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1、启未教育 五升六奥数讲义 第1讲 小数的巧算与速算 【 例1】. 简算：（1）思路导航：题中，9.9接近10，且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。解法一： 解法二: =990.68+10.68 =9.96.8+0.16.8=(99+1) 0.68 =(9.9+0.1) 6.8 =1000.68 =106.8=68 =68想想还有别的解法吗? 同步导练一：（1）272.46.2+27240.38 （2）1.256.3+370.125(3)7.240.1+0.572.4+0.049724 （4）6.490.22+2580.0649+5.36.49+64.90.19【例2】：（2+0.48+0

2、.82）(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.82+0.56) (0.48+0.82) 思路导航：整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82 用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A(B+0.56)-(A+0.56) B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.解: 设A=2+0.48+0.82 B=0.48+0.82, 原式=A(B+0.56)-(A+0.56) B =AB+A0.56-(AB+0.56B) = AB+A0.56- AB-0.56B=0.56(A-B)=0.562=1.12 同步导练二：（1）(3.7+4.8+5.9

3、) (4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7) (4.8+5.9)(2) (4.6+4.8+7.1) (4.8+7.1+6)-( 4.6 +4.8+7.1+6) (4.8+7.1) 【例三】:计算76.85614 思路导航：这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在“”后面添括号，括号里面要变号，“”变“”，“”变“”。不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。 解: 76.85614 =76.8(5614) =76.84 =19.2同步导练三：(1) 14415.613 (2) (3) 【 例四】: 0.9990.7+0.1113.7 思路导航：本类题可以将原式进

4、行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算 =0.11190.7+0.1113.7 =0.1116.3+0.1113.7 =0.111(6.3+3.7) =0.11110 =1.11同步导练四:(1) 0.9990.6+0.1113.6 (2) 0.2220.778+0.4440.111 (3) 0.8880.9+0.2226.4 (4)0.1115.5+0.5550.95. 下面有两个小数: a=0.000125 b=0.0008 1996个0 2000个0 试求a+b, a-b, ab, ab.第2讲 用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，

5、它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的

6、上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50（厘米2）。例3 在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角

7、形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。例4 下页上图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差

8、，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（

9、10-7）=3。解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性

10、质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于442=8（厘米2）。练习： 1.左下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。2.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。 6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。影部分的面积和。 第3讲 逻辑问题从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而

11、是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。逻辑推理必须遵守四条基本规律：（1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。（2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。（4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或

12、不对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“”与“”只有一个成立，就是利用了排中律。例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：（1）英语老师和数学老师是邻居；（2）王仁年纪最小；（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；（4）体育老师比语文老师年龄大；（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程。分析与解：题中给出的已知

13、条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出下图的表格，表内用“”表示肯定，用“”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“”，其余均为“”。 由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到右上表 由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到左下表。由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（

14、5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见右上表。所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“”，每列只有一个“”，其余都是“”这个隐含条件。例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好

15、游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。例3 小说镜花缘中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有

16、一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”请判断这一天是星期几。分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话

17、与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。例4 A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。A：“C，D两人中有人做了好事。”B：“C做了好事，我没做。”C：“A，D中只有一人做了好事。”D：“B说的是事实。”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？分析与解：我们用假设法来解决。题目说四人中

18、有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1）假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符

19、，符合题意。综上所述，做好事的是B与D。练习1.A，B，C，D，E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。A说：“我坐在B的旁边。”B说：“坐在我左边的不是C就是D。”C说：“我挨着D。”D说：“C坐在B的右边。”实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？2.从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中

20、选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；（2）老张的女儿不是小红；（3）老陈和方丽不是一家人。请你将三户人家区分开。4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；（3）乙不是工人。求这三人各自的籍贯和职业。5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说

21、谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎。6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。 第4讲：分解质因数专题分析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。【例1】 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18。一共有多少种不同分法？练习：1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人，有哪几

22、种分法？2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发？3、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数各是多少？【例2】、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。 练习：1、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？3、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少？【例3】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99练习：把40、44、45、63、65、78、99、10

23、5这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。【例4】、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？练习：1、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。求有多少个同学？2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？3、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个？第5讲：最小公倍数专题分析： 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小

24、公倍数。记住以下公式：最大公因数最小公倍数这两个数的积。【例1】、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90。求这两个数分别是多少？练习：1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90。求这两个数分别是多少？2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60。求这两个数的和是多少？3、两个数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144。求这两个数分别是多少？【例2】：甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去1次，乙4天去1次，丙5天去1次。有一天三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们又在图书馆相会？针对练习：1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，

25、2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三路车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车？2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。二班的同学每隔6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷第6讲：裂项法（一）专题简析同学们知道,在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 例如，

26、这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 即 或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【例1】. 计算： 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。【课堂随练】 求的和。 【例】. 计算： 【例】. 请在（ ）、里填上适当的自然数，使得算式成【例】. 【课堂随练】计算 【例】. 计算： 裂 项 法（一） 练习.2666600 =_； 2. 计算： 3 =_； . 求和： . 求和： 裂 项 法（一）作业1. 计算： . =_；. 求

27、出一对自然数与，使得等式成立。. =_；第7讲：裂项法（二）【例1】 求的和【例2】 计算： 【例3】 计算： 【例4】=_；【例5】计算5049/5050裂 项 法（二） 练习1. 2. =_3. =_；5049/50504.计算： 裂 项 法（二） 作 业1.43890 =_；209/8402. =_；342= 4计算： 5.计算： 第8讲 消去法解题（一）知识要点在一些比较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比较简单的应用题来解答。我们把这一类的思考方法叫做消

28、去法。消去法的实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数，等式依然成立的道理来求未知量。例1某宾馆第一次买了5个热水瓶和20个茶杯，一共用去165元；第二次又买了同样的5个热水瓶和16个茶杯，一共用去149元。算一算，热水瓶和茶杯的单价分别是多少？例23箱苹果和5箱梨一共是86千克；6箱苹果和4箱梨一共是112千克。一箱苹果和一箱梨各重多少千克？例3体育组买9个足球和3个皮球一共要花780元，已知5个足球比3个皮球的价钱要贵340元。一个足球多少钱？一个皮球多少钱？例4妈妈去水果店买水果，如果买5千克苹果和3千克梨，要付35元。如果买3千克苹果和2千克梨，则要付22元。每千克苹果和梨的价钱各是多少？课后练习：1、小明买了4只铅笔和3块橡皮，一共付了7.2元；红红买了同样的3块橡皮和2只铅笔，一共付了4.8元。一只铅笔和一块橡皮的价钱各是多少？2、张大爷第一天乘车2小时，步行3小时，共行115千米，第二天乘车1小时，步行5小时，共行75千米。请问：张大爷乘车的速度和步行速度各是多少？3、一袋黄豆和一袋绿豆共重50千克，买5袋黄豆和3袋绿豆共重210千克。一袋黄豆比一袋绿豆重多少千克？4、食堂若要买5袋大米和3袋面粉，一共要用476元。已知买3袋面粉比买2袋大米要便宜14元。一袋大米多少钱？ 第9讲 消去法解题（二）知识要点怎样用消去法解题呢？1、如果同类事物的数量相同