精校黑龙江省大庆市高考一模数学理.docx

1、精校黑龙江省大庆市高考一模数学理2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=-1 , 0, 1, 2, 3, B=x|x| W2,则 AA B的值为（）A.-1 , 0, 1, 2B.-2 , -1, 0, 1, 2C.0 ,1,2D.1 , 2解析：分别求出集合 A, B,由此能求出AH B.集合 A=-1 , 0, 1, 2, 3, B=x|x| 2=x|-2 xan-i0,公比q1.a2+a4=10（1）,且 a3=16=a3 , a3=a2 , a4（2）,由解得 a

2、2=2, a4=8.又因为 a4=a2 q2,得 q=2 或 q=-2（舍）.则得 as=16, a6=32,log 2a1 log 2 a2 log 2 a10 log 2aa2 a1o 510g 2 a5a651og 216 32 5log 229 5 9log 22 45 2log 2、2 90.答案：DA.30 B.60 C.90D.120r r解析：根据题意，设 a、b的夹角为。，ur ur rirurrurur又由e , G是夹角为60的两个单位向量，且 a e e2 , b 0 2a，ur2 ur 2 1rlrei 2% ege2r r ur ir ir ur则 agb e1 %

3、 0 2e22B.121 1 01b f ln - - , c=f(e )，则a, b, c的大小关系为()e eA.b a cB.b c aC.c v a bD.a v c b解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可,.当 xC 0 , +8)时,f (x) ln- 1,又 In 0,e e e e e一 1 1 01则 1m_ 1, 0vln2v1, e e则 1 In 2 In 2f In 2 f e , e e即 cv a0)的图象过点(一，2),相邻两个对称中心的距离是则下列说法不正确的是(),一,一，2A.f(x)的最小正周期为3B.f(x)的一条对称轴为x

4、=9C.f(x)的图象向左平移,个单位所得图象关于 y轴对称D.f(x)在 ,上是减函数解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可 函数f(x)=2sin( 3 x+4 )图象相邻两个对称中心的距离是 一，3.T 一 2 2 一一一一， T ,斛得=3;2 3 3又f(x)的图象过点(6，2),. 2sin( 3 +$ )=2 , 2k , k e Z；9 2解得 4 = +2kTt , kC Z;6令 k=0,得()=,6f(x)=2sin(3x+ 一);，f(x)的最小正周期为 T=2_ , A正确；3.4 4 f 2sin 3 一 2为最小值,9 9 64 .f(x)

5、的一条对称轴为 x=2_ , B正确;9f(x)的图象向左平移 一个单位，9得函数 y 2sin 3 x 2sin 3x _ 2cos3x9 6 2 其图象关于y轴对称，C正确；x e 6，6 时3x e ,、,.3x+_C _时，.f(x)=2sin(3x+ )在 ,上是增函数，D错误.答案：D12.已知函数f xx2 1, 2 x 11 ,若关于x的方程f(x)-ax=0x - 4 ,1 x 5有两个解，则实数a的取值范围是()A.(0 , U 25B.(0，2)三25-2)-2C.(- 巴D.(- 8,5) U , +8) U0, -22 255) U , +)2 25解析：分别作出函数

6、 y=f(x)和y=ax的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.设函数y=f(x)和y=ax, 作出函数f(x)的图象如图:要使方程f(x)-ax=0 有2两个解，即函数y=f(x)和y=ax有2个不同的交点， f(-2)=5 , f(5)=|5+ 1-4|= 6, 5 5当y=ax经过点(5 , 6)时，此时a=, 5 25，一 一 ,一， 5当过点(-2 , 5)时，此时a=一,2当直线y=ax与y=x2+1相切时，, 7 =2x,设切点为(x 0, y0), -2 x0 0, b0),则12 2户2衣， a b , ab当且仅当b=2a=、. 2时，等号成立，则12的最小值为

7、2 22 . a b答案：2 216.已知抛物线C: y2=4x,过其焦点F作一条斜率大于 0的直线1 , 1与抛物线交于 M N两点，且|MF|二3|NF| ,则直线1的斜率为解析：方法一：由抛物线的定义： |NF|=|DH|=x , |MF|=|CM|=3x ,根据相似三角形的性质，即可求得直线 MN的倾斜角为60 ,即可求得直线1的斜率.抛物线C: y2=4x,焦点F(1 , 0),准线为x=-1 ,分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为 C和D,过NHL CM垂足为H,设|NF|=x ,则 |MF|=3x ,由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x , |MF|=|CM|=3x , .

8、|HM|=2x,由 |MN|=4x,./ HMF=60 ,则直线 MN的倾斜角为60 ,贝U直线l的斜率k=tan60 =J3.方法二：设直线 MN的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得k的值.抛物线C: y2=4x,焦点F(1 , 0),准线为x=-1 ,设直线MN勺斜率为k,则直线 MN的方程y=k(x-1)2 .y 4x设 M(xi, yi) , N(x2, y2), ,22 k2 2 ,xix2=1 , k2y k x 1整理得：k2x2-2(k 2+2)x+k 2=0,则 x1 xuuu uuu由|MF|二3|NF| , MF 3FN ,即(1

9、-xi, -y i)=3(x 2-1 , y2),xi+3x2=4,整理得：3x2-4x 2+1=0,解得：x1 ,或 x2=1(舍去),3则 xi=3,解得：k= J3 ,由 k0,则 k= 73.方法三：设直线 MN的方程x=mx+1,代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m的值，则直线l的斜率为1.m抛物线C: y2=4x,焦点F(1 , 0),准线为x=-1 ,设直线 MN勺方程 x=mx+1,设 M(xi, yi) , N(x2, y2), y2-4my-4=0 ,贝U yi+y2=4m, yiy2=-4 ,uuu3FN ,即(1-x 1, -y 1)=3(x 2-1

10、, y2), -y 1 =3y2,即 y1=-3y 2,解得:,4m则 mj 3 3直线l的斜率为J3.答案：.3 三、解答题(本大题共6小题，共70分，第1721题为必考题，每小题 12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移一个单位得到12(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间 .解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单 调区间.答案：y=2sin2x+1 的图象向左平移 一个单位得到y=2sin(2x+ )+1的图象，即 f(x)=2

11、sin(2x+ )+1.函数最小正周期丁二兀.令一2k 2x 2k (k C Z),26 23一 - -则2k 2x 2k (kCZ),43解得一k x k (k e Z),3 6所以y=f(x)的单调增区间是-k , - k (k e Z).(2)在ABC中，a, b, c分别是角 A, B, C的对边，且f(A)=2 , b=1,4abc=J3,求a的值.解析：（2）利用已知条件求出 A,然后利用图象定理，以及三角形的面积求解 a即可.答案：（2）由题意得：f（A）=2sin（2A+ ）+1=2,则有 sin（2A+ ）=1.6 6 2一， 一， 5因为 OvAvtt,所以 2 A , A

12、=-.6 6 31一 一 一 一一 一由 SVABC - bcsin A J3及 b=1 得，c=4. 2根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2 xiX4xJ_=13,2所以a= . 13 .1o 518.已知数列an的前n项和为 点（n, Sn）在曲线y _ x2 _x上，数列bn满足22bn + bn+2=2bn+1 , b4=11 , bn的前 5 项和为 45.（1）求an, bn的通项公式.解析：（1）利用已知条件求出an的通项公式，判断数列是等差数列求解 bn的通项公式一 .一 1 c 5答案：（1）由已知得：Sn -n2 n,2 2当 n=1 时，a1s 1

13、 5 3, 2 212 5 1 2 5当 n2 时，an sn sn 1 -n2 -n - n 1 - n 1 n 2,22 2 2当n=1时，符合上式.所以 an=n+2.因为数列bn满足bn+bn+2=2bn+1,所以b n为等差数列.设其公差为d.所以 bn=2n+3.(2)设 cn1 k ,数列cn的前n项和为Tn,求使不等式 Tn 恒成立的最 2an 3 2 bn 8 54大正整数k的值.解析：（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可答案：（2）由得，所以Tn是递增数列., 1所以 TnT1=-,6k 1 k故Tn 恒成立只要 T1 恒成立.54 6 54所以kv 9

14、,最大正整数k的值为8.19.已知四棱锥P-ABCD的底面 ABC的正方形，PL底面 ABCDS PA=AB=2.E为PA的中点.（1）求证：PC/ 面 BDE.解析：（1）连接CA交BD于O,连接OE证明0日/ PC,即可推出 PC/面BDE.答案：（1）连接CA交BD于0,连接0E因为ABC的正方形且AC, BD为对角线, 所以0为CA的中点，又E为PA的中点，故0为4 PAC的中位线，所以0E/ PC而 0E 面 BDE PC/面 BDE故 PC/ 面 BDE.（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.解析：（2）以A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直

15、角坐标系 A-xyz.r求出平面PBC的法向量n=(x, v, z),设直线de与平面PBC所成角为九利用向量的数量积求解即可.答案：(2)以A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系 A-xyz.0, 2),则 B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), C(2, 2, 0), E(0, 0, 1) , P(0 ,r uirr ngBP设平面PBC的法向里n =(x , y, z),则r uuu ngBCr令z=1,则法向量n =(1 ,0,1),设直线DE与平面PBC所成角为0 ,贝U sinr uuu cos： n, DEr uuu ngDE叵,1

16、0故直线DE与平面PBC所成角的余弦值3-10102x20.已知椭圆C: -2a2。1 (a b0),其焦距为2,离心率为b2,22(1)求椭圆C的方程.解析：(1)由2c=2,可得c=1,由* Y2 ,可得a=J2 ,从而b2=a2-c 2=1,即可求出椭圆方a 2程.答案：(1)因为椭圆焦距为从而 b2=a2-c 2=1,2,即 2c=2,所以 c=1,-a2所以，椭圆的方程为 y2 1.2uuu uuu(2)设椭圆的右焦点为 F, K为x轴上一点，满足 OK 2OF ,过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P, Q两点，求 FPQ面积S的最大值.解析：(2)设直线 MN的方程为y=k(x-2

17、)(k W0).代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k2-2=0.设M(x1, yO, N(x2, y#,由判别式4 0解得k范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、 二次函数的单调性即可得出 .uuuuuu答案：(2)椭圆右焦点F(1 , 0),由OK 2OF可知K(2, 0),直线l过点K(2, 0),设直线l的方程为y=k(x-2) , kw0, 将直线方程与椭圆方程联立得 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由判别式4 二(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-2) 0 解得 k2 1 .2令 t=1+2k：贝U 1t h(x)max.x呼 可知，h(

18、x)在(0, 1)上单调递增，在(1 , +8)上单调递减,xh(x)在x=1处取得最大值，且 h(x) max=h(1)=1. 所以a h(x) max=1)实数a的取值范围是1 , +8).(2)在 中，a取最小值时，设函数 g(x)=x(1-f(x)-k(x+2)+2. 若函数g(x)在区间2，82上恰有两个零点，求实数 k的取值范围.解析：(2)问题转化为即关于 x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0 在区间1 , 8上恰有两个实数2根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围 答案：(2)由 可知，a 1,当 a=1 时，f(x)=1-x+lnx ,g

19、(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x 2-xlnx-k(x+2)+2 ,g(x)在区间1,8上恰有两个零点，2即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0 在区间1，8上恰有两个实数根.2整理方程得,x2 xln x 22x 3x 2ln x 42x 2令()(x)=x 2+3x-2lnx-4 , x C 1 , 8,2皿 2x 1 x 2 1则 x , x - , 8,于是4 (x) 0,()(x)在1 , 8上单调递增.2因为。(1)=0，当 xC 1 , 1)时，j)(x) 0,从而 s (x) 0, s(x)单调递减,2当 xC(1 , 8时，0,从而 s (x) 0,

20、 s(x)单调递增，1 57 26ln 2、八因为 s 8 s - 0 ,2 10所以实数k的取值范围是(1,2 坦？.10 5解析：（3）由 可得x-1 lnx ,当且仅当x=1时取等号，令x=,则有1L 1 ln工， k2 k2 k2其中kC N*, k2,利用放缩裂项，累加求和即可证明 .答案：（3）证明：由（1）可知，当a=1时，有x-1 lnx ,当且仅当x=1时取等号.1 1 1令 x=：,则有，1 in，其中 kC N*, k2.k2 k2 k21 1 1 1 1整理得：2ln k 1 二 1 一1 1 一,k ka k 1 gk k 1 k上面 n-1 个式子累加得：21n(2

21、 X3X x n) n-1-1+ 1 .n C N* 且 n2,n请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选彳4-4 :坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy中，以原点。为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建 立极坐标系，已知曲线 G: x2+y2=1,直线l ： p （cos 0 -sin 0 ）=4.（1）将曲线。上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2倍、J3倍后得到曲线 。，请 写出直线I,和曲线。的直角坐标方程 解析：（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化答案：（1）因为I : P （cos 0 -sin 0 ）=4 ,转化为直角坐标方程为： x-y=4 ;设曲线C2上任一点坐标为（x , y）,2x3y所以2 2代入。方程得：- 工 1,2 32 2所以C2的方程为1.（2）若直线l i经过点P（1 , 2）且l i / l , l i与曲线C2交于点 M N,求|PM| |PN|的值. 解析：（2）利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系