饮酒驾车三房室数学模型.docx

1、饮酒驾车三房室数学模型 组长：张冲平组员：余 勤 杨永清摘 要 就酒后驾车问题, 仿照药物动力学原理,考虑吸收系统和迟滞时间,建立了二房室模型, 得出了饮酒者饮酒后血液中的酒精含量与饮酒量、 饮酒方式及时间的关系.根据提供的测量数据, 通过多种方法计算模型参数,选用了总体残差平方和最小的阻尼最小二乘法的计算结果作为模型参数. 最后对相关问题进行了解答,结果表明, 模型是合理和有效的.关键词 数学建模; 酒后驾车;房室模型; 药物动力学一、问题的重述据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局

2、2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学

3、模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1） 酒是在很短时间内喝的；2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定

4、时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.250. 50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、问题分析本题要解决司机驾驶员喝酒后，血液中酒精的含量是否符合新的国家检验标准的问题。属于微分方程类型。如果酒是在很短时间内喝的，可根据药物动力学知识建立“二室模型”，即中心室和吸收室。也就是说喝入的酒进入吸收室和中心室后排出体外。再根据酒精在不同房室间的转移及排出规律，建立微分方程，从而得到数学模型。最后可以利用MAT

5、LAB软件对所提供的数据进行拟合，得到血液中酒精含量与时间的一个函数关系式。如果酒是在较长时间内喝的，将它假设为“一室模型”，即酒直接进入中心室后排出体外。由此可建立血液中酒精含量与时间的另一个函数关系式。模型建立三、建模思路酒里所含的酒精进入体内后, 在随血液输运到各个器官和组织的过程中, 不断地被吸收、 分布、 代谢,最终排出体外. 考虑到酒精与药物的相似性, 可采用药物动力学上所用的房室模型:把人体分成若干个部分,每一部分即为一个房室,然后建立各房室之间、 房室与外界之间的酒精转运速度和相应房室的酒精量(或酒精含量)之间的数学关系, 继而求得血液内酒精含量随时间、 饮酒量及饮酒方式变化的

6、关系.四、模型假设1) 酒精进入人体后的变化过程只与人的体重、 喝酒量和喝酒方式有关, 而与年龄、 性别、 温度等因素无关.2) 酒精从一室向另一室的转移速率,及向体外的排除速率,与转出室的血液中酒精含量成正比.3) 人的机体分为若干室,每个室的容积(即血液体积或酒精分布容积)在过程中保持不变.4) 只有中心室与体外有酒精交换,即酒精从体外进入中心室, 最后又从中心室排出体外.5) 血液中酒精含量的测量值是中心室的酒精含量值.五、符号说明n:房室个数; Ai , a i :混杂参数( i= 1, 2, 3, , , n, n+ 1) ; F: 人体对酒精的吸收系数; t1 : 酒精在体内的迟滞

7、时间; x0 ( t ) , x1 ( t) , x2 ( t) : 吸收室、 中心室、 周边室的酒精量; V: 中心室的容积; ki : 酒精从吸收室向中心室的转移速率系数; k0 , k12 : 酒精从中心室向体外、 周边室的转移速率系数; k21 :酒精从周边室向中心室的转移速率系数;单次饮酒时, D:饮用的酒精总量; c( t ) : t 时刻 ( t 0)中心室的血液中的酒精含量(即x1 ( t ) / V) ; 多次饮酒时, D1 , D2 : 第一次、 从第二次开始的各次饮用的酒精量; S : 饮酒时间间隔;cm( t) : 第m次与第m+ 1 次喝酒间隔内中心室的血液中的酒精含

8、量.六、建模 单次饮酒酒精进入中心室之前先有一个进入血液的过程,可以简化为有一个吸收室.把人的机体分为中心室和周边室两室, 可得出酒精在体内的转移过程的三房室模型,如图1.表 1 酒精在体内转移的三室模型建立微分方程组初始条件为解此微分方程组,考虑迟滞时间t1 和吸收系数F 的情况,得 多次饮酒根据药物动力学多次血管外途径用药三房室模型 1类似可以得出多次饮酒三房室模型,中心室的血液中酒精含量为七、参数确定由表1 数据,用残数法结合非线性最小二乘法可得,单次饮酒时其总体残差平方和为 2807. 67.将以上参数作为初值,用origin 7 软件的阻尼最小二乘法求出最后参数值 Ai , ai (

9、 i= 1, 2, 3)分别根据( 5) , ( 6)式得k21 = 3. 46905, V/ F= 12. 5438.其总体残差平方和为91. 4258.该曲线与原始数据的拟合效果如图2.用Mathemat ic 4. 0 求得cmax = 81. 669 毫克/ 百毫升, tmax= 1. 2263 小时,与表1实测数据十分接近.阻尼最小二乘法总体残差平方和最小, 拟合效果最佳,因此选用该方法所得出的参数将上述参数代入( 1) ( 6)式、 ( 7) ( 10)式分别得单次饮酒时的C( t )和多次饮酒时的Cm( t) . 图 2 三房室模型曲线与测量数据拟合效果图(阻尼最小二乘法)八、

10、问题解答从相关的资料 7中可以得知: 酒精的密度为 0. 8 毫克/ 毫升, 啤酒中酒精占 3. 3% 到 5% , 可以准,每瓶啤酒640 毫升.可以得到某人喝下一瓶啤酒时, 总的酒精量为6403. 95%0. 8= 2022. 4 毫克.以下问题均以体重为70 公斤计算,对于体重为N 公斤的人,各种情况下血液酒精含量等于原酒精含量乘以系数70/ N. 问题一当第一次喝酒时, 利用单次饮酒模型, D = 2022. 4 毫克, t = 6 小时, 可求得 c ( t ) = 18. 8604毫克/百毫升.设大李是在晚上七点半吃的晚餐, 则当晚餐吃饭再次饮酒时 D1 = D2 = 2022.

11、4 毫克,m= 2, t= 6. 5 小时, S= 7. 5小时, 利用多次饮酒模型得: c( t) = 20. 8523 毫克/百毫升,即再经过 6. 5 小时后血液中酒精含量达到20. 8523 毫克/ 百毫升.因此,检测结果与题设情况一致. 问题二短时间内喝 3 瓶啤酒时, 利用单次饮酒模型, D= 6067. 2 毫克, t= 11. 68 小时, 得到: c( t ) = 20毫克/百毫升,说明在喝完酒后的11. 68 小时内驾车就会违反标准.在较长一段时间(假设为2 小时)内喝3 瓶啤酒,应用多次饮酒模型, 将2 个小时分成m 段来分析,则有:当m= 4, tmax = 10. 7

12、713 小时; 当m= 10, tmax = 10. 6229 小时, 当m= 100, tmax= 10. 5532 小时.即在喝完酒后的10. 6 小时左右内驾车会违反标准. 问题三仅考虑一次性喝酒的情况, 令单次饮酒模型表达式的导数为零, 可求得酒精含量达峰时间tmax ,如:当D= 2022. 4 毫克时, tmax = 1. 2263 小时,即喝一瓶啤酒1. 2263 小时后血液中酒精含量达到最大值. 问题四设m= 100 次,饮酒的周期为 24 小时, 每天喝 Q 瓶啤酒时, 过 T 小时后血液酒精含量达到 20毫克/百毫升.分别应用单次饮酒和多次饮酒模型可得到表2 和表3 所示数

13、据.表 2 短时间内饮酒 Q与 T 的关系表 3 长时间( 2 小时内)饮酒 Q与 T 的关系 可见,天天饮酒时,在每天饮酒量较小时,经过适当的时间后,是可以安全驾车的, 而且慢饮的方式可以更快地达到安全驾车的血液酒精含量标准.九、 结束语本文模仿药物动力学的房室模型对饮酒后血液中的酒精含量建立了数学模型, 得出了饮酒者血液中酒精含量与时间和饮酒量的关系,计算结果表明,模型和实际测量数据十分吻合, 从而说明了模型的有效性.模型的改进可从以下几个方面虑:求解第二问的第二个小题时,可以参考药物动力学中关于静脉恒速滴注的二房室模型; 另外,采用非线性加权最小二乘法等其他算法, 选择更好的非线性拟合算法来计算房室模型参数; 采用其它数学模型,如非线性房室模型,消除动力学模型等.