完整版汕头一模理科数学教师版.docx

1、完整版汕头一模理科数学教师版2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B CD1答案：D解析：2已知是虚数单位，复数，若，则 （ ）A0B2C D12答案：A解析：3已知离散型随机变量X的分布列为X0123P 则X的数学期望（ ）A B1C D23答案：B解析：由，得，所以4已知向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）A B C D 4答案：D解析：，因为，所以，解得，当时，所以向量与向量的夹角为5一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）A B

2、 C D 5答案：B解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点6将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为（ ）A B C D06答案：A解析：，因为，所以，当，即时，7将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）A B C D 7答案：C解析：6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：个，所以所求概率为8在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下

3、列说法正确的是（ ）A B C平面 D平面 8答案：C解析：选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；选项B，取中点，连接，则，在中，所以与不垂直，所以与不垂直，B错；选项C，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；选项D，连接，易证得，平面，所以与平面不垂直，D错9若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C D 9答案：C解析：由题意，恒成立，即恒成立，当时，所以实数的取值范围是10过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A BC D10答案：B解析：渐近线方程为，将

4、代入，得，为双曲线的通径，因为，所以，即，则，即，则，则11三棱锥中，平面的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）A B C D 11答案：A解析：因为平面，所以是圆柱模型，设，则，设外接圆半径为，的外接球半径为，则，所以，即的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为12定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D 12答案：D解析：当时，此时，所以，画出函数的图象，因为函数在上有零点，所以的图象与的图象有交点，由图，当直线过点时，由图象可得，实数的取值范围是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13设满足约束条件，

5、则的最大值为 13答案：19解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的，其中，所以14已知，则 14答案： 15在的展开式中，的系数为30，则实数的值为 15答案： 解析：展开式中含的项为，所以，所以16在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 16答案： 解析：由，得，所以，故，又由余弦定理，故，又，所以，故，当且仅当即为等边三角形时等号成立，所以面积的最大值为三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）

6、求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：17解析：（1）当时，即，1分当时， ， 2分，得，即，3分所以，且，4分所以数列为常数列，5分，即6分（2）由（1）得，所以，8分所以，9分，（没写也不扣分）10分11分12分18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是上的点（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由18解析：（1）连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，是的中点，1分又，2分平面，平面，3分又平面，4分又平面，所以平面平面5分（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系

7、，不妨设，则，则，6分设，则，7分又，设是平面的一个法向量，则 ，取，得，9分设直线与平面所成角为，由，得：10分化简得：，解得或，故存在点满足题意，此时为或12分19（本小题满分12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人

8、工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有（i）根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量回归模型模型模型回归方程 182.479.

9、2附：若随机变量，则，；样本的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数19解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，1分由正态分布的对称性可知，3分 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，4分故，所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%5分（2）（i）由，有，6分且，7分所以，模型中关于的回归方程为 8分（ii）由表格中的数据，有，即9分模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好10分当时，模型的收益增量的预测值为（万元），11分这个结果比模型的预测精度更高、更可靠12分20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦

10、点分别为，离心率为，点在椭圆上，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由20（1）由，得，1分，2分在中，由余弦定理得：，代入化简得，3分解得，从而，4分所以椭圆的方程为5分（2）存在这样的点符合题意设，由，设直线的方程为，6分由，得，7分，由，得，8分又点在直线上，所以，9分所以若有，则，10分整理得，11分所以存在实数，且的取值范围为12分21（本小题满分12分）已知（1）讨论的单调性；（2）若存在3个零点，求实数的取值范围21解析：（1）1分因为，由，得或2分（i）当时，在和上，单调递增；在上，单调递减，3分（ii）当时，在上，单调递增，4分（iii）当时，在和上，单调递增；在上，单调递减，5分（2），所以有一个零点6分要使得有3个零点，即方程有2个实数根，又方程，令，7分即函数与图像有两个交点，令，得8分的单调性如表： 1 0