高中数学 321 古典概型优秀教案 新人教A版必修3.docx

1、高中数学 321 古典概型优秀教案 新人教A版必修32019-2020年高中数学 3.2.1 古典概型优秀教案 新人教A版必修3一、备用习题1.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,从中任取一根,取到长度超过30 mm的纤维的概率是（ ）A. B. C. D.以上都不对解析：在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,即基本事件总数为40,且它们是等可能发生的,所求事件包含12个基本事件,故所求事件的概率为.答案：B2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A. B. C. D.解析：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为1

2、0,其中抽到合格铁钉（记为事件A）包含8个基本事件,所以,所求概率为P（A）=.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件,因此,P（A）=1-P（B）=.答案：C3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是_.解析：记大小相同的5个球分别为红1,红2,白1,白2,白3,则基本事件为：（红1,红2）,（红1,白1）,（红1,白2），（红1,白3）,(红2,白1),(红2,白2),（红2,白3）,(白1,白2), (白1,白3),(白2,白3)共

3、10个,其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件,所以,所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解,对于求“至多”“至少”等事件的概率问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率P（A）,然后利用P（A）=1-P（A）求解.答案：4.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率.解：在抛掷2颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现1点,2点,6点6种不同的结果,我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分,由于1,2号骰子分别有6种不同的结果,因此同时掷两颗骰子的结果共有66=36种,在所有结果中,向上的点数之和为8的结果有（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）5种,所以,所

4、求事件的概率为.5.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎）.解：由于第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来.Dd与Dd的搭配方式共有4种：DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为=0.75.答：第二子代为高茎的概率为0.75.思考：第三子代高茎的概率呢？二、古典概型经典案例分析 如果说你们班里有50人,那么我愿意和你打赌,你们班

5、里至少有一对生日相同的人,你愿意站在我的反面和我打赌吗？ 如果说你能够清楚地找到基本事件,分析好复杂事件包含了多少个基本事件,就能够通过有理数的除法计算出概率,当然,分析清楚基本事件不可缺少的就是一种顺序的观点,可能有时候,用顺序的观点看问题会产生一些不必要的麻烦,但是往往在你忽略了顺序的时候,产生了一种错觉,于是就是你的先进的思想在这里就因为你的大意退化到了中世纪以前的水平. 那么充分小心的你,可能也会犯错误,甚至会感到头疼,因为记数也是一门技术,不一定都很简单. 好了言归正传,我们仍然讨论这个关于生日的赌局.我看起来是有着十分的把握（或者说接近十分的把握,因为十分就成了必然事件,显然,你看

6、得出这个不是一个必然的事件,严格地说我有接近十分的把握）,如果你曾经了解过一些关于这个问题的结论,你也可能不会愿意和我打赌,那么我们是如何来处理这个问题呢？ 我们想通过两个经典的案例来说明这个问题. 设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（nN）,求下列事件的概率. 指定的n个房间各有一个人住； 恰好有n个房间,其中各住一个人. （这里必须得有一些排列组合的内容,也就要求读者具有排列组合的知识） 先看清楚这个问题里面的基本事件是什么呢？ 是把n个人随机地安排到N个房间里的所有的情况,分别记n个人为a1,a2,an,房间为A1,A2,An每个安排的结果作为一个基本事件,比如

7、,可以把所有的人放到房间A1里,把第一个房间里放一个人假定是a1,这个就是一个基本事件,也就是每个安排的结果都是一个基本事件.那么有多少个这样的基本事件呢？我们就得借助于乘法原理了,可以考虑到整个的安排是分步进行的,先安排a1,再安排a2,依次下去,这个中间的顺序是没有问题的,因为我们只关心某人在某个房间,而不关心他是先到还是后到.第一个人可以有N个房间选住,第二个人仍然有N个房间选住,也就是说每个人都有N种可能的情况,于是,所有人的可能的情况就是 =Nn. 这就是基本事件的个数,这里面也谈到了一个关于顺序的问题,我们自行地把这个事件里面安排进了顺序,这是一个重要的思想方法. 接下来统计我们需

8、要的有利事件的个数,我们要求是指定的n个房间各有一个人住,那么,关于这n个房间的安排问题就不用我们操心了,我们只是看一下人与房间的搭配问题,于是,就可以得出概率： P(A)=. 我们可以换个角度来看一下,如果我们认为是把房间安排给人,那么,n个指定的房间就会被列成一个顺序,于是,第一个房间有n种可能性,第二个房间就会少了一种,即n-1种,以此类推,结论与我们前面的一样,那么,我们如果把统计基本事件的方式也变换一下呢？结论可能会有些不妥,因为如果考虑第一个房间有n种选择方式,第二个房间也有n种选择方式,以此类推,就会得到基本事件的个数是nn个,显然,结论是不同的,哪一个出了什么问题呢？ 你只要稍

9、加思考可能就会得出结论,这个问题的对应是有问题的,假设,我们的第一间房间分配给了a1,那么,第二间房间就不应该再分配给他了,但在刚才的过程中没有体现出来,那么就是说,我们可能统计错了一些情况,同时,有些人也可能分配不到房间.那么,我们做个改进,认为第一间房间有n种选择方式,第二间房间有n-1种行不行呢？显然这个改进更不成功,甚至有了荒唐的结论,因为这里的有些房间可能是可以不分配给任何的人,那么看来这几个只有最初的一个方案可行.同时,我们也得到了一个关于代数的结论：n!Nn. 这个命题的具体的限制由你自己完成,当然你还可以运用代数的方法给出让人信服的证明. 再对这个问题进行总结,如果你再次地面临

10、这种问题的时候,就要按号入座地找好谁是房子,谁是人.或者我们也可以抽象一些,集合A有n个元素,集合B有N个元素,nN,那么,从集合A到集合B的映射有多少个,就是相当于基本事件的个数,那么,我们的有利事件,就是从集合A到集合B的一个含有n个元素的确定的子集的一一映射的个数,就是n!个,那么以后用映射的观点来处理就可以了,看看哪一个问题是映射. 我们再来探讨第二个问题,看看两者之间的细微的差别是什么？在第二个问题当中提到了一个“恰好”,我们如何来解释呢？显然这个词是与“指定”构成对比的.也就是强调我们要为这n个人先选出n个房间来,再进行处理,用到映射的观点,就是要从B中确定n个元素的子集,这个过程

11、也是有很多的,再把这些子集重复第一题的过程,就是全体的有利事件的个数,于是,问题就归结为统计这些子集的个数,很简单地就可以得出有个,那么概率就应该是P(A)=. 剩下的就是具体的计算了,好了,回味一下,你体会到了什么？ 你可能感觉到一些困难,如果你没有感到困难的话就太好了,这个问题在历史上称为“分房问题”,我们可以进一步地拓展这个问题,据说在物理中就有一些非常有用的应用,可以参考我们的注解文章. 现在考虑有关n个人生日问题的事情,这个里面哪些是基本事件呢？那一定是n个人的生日情况的所有可能性,也就是与前面提到的分房问题的第一问相同,那么生日相同（即同月同日出生）的具体的有利事件的个数如何来统计

12、呢？ 看来稍微有些麻烦,我们需要了解的是,两个人,或者两个人以上的生日相同,就得认为是对这个事情很有帮助的例证,那么,我们把这个事情分为几类,只有两个人生日相同,只有三个人生日相同,等等,当然还有一些几组两个人的生日都相同的情况,事情就会变得尤其复杂,而且各类之间有交叉的地方还要注意避免,问题足以烦得你失去信心,我们能否换个角度来考虑. 我们完全可以考虑这个事件的反面,其实,如果计算一下你获胜的概率仍然可以表示出我获胜的机会的大小,那么对于你只有一种情况有利,就是所有人的生日都不相同,于是你就可以得到这将是一个上面分房问题叙述的第二类问题,那么你获胜的概率就可以计算出来了：（将N=365,闰年

13、就不记了,直接套用前面的结论就可以了）P(A)=. 可以借助你的结论得出至少两人生日相同的概率,即：.这次只需要计算就可以了,n102023304050概率0.120.410.510.710.890.97 看来事情的结果对于选择打赌的你有些不利,如果班级里超过50人,几乎就是必然的规律了. 这可能极大地冲击了你的视觉,原因很简单,我们只是在意与自己生日相同的情况,确切地说,只是关注于在n个人中,至少有一个人的生日是特定的某一天的概率,这个不会很大,应该是,随着人数的增长,这个比率会平稳地增长,当然,这个与上述表格的数据的差别是很大的,表格中的数据增长是不均匀的,但是你把这个习惯主观推广了,问题

14、就出现了. 这里面从反面入手,巧妙地运用分房问题的思路解决了这个问题,这种思想方法要学会运用.2019-2020年高中数学 3.2.1 古典概型教案设计 新人教A版必修3一、教材分析【学科】:数学【教材版本】: 普通高中课程标准实验教科书数学必修3 人教版【课题名称】:古典概型 (第三章第130页)【教学任务分析】: 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型（由于它在概率论发展初期是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型），也是一种最基本的概率

15、模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。【教学重点】: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 【教学难点】:如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。【教学方法与理念】:与学生共同探讨，应用数学解决现实问题。二、教学目标定位【知识与技能】：(1)理解古典概型及其概率计算公式，(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。【过程与方法】：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试

16、验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 【情感态度与价值观】：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。三、教法及学法分析【教法分析】：根据本节课的特点，采用引导发

17、现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。【学法分析】：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。四、教学策略1通过抛一枚硬币和一枚骰子的试验给出基本事件的概念；2通过两个试验和例一的分析得出古典概型的两个特点和计算公式；3例题具有一定实际背景

18、，激发学生的求知欲，每道例题的计算量不大，用列举法都可以数出基本事件的总个数；4在每道例题后都有相应的“探究”或“思考”，提出问题，引导学生进一步学习，以开拓学生思路。在整个教学过程中，一直要学生的思考为中心，把握古典概型的特点，在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。五、教学过程项 目内 容师生活动理论依据或意图教学过程分析一提出问题引入新课在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正

19、面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由科代表汇总；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题？1用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。2根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？ 学生展示模拟试

20、验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题。通过课前的模拟实验的展示，让学生感受与他人合作的重要性，培养学生运用数学语言的能力。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，通过观察对比，培养了学生发现问题的能力。二思考交流形成概念在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是；在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都

21、是。我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。学生观察对比得出两个模拟试验的相同点和不同点，教师给出基本事件的概念，并对相关特点加以说明，加深新概念的理解。让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面，这能培养学生分析问题的能力，同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题

22、的一种方法。教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。项 目内 容师生活动理论依据或意图教学过程分析二思考交流形成概念例1 从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状图可以将它们之间的关系列出来。我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。 （树状图）解：所求的基本事件共有6个：，观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同特点：试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是

23、；试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；经概括总结后得到：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。思考交流：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？ 先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再

24、讲解用树状图列举问题的优点。让学生先观察对比，找出两个模拟试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。学生互相交流，回答补充，教师归纳。将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过用表格列出相同和不同点，能让学生很好的理解古典概型。从而突出了古典概型这一重点。两个

25、问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。项 目内 容师生活动理论依据或意图教学过程分析思考交流形成概念答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二

26、个条件。三观察分析推导方程问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？分析：实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）P（必然事件）1因此 P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）即 试验二中，出现各个点的概率相等，即P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）反复利用概率的加法公式，我们有P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）P（必然事件）1所以P（“1点”）P（“2点”）P（

27、“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P（“出现偶数点”）P（“2点”）P（“4点”）P（“6点”）即 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：教师提出问题，引导学生类比分析两个模拟试验和例1的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型的概率计算公式这一重点。项 目内 容师生活动理论依据或意图教学过

28、程分析三观察分析推导方程提问：（1）在例1的实验中，出现字母“d”的概率是多少？出现字母“d”的概率为： 提问：（2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么?归纳：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？教师提问，学生回答，加深对古典概型的概率计算公式的理解。深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。四例题分析推广应用例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌

29、握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：课后思考：(1)在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选

30、项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？(2)假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定知识的可能性大？学生先思考再回答，教师对学生没有注意到的关键点加以说明。让学生明确决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。巩固学生对已学知识的掌握。项 目内 容师生活动理论依据或意图教学过程分析四例题分析推广应用例3 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。（可由列表法得到）由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。（2）在上面的结果中，