69%。案例十二工人工资定价问题现有一个木工、一个电工、一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们约定：没人总共工作10天（包括给自己家干活在内）；每 人的日工资根据一般的市价在 6080元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的 总收入与总支出相等，下面的表格是他们工作天数的分配方案，根据分配方案表，确定他们每人的日工资天工木工电工油漆工在木工家的工作天数216在电工家的工作天数451在油漆工家的工作天数443解：设Xi,X2,X3分别表示木工、电工、油漆工的日工资，根据总收入等于总支出

17、, 建立方程组2为 x2 6X3 = 10为整理得齐次线性方程组解出方程组的全部解为* 4冶 +5x2 +x3 =10x24x(+4x2 +3x3 =10x3-8x1 x2 6x3 = 0 4捲一5x2 +x3 = 04% +4x2 _7x3 = 031x2= k36891（其中k为任意实数）.由于日工资在6080元之间，故取k=72,得日工资分别为xi = 62, x2二 64, x3= 72 .案例十四一制造商生产三种不同的化学产品 A、B、C,每种产品都需要经过两种机器 M 和N的制作。而生产每一吨不同的产品需要使用两部机器不同的时间 （见下表）。机器M每星期使用最多80小时，N每星期使用最多60小时.假设制造商可以卖出每周制造的所有产品，经营者不希望使昂贵的机器有空闲时间， 想知道在一周 内每一产品需制造多少吨才能使机器被充分利用？机器ABCM234N223解：设A、B、C 一周生产的吨数分别为Xi,X2,X3，可列方程组解出方程组的全部解为2x13x2 4x3= 802x1 2x2 3x3 = 60r r_2*10、X2=k-1+2013I )由题意可知找寻方程组的非负解即可即 xi 0，得0k : 20Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！