九章算术新九章数学教育.docx

1、九章算术新九章数学教育九章算术-新九章数学教育#/11九章算术刻本九章算术是中国汉族学者在古代第一部数学专著是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时九章算术在数学上还有其独到的成就不仅最早提到分数问题也首先记录了盈不足等问题“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是九章算术没有作者它是一本综合性的历史著作是当时世界上最先进的应用数学它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。简介主要内容主要特点数学成就历史考证后世影响历史影响简介九章算术是中国古代数学专著是算经十书（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。魏晋时刘徽为九章算

2、术作注时说:“周公制礼而有九数九数之流则九章是矣”又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残各称删补故校其目则与古或异而所论多近语也”。九章算术根据研究西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。汉书艺文志（班固根据刘歆七略写成者）中着录的数学书仅有许商算术、杜忠算术两种并无九章算术可见九章算术的出现要晚于七略。后汉书马援传载其侄孙马续“博览群书善九章算术”马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据九章算术中可供判定年代的官名、地名等来推断现传本九章算术的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为

3、九大类就是“九章”。1984年九章算术在湖北出土了算数书书简。据考证它比九章算术要早一个半世纪以上书中有些内容和九章算术非常相似一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系但也有不同的看法认为九章算术没有直接受到算数书影响。后世的数学家大都是从九章算术开始学习和研究数学许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和九章算术一起流传至今。唐宋两代九章算术都由国家明令规定为教科书。到了北宋九章算术还曾由政府进行过刊刻(1084)这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本九章算术中最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)现藏于上海图书馆(孤

4、本残只余前五卷)。清代戴震由永乐大典中抄出九章算术全书并作了校勘。此后的四库全书本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的算经十书本 (1773)等大多数都是以戴校本为底本的。作为一部世界科学名著九章算术在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、法等多种文字。编辑本段主要内容九章算术的内容十分丰富全书采用问题集的形式收有 246个与生产、九章算术生活实践有联系的应用问题其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤但没有证明)有的是一题一术有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图今传

5、本已只剩下正文了。九章算术共收有 246个数学问题分为九章、它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则以及求分子分母最大公约数等方法。第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法称为今有术；衰分章提出比例分配法则称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章“少广”：已知面积、体积反求

6、其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果传到西方后影响极大。第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性

7、方程组时使用的直除法与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数并提出了正负术正负数的加减法则与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就第一次突破了正数的范围扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若 a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦贝卩mn。在西方毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况直到

8、3世纪的丢番图才取得相近的结果这已比九章算术晚约3个世纪了。勾股章还有些内容在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。编辑本段主要特点九章算术确定了中国古代数学的框架以计算为中心的特点密切联系实际以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后人们着书立说时还常常把包括西算在内九章算术的数学知识纳入九章的框架。然而九章算术亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义也没有给出任何推导和证明。魏景元四年（263年）刘徽给九章算术作注才大大弥补了这

9、个缺陷。刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念全面论证了九章算术的公式解法提出了许多重要的思想、方法和命题他在数学理论方面成绩斐然。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反要令正负以名之摆脱了正为余负为欠的原始观念从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。九章算术的算法尽管抽象但相互关系不明显显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理把它们看作运算的纲纪。许多问

10、题只要找出其中的各种率关系通过乘以散之约以聚之齐同以通之都可以归结为今有术求解。一平面（或立体）图形经过平移或旋转其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。编辑本段数学成就九章算术中的数学成就是多方面的：（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作在第二、三、六章中有许

11、多比例问题在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设是一项创造中世纪欧洲称它为“双设法”有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的九章算术中有比较完整的分数计算方法包括四则运算通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子“内”读为纳）等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算九章算术已明确提出先通分使两分数的分母相同然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子并以为实母相乘为法实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母“实如法而一”也就是用法去除实进行除法运算九章算术还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者直相从

12、之”就是分母相同的分数进行加减运算时不必通分使分子直接加减即可。九章算术中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法其具体步骤是“可半者半之不可半者副置分母子之数以少减多更相减损求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数可以折半的先把它们折半即可先约去 2。不都是偶数了则另外摆(即副置）分子分母算筹进行计算从大数中减去小数辗转相减减到余数和减数相等即得等数。在九章算术的第二、三、六等章内广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十粝米三十粺米二十七糳米二十四,”图（

13、123）这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗又可舂得九折米二斗七升或八拆米二斗四升,。例如粟米章第一题：“今有粟米一斗欲为粝米问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实以所有率为法实如法而一”。九章算术第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有（人）共买物（每）人出八（钱）盈（余）三钱；人出七（钱）不足四（钱）问人数、物价各几何”“答曰：七人物价53（钱）。”盈“不足术曰：置所出率盈、不足各居其下。令维乘（即交错相乘）所出率并以为实并盈不足为法实如法而一,置所出率以少减多余以约法、实。实为物价法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造它在我国古代算法中占有相当

14、重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家受到特别重视被称为“契丹算法”后来又传入欧洲中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。(2）、九章算术总结了生产、生活实践中大量的几何知识在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。九章算术方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。九章算术方田章第一题今有田广十五步从（音纵zong）十六步。问为田几何。”答曰：一亩”。这里“广”就是宽“从”即纵指其长度“方田术曰：广从步数相乘得积步（得积步就是得到乘积的平方步数）以亩法二百四十步（实质应为积步）除之即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为

15、圭田面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边正从是指底边上的高刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者以盈补虚为直田也。”亦“可以半正从以乘广”图（130）。盈是多余虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田于是得到了圭田的面积计算公式。方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”即（斜田）它的面积公式是：“术曰：并两邪（即两斜应理解为梯形两底）而半之以乘正从,又可半正从,以乘并。”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一

16、般梯形称为“箕田”上、下底分别称为“舌”、“踵”面积公式是：“术曰：并踵舌而半之以乘正从”。至于圆面积在九章算术方田章第三十一、三十二题中它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。这里“周”是圆周长“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三（即n。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。九章算术商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。看来九章算术是在长方体或正方体体积计算公式： V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。九章算术商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠因其功用不同因而名称各异其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱他们的体积计

17、算方法：“术曰：并上、下广而半之以高若深乘之又以袤乘之即积尺”这里上、下广指横截面的上、下底（a,b）高或深（h）,袤是指城垣,的长（I）。因此城、垣的体积计算术公式V=1/2（a+b）h刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形,成为“损广补狭”以证明几何体体堑堵积公式。刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法,“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法,例如长方体本身就是“棋”图132（1）斜解一个长方体,得两个两底面为直角三角形的直三棱柱,我国古代称为“堑堵”（如图）,所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。九章算术商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆

18、亭”的）体积计算公式。甚至对三个侧面是等腰梯形,其他两面为勾股形的五面体（古代称“羡除”）图133(1)上、下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童”以)及上底为一线段下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(甍“”音“梦”等)都可以计算其体积。(3)、九章算术中的代数内容同样很丰富具有当时世界的先进水平。1开平方和开立方九章算术中讲了开平方、开立方的方法而且计算步骤和现在的基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算现以少广章第12题为例说明古代开平方演算的步骤“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。“开方(是指开平方由正方形面积求其一边之长。)

19、术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行如图125(1)所示用以定位)。步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等这与现代笔算开平方中分节相当如图 125(2)所示)。议所得(指议得初商由于实的万位数字是5而且22<5<32议得初商为2而借算在万位因此应在第一行置初商2于百位如图125(3)所示)。以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000置于“实”下为“法”如图125(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000由“实”减去得：55225-400

20、00=15225如图125(5)所示)除已倍法为定法其复除折法而下(指将“法”加倍向右移一位得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字需要把“借算”移至百位如图125(6)所示)。复置借算步之如初以复议一乘之所得副以加定法以除(这一段是指：要求平方根的十位数字需置借算于百位。因实”的千位数字为15,且4_3<15v4_,4于是再议得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3_100=300与定法相加为4000+300=430(!再乘以次商则得：3_4300=1290,0由实”减去得：15225-12900=2325。如图125(7)所示以所得副从定法复除折下如前(这一段是指演算如

21、前即再以300_1+4300=460(向右移一位得460,是第三位方根的定法,再把借算移到个位,如图125(8)所示；又议得三商应为5,再置5于商的个位如图125(9)所示以5+460=465,再乘以三商5,得465_5=2325经计算恰尽如图125(10)所示因此得平方根为235。)上述由图125(1)?(10)是按算筹进行演算的,看起来似乎很繁琐,实际上步骤十分清楚,易于操作。它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。九章算术时代并没有理解到变换和代换,但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。九章算术方程章中的“方程”是

22、专指多元一次方程组而言,与现在“方程”的含义并不相同。九章算术中多元一次方程组的解法是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”所(以称之谓“方程”。)消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。由于九章算术在用直除法解一次方程组过程中不可避免地要出现正负数的问题于是在方程章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反要令正'、负'以名之”。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤负算黑否则以邪正为异”。这就是规定正数用红色算筹负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话则遇到正数将筹正放负数时邪(同斜)放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色

23、数码字以区别正、负数或在个位数上记斜划以表示负数如 (即1824)后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。关于正、负数的加减运算法则“正负术曰：同名相除异名相益正无入负之负无入正之。其异名相除同名相益正无入正之负无人负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值即 ab0则同名相除：(士a)-(士b)=士(a-异名相益：(士a)-(b)二士。(a(2如果被减数绝对值小于减数绝对值即baQ如果两数皆正则a-b=a-a+(b-a)=-(b-a(中间一式的a和a对消而(b

24、-a)无可对消则改“正”为“负”即“正无入负之”。“无入”就是无对也就是无可对消(或不够减或对方为零)(如果两数皆负则(-a)-(-b)=a-(-a)-(b-a)=+(b-a(在中间的式子里(-a)和(-a)对消而-(b-a)无可对消则改负”为正”所以说负无入正之”如果两数一正一负(则仍同(1)的异名相益(术文的后四句是指正负数加法运算法则。(1)同号两数相加即同名相益其和的绝对值等于两数绝对值和。如果a0,b0,则a+b二a+b,(-a)+(-b)=-(a+b)(2异号两数相加实为相减即异名相除。如果正数的绝对值较大其和为正即“正无入正之”。如果负数的绝对值较大其和为负即负无入负之”用符号表

25、示为如果abQ则a+(-b)=b+(a-b)+(-b)=a-b,或(-a)+b=(-b)-(a-b)+b=-(a-b)。如果bap贝Sa+(-b)=a+(-a)-(b-a)=-(b-a),或(-a)+b=(-a)+a+(b-a)=b-a关于正负数的乘除法则在九章算术时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论及,直到元代朱世杰于算学启蒙(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正,异名相乘为负”,“同名相除所得为正,异名相除所得为负”,因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。至于正负数概念的引入正负数加减运算法则的形成的历史记录我国更是遥遥领先。国外首先承认负数的

26、是七世纪印度数学家婆罗门岌多（约598-？）欧洲到16世纪才承认负数。编辑本段历史考证现传本九章算术成书于何时目前众说纷纭多数认为在西汉末到东汉初之间约公元一世纪前后九章算术的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印难免会出现差错和遗漏加上九章算术文字简略有些内容不易理解因此历史上有过多次校正和注释。关于对九章算术所做的校注主要有：西汉张苍增订、删补三国时曹魏刘徽注唐李淳风注南宋杨辉著详解九章算法选用九章算术中80道典型的题作过详解并分类清李潢（？1811年）所著九章算术细草图说对九章算术进行了校订、列算草、补插

27、图、加说明尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮（18921974年）曾对包括九章算术在内的算经十书进行了校点用通俗语言、近代数学术语对九章算术及刘、李注文详加注释。80年代以来今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。编辑本段后世影响九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯甚至经过这些地区远至欧洲。

28、九章算术是几代人共同劳动的结晶它的出现标志着中国古代数学体系的形成后世的数学家大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻这是世界上最早的印刷本数学书。所以九章算术是中国为数学发展做出的一杰出贡献。九章算术总结了自周朝以来的中国古代数学它既包含了以前已经解决了的数学问题又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为它在数学史上标志着中国古代数学体系的形成是中国古代数学体系的初期代表作。在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如关于比例算法的问题它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题在阿拉伯曾称为契丹算法1

29、3世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。九章算术对中国古代的数学发展有很大影响这种影响一直持续到了清朝中叶。九章算术的叙述方式以归纳为主先给出若干例题再给出解法不同于西方以演绎为主的叙述方式中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书其中以刘徽和李淳风的注释最有名。九章算术还流传到了日本和朝鲜对其古代的数学发展也产生了很大的影响。编辑本段历史影响现传本九章算术成书于何时目前众说纷纭多数祖冲之认为在西汉末到东汉初之间约公元一世纪前后九章算术的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集

30、体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印难免会出现差错和遗漏加上九章算术文字简略有些内容不易理解因此历史上有过多次校正和注释。关于对九章算术所做的注主要有：三国时曹魏刘徽注唐朝李淳风注南宋杨辉着详解九章算法选用九章算术中80道典型的题作过详解并分类清李潢(？1811年)所着九章算术细草图说对九章算术进行了校订、列算草、补插图、加说明尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(18921974年)曾对包括九章算术在内的算经十书进行了校点用通俗语言、近代数学术语对九章算术及刘、李注文详加注释。80年代以来今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯甚至经过这些地区远至欧洲。九章算术是几代人共同劳动的结晶它的出现标志着中国古代数学体系的形成后世的数学家大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻这是世界上最早的印刷本数学书。可以说九章算术是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。