图论算法.docx

1、图论算法1.Dijkstra1) 适用条件&范围：a) 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);b) 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)c) 所有边权非负(任取(i,j)E都有Wij0);2) 算法描述：a) 初始化：disv=maxint(vV,vs); diss=0; pres=s; S=s;b) For i:=1 to n1.取V-S中的一顶点u使得disu=mindisv|vV-S2.S=S+u3.For V-S中每个顶点v do Relax(u,v,Wu,v)c) 算法结束：disi为s到i的最短距离；prei为i的前驱节点3) 算法优化：

2、使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin，即算法步骤b中第1步)操作，算法复杂度从O(V2)降到O(V+E)V)。推荐对稀疏图使用。 使用Fibonacci Heap(或其他Decrease操作O(1),DeleteMin操作O(logn)的数据结构)可以将复杂度降到O(E+VV)；如果边权值均为不大于C的正整数，则使用Radix Heap可以达到O(E+VC)。但因为它们编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。注：程序使用二叉堆程序：program mtx_grp;const num=10; max=10000;typegrp=array1.

3、num,1.num of integer;rcd=set of 1.num;arr=array1.num of integer;arr2=array1.num of rcd;vari,j,w,m,n,e,k:integer;g:grp;visited:array1.num of boolean;path:arr2;dist,s:arr;procedure createmtx;var i,j,k:integer;begin for i:=1 to n do for j:=1 to n do gi,j:=max; for k:=1 to e do begin readln(i,j,w); gi,j

4、:=w; gj,i:=w; end;end;procedure print( g:grp); begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do if gi,j=max then write(oo:4) else write(gi,j:4); writeln; end; end;procedure dijkstra(var dist:arr;var path:arr2;i:integer); begin e:=i; for j:=1 to n do begin if ji then sj:=0 else sj:=1; distj:=gi,j; if di

5、stjmax then pathj:=i+j else pathj:=; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=max;m:=i; for j:=1 to n do if (sj=0) and (distjw) then begin m:=j;w:=distj;end; if mi then sm:=1 else exit; for j:=1 to n do if (sj=0) and (distm+gm,jdistj) then begin distj:=distm+gm,j; pathj:=pathm+j; end; end; for i:=1 to n do

6、if ie then begin for j:=1 to n do if j in pathi then write(j:3); writeln(w=:4,disti); end; end;begin assign(input,nodelst5.in); reset(input); readln(n,e); createmtx; writeln; readln(i); dijkstra(dist,path,i); writeln;end.2.Floyd-Warshall1) 适用范围：a) APSP(All Pairs Shortest Paths)b) 稠密图效果最佳c) 边权可正可负2)

7、算法描述：a) 初始化：disu,v=wu,vb) For k:=1 to nFor i:=1 to n For j:=1 to n If disi,jdisi,k+disk,j Then DisI,j:=disI,k+disk,j;c) 算法结束：dis即为所有点对的最短路径矩阵3) 算法小结：此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。时间复杂度O(n3)。考虑下列变形：如(I,j)E则disI,j初始为1,else初始为0，这样的Floyd算法最后的最短路径矩阵即成为一个判断I,j是否有通路的矩阵。更简单的，我们可以把dis设成boole

8、an类型，则每次可以用“disI,j:=disI,jor(disI,kand disk,j)”来代替算法描述中的蓝色部分，可以更直观地得到I,j的连通情况。与Dijkstra算法类似地，算法中蓝色的部分可以加上对Pre数组的更新，不再赘述。4) 程序（直接写上的。或许有小错误）program floydvar i,j,k,n,m:longint;leng:array0.1001,0.1001of longint;beginreadln(n);for i:=1 to n dobegin for j:=1 to n doread(ai,j);readln;end; for k:=1 to n do

9、 for i:=1 to n do for j:=1 to n do if lengi,k+lengk,jlengi,j then begin lengi,j:=lengi,k+lengk,j; end;end.3.Prim1) 适用范围：a) MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)b) 无向图(有向图的是最小树形图)c) 多用于稠密图2) 算法描述：a) 初始化：disv=maxint(vV,vs); diss=0; pres=s; S=s;tot=0b) For i:=1 to n1.取顶点vV-S使得W(u,v)=minW(u,v)|uS,vV-S,(u,v)E

10、2.S=S+v;tot=tot+W(u,v);输出边(u,v)3.For V-S中每个顶点v do Relax(u,v,Wu,v)c) 算法结束：tot为MST的总权值注意：这里的Relax不同于求最短路径时的松弛操作。它的代码如下：procedure relax(u,v,w:integer); /松弛操作begin if wdisv then begin prev:=u; disv:=w; end;end; 可以看到，虽然不同，却也十分相似。3) 算法优化： 使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin)操作算法复杂度从O(V2)降到O(V+E)V

11、)。推荐对稀疏图使用。 使用Fibonacci Heap可以将复杂度降到O(E+VV)，但因为编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。 （不要问我为什么和Dijkstra一样观察我的prim和dijkstra程序，会发现基本上只有relax和输出不一样）程序：program mintree_prim(input);constmaxn=100;vara:array1.maxn,1.maxnof integer;b:array1.maxnof boolean;d:array1.maxnof integer;n,tot,i,j,k,min:integer;begin assign(input,pr

12、im.in); reset(input); tot:=0; readln(n); for i:=1 to n do bi:=true; b1:=false; for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(ai,j); if ai,j=-1 then ai,j:=maxint; end; for i:=2 to n do di:=a1,i; for i:=1 to n-1 do begin min:=maxint; for j:=1 to n do if(bj)and(djak,j)then dj:=ak,j; end; writeln(tot); c

13、lose(input);end.4.Topological Sort(拓扑排序) 1) 适用条件&范围：a) AOV网(Activity On Vertex Network);b) 有向图;c) 作为某些算法的预处理过程(如DP)2) 算法描述：很简单的算法：每次挑选入度为0的顶点输出(不计次序)。如果最后发现输出的顶点数小于|V|，则表明有回路存在3) 算法实现：a) 数据结构： adj:邻接表;有4个域u,v,w,nextindgri:顶点i的入度;stack:栈b) 初始化:top=0 (栈顶指针)c) 将初始状态所有入度为0的顶点压栈d) I=0 (计数器)e) While 栈非空(t

14、op0) do i. 顶点v出栈；输出v；计数器增1； ii. For 与v邻接的顶点u do1. dec(indgru);2. If indgru=0 then 顶点u入栈f) EXIT(I=|V|)简单&高效&实用的算法。上述实现方法复杂度O(V+E)4) 程序：有向图的拓扑排序每次找入度为0的顶点入栈成功返回true,有环返回false总复杂度O(n+e)const maxn=100;type link=node; node=record v,w :integer; next :link; end; arr=array1.maxnof 1.maxn;var adj :array1.max

15、nof link; /邻接表 tsort,indgr :arr; /拓扑序列;入度 n,s,i :integer;procedure init;var u,v,w :integer; p :link;begin assign(input,g.in);reset(input); readln(n,s); while not eof do begin readln(u,v,w); new(p); p.v:=v;p.w:=w; p.next:=adju; adju:=p; inc(indgrv) end;end;function toposort(indgr:arr):boolean;var i,t

16、op :integer; p :link; stack :array1.maxnof integer;begin top:=0; for i:=1 to n do if indgri=0 then begin inc(top); stacktop:=i end; i:=0; while top0 do begin inc(i); tsorti:=stacktop; dec(top); p:=adjtsorti; while pnil do begin dec(indgrp.v); if indgrp.v=0 then begin inc(top); stacktop:=p.v end; p:=

17、p.next; end; end; exit(i=n)end;=main=begin init; if toposort(indgr) then for i:=1 to n do write(tsorti, ) else writeln(A circle found)end.5.Kruskal 1) 适用范围：a) MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)b) 无向图(有向图的是最小树形图)c) 多用于稀疏图d) 边已经按权值排好序给出2) 算法描述：基本思想：每次选不属于同一连通分量(保证无圈)且边权值最小的2个顶点，将边加入MST，并将所在的2个连通分量合并，直到只

18、剩一个连通分量3) 算法实现：a) 将边按非降序排列(Quicksort,O(EE)b) While 合并次数少于|V|-1 i. 取一条边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小) ii. If u,v不属于同一连通分量 then1) 合并u,v所在的连通分量2) 输出边(u,v)3) 合并次数增1；tot=tot+W(u,v)c) 算法结束：tot为MST的总权值4) 分析总结：检查2个顶点是否在同一连通分量可以使用并查集实现(连通分量看作等价类)。我们可以看到，算法主要耗时在将边排序上。如果边已经按照权值顺序给出，那太棒了另外一种可以想到的实现方法为：O(n)时间关于边权建二叉小根堆；每次

19、挑选符合条件的边时使用堆的DelMin操作。这种方法比用Qsort预排序的方法稍微快一些，编程复杂度基本一样。附程序。另外，如果边权有一定限制，即=某常数c，则可以使用线性时间排序以获得更好的时间效率。5) 程序：program kruskal;type arr=array0.100,1.3of longint;varn,m,i,j,k,min,vt:longint;s,t:array0.100of longint;g:arr;procedure heap(var r:arr;nn,ii:longint);var fr,en,i,j,x:longint;begini:=ii;x:=ri,3;f

20、r:=ri,1;en:=ri,2;j:=2*ii;while j=nn dobeginif (jnn)and(rj,3rj+1,3) then inc(j);if xrj,3 then begin ri,3:=rj,3;ri,2:=rj,2;ri,1:=rj,1; i:=j;j:=2*i; end else j:=nn+1; end; ri,3:=x; ri,2:=en;ri,1:=fr;end;beginassign(input,kruskal.in);reset(input); readln(n,m); for i:=1 to m do readln(gi,1,gi,2,gi,3); fo

21、r i:=m div 2 downto 1 do heap(g,m,i); for i:= m downto 2 do begin k:=gi,1;gi,1:=g1,1;g1,1:=k; k:=gi,2;gi,2:=g1,2;g1,2:=k; k:=gi,3;gi,3:=g1,3;g1,3:=k; heap(g,i-1,1); end; fillchar(s,sizeof(s),0); fillchar(t,sizeof(t),0); vt:=0; for i:=1 to n-1 do begin min:=maxlongint; k:=0; for j:=1 to m do if sj=0 then if(tgj,1=0)xor(tgj,2=0)or(i=1)then if gj,3,gi,2); end; writeln(vt);end.