第20章平稳时间序列.docx

1、第20章平稳时间序列 陈强,高级计量经济学及 Stata 应用课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。第 20 章 平稳时间序列根据时间序列的随机过程特性，可分为“平稳序列”(stationary) 与“非平稳序列”(non-stationary)两大类，需使用不同的计量方法。20.1 时间序列的数字特征记随机变量y 的观测值为y1,y2 , ,yT ，并假设为(严格)平稳过程。故该序列的期望、方差等数字特征不随时间而变。T期望 E( y)反映序列的平均水平，用y 1Tt =1 yt来估计。方差Var( y)反映序列的波动幅度，用 1 T( y -y )2 来估计。T -1t =1 t定义

2、 时间序列yt 的 k 阶自协方差(autocovariance of order k) k Cov( yt ,yt +k ) = E( yt- )( yt +k- )它反映同一变量( y )相隔 k 期之间的自相关程度。对 k 的估计值为“样本自协方差”： 1 T -k ( y- y )( y- y )k T - kt =1t t +k定义 时间序列yt 的 k 阶自相关系数(autocorrelation of order k) Corr( y , y) Cov( yt ,yt +k )k t t +kVar( yt )对于平稳过程， k 不依赖于时间，仅是滞后阶数 k 的函数，故称为“自

3、相关函数”(Autocorrelation Function，简记 ACF)。将(k,k )画成图，即为“自相关图”(correlogram)。由于k= -k ，故一般只画自相关图的正半边。对k 的估计值为“样本自相关系数”：k k0yt 与yt +k 之间的相关性可能由二者之间的变量yt +1, ,yt +k -1引起。定义 时间序列yt 的 k 阶偏自相关系数(partial autocorrelation of order k)为* Corr( y , y | y , , y )k t t +k t +1 t +k -1即给定yt +1, ,yt +k -1条件下， yt 与yt +k

4、的条件相关系数。k*只是 k 的函数，称为“偏自相关函数”(Partial Autocorrelation Function，简记 PACF)。对以下 k 阶自回归方程进行 OLS 估计：yt = 0+ 1 yt -1 + + k yt -k+ tkk则 就是“k 阶样本偏自相关系数” *。20.2 自回归模型对于样本数据y1,y2 , ,yT ，最简单的预测方法为 AR(1)：yt = 0+ 1 yt -1 + t(t = 2, , T )t t 为白噪声， E(t ) = 0 ， Var() = 2，且无自相关。假设 1 q ，则Cov( yt ,yt - j ) = 0，因为产生yt 的

5、扰动项t , t -1, , t -q 与产生yt - j 的扰动项t - j , t- j-1, , t- j-q 无交集。对于 MA(q)模型，ACF 函数在 j q 时都等于零，出现“截尾”。另一方面，AR(1)的 ACF 函数呈指数衰减，称为“拖尾”(tails off to zero)，不存在截尾。如果q = 0，则 ARMA(p, q)简化为 AR(p)模型：yt = 0+ 1 yt -1 + + p yt - p+ t假设真实模型为 AR(p) ，却用 OLS 来估计 AR(p+1) ，即 yt = 0+ 1 yt -1 + + p yt - p+ p+1 yt - p-1 +

6、t ，则plim p+1T = 0 ，因为 p+1= 0。而p+1正是对( p +1)阶偏自相关函数的估计。对于AR(p)模型，PACF 函数在 j p 时都等于零，即出现截尾。另一方面，MA(q)模型的 PACF 函数逐渐衰减，拖尾，不存在截尾。总之，对于 AR(p)模型，其 ACF 函数拖尾，而 PACF 函数截尾。如出现这种情形，可判断为 AR(p)。对于 MA(q)模型，其 ACF 函数截尾，而 PACF 函数拖尾。如出现这种情形，可判断为 MA(q)。如果以上两种情形均不符合，则考虑一般的 ARMA(p, q)模型，其中 p, q 均不为零。Box, Jenkins and Rein

7、sel (1994)认为，对大多数情况， p 2与q 2就足够了。可让 pmax 与qmax 更大些，使用信息准则或序贯 t 规则。在估计模型之后，需进行诊断性分析，以确定 ARMA(p, q)模型的假定是否成立。最重要的假定是，扰动项t 为白噪声。如果模型过小，即 p p 或q q，则相当于遗漏解释变量，导致扰动项出现自相关，不再是白噪声。可使用 Q 检验来检验模型的残差是否存在自相关。如果残差存在自相关，应考虑使模型更大些，重新对模型进行估计，再检验新模型的残差是否为白噪声，如此反复。20.5 自回归分布滞后模型在自回归模型中，可引入其他变量构成“自回归分布滞后模型”(Autoregres

8、sive Distributed Lag Model，简记 ADL(p, q)：yt = 0+ 1 yt -1 + + p yt - p+ 1xt -1 + + q xt -q+ t例 记通货膨胀率为t ，失业率为unt ，预测模型为t= 0+ 1t -1 + 2t -2+ 3t -3+ 4t -4+ 1unt -1 + t此 ADL(4,1)为经验菲利普斯曲线(empirical Phillip Curve)。如果1 0，则失业率越低，物价越有上涨的压力；而通胀的调整也受到过去通胀变化的滞后作用。可引入更多解释变量。比如，共有 K 个解释变量x1t , ,xKt ，其中第 j 个解释变量x

9、jt 共有q j 个滞后值被包括在模型中，j= 1, , K ：yt = 0+ 1 yt -1 + + p yt - p+ 11x1, t -1 + + 1qx1, t -q + + K1xK , t -1 + + Kq xK , t -q1 1+ K Kt如果自回归分布滞后模型满足以下假定，则可用 OLS 来估计。(i)E(t| yt -1,yt -2 , ,x1, t -1,x1, t -2 , ,xK , t -1,xK , t -2 , ) = 0。此假定类似于严格外生性假设，意味着扰动项t 与所有解释变量的整个历史全部无关。这保证了对滞后期( p, q1, , qK ) 的设定是正确

10、的。如果滞后期设定不正确，比如，真实模型还应该包括 yt -( p+1) ，但 p+1 yt -( p+1) 却被纳入t 中，则t 便与解释变量相关，导致 OLS 不一致。(ii) yt ,x1t , ,xKt 为渐近独立的平稳序列。(iii) yt ,x1t , ,xKt 有非零的有限四阶矩。(iv) 解释变量无完全多重共线性。对滞后期数的选择可使用信息准则，或使用 t, F 检验来检验最后一期系数的显著性。更一般地，可以在 ARMA 模型中引入其他变量，称为“ARMAX” 模型。20.6 ARMA 模型的 Stata 命令及实例20.7 误差修正模型从经济理论而言，变量之间可能存在长期均衡

11、关系，而变量的短期变动为向这个长期均衡关系的部分调整。“误差修正模型”(Error Correction Model，简记 ECM)正是这一思想在计量的体现。考虑AR(1)：yt = 0+ 1 yt -1 + t1 1，故yt 为平稳过程。对方程两边求期望，令长期均衡值y*= E( y) = E( y)，可得y* =01 - 1t t -1将0 = (1 - 1 ) y 代入原方程，并在方程两边减去yt -1可得*y = (1 - ) y* - (1 - ) y + t 1 1t -1 ty = (1 - )( y* - y ) + t 1 t -1 terror correctionAR(1

12、)的误差修正模型，将yt 表达为对长期均衡的偏离( y* -的部分调整(即误差修正)，加上扰动项。yt -1 )考虑 ADL 模型：yt = 0+ 1 yt -1 + 0 xt+ 1xt -1 + t1 1。假设经济理论认为( y,x)之间存在长期均衡关系y= + x 。方程两边求期望，令y*= E( y ) = E( y )， x* = E(x ) = E(x)，可得t t -1 t t -1y* = + y* + x* + x*0 1 0 1(1 - ) y* = + ( + )x*1 0 0 1y* = 0+ ( 0+ 1 ) x*故 =0 ，= 0+ 1。 (1 - 1 ) (1 -

13、1 )1 - 1 1 - 1 称为“长期乘数”(long-run multiplier)，衡量当 x 永久性地变化一单位时，导致 y 的永久性变化幅度。0 = (1 - 1 ) ， 0+ 1= (1 - 1 ) 。在方程两边减去yt -1，并在方程右边加上、减去 0 xt -1：yt= 0- (1 - 1 ) yt -1 + 0 (xt- xt -1 ) + ( 0+ 1 )xt -1 + t代入0= (1 - 1 ) ，可得yt= (1 - 1 )- (1 - 1 ) yt -1 + 0xt+ ( 0+ 1 )xt -1 + t代入 0+ 1= (1 - 1 ) ，则有yt= 0xt+ (1

14、 -1)( yt -1 - - xt -1 ) + t error correction(1 -1)( yt -1 - - xt -1 )称为“误差修正项”(error correction term)。, 为长期参数， 0 , 1 -1为短期参数。ECM 的形式看似非线性，但仍是线性回归，可把它还原为 ADL模型，用 OLS 来估计。20.8 MA()与滞后算子MA(q)的自相关函数(ACF)存在截尾。如果希望自相关系数永远不为 0，可考虑MA()：其中，0= 1。yt = + j=0 jt - j无穷多个随机变量之和，能收敛到某随机变量吗？一个充分条件是，序列j j=0为“绝对值可加总”(

15、Absolutelyj=0Summable，简记 AS)，即 j (有限)。在 AS 的条件下，不仅 MA()有定义，而且是弱平稳过程；如果t 为 iid，则 MA()严格平稳。时间序列分析常引入“滞后算子”(lag operator)。定义 Ly = y， L2 y = L(Ly ) = y， Lp y = y。特别地，t t -1t t t -2t t - pL0 y = 1 y = y 。t t t滞后算子的运算相当于幂函数。比如， Lp Lq= Lp+q 。由于yt= yt- yt -1= (1 - L) yt ，故差分算子 1 - L 。对于AR(p)， yt= 0+ 1 yt -1

16、 + + p yt - p+ t ，可用滞后算子表示：y = + Ly + + Lp y + t 0 1 t p t t移项可得y - Ly - - Lp y = + t 1 t p t 0 t向右提取公因子yt(1 - 1L - - Lp ) y= 0+ tp t定义“滞后多项式”(lag polynomial) (L) 1 - 1L - - Lp ，则p (L) yt= 0+ t如果存在 (L)-1，则可以在两边左乘 (L)-1，得到 AR(p)的“解”。1 2定义 对于任意一个实数序列(0 , 1, 2 , )，定义其对应的滤波(filter)为 (L) = 0+ L + L2+ 。命题

17、 假设xt 为弱平稳过程，序列j j=0为绝对值可加总(AS)，则 yt = + j=0j xt - j = j+ L xj=0 j t有定义，且为弱平稳。进一步，如果xt 为 iid，则yt 严格平稳。定 义 对 于 两 个 滤 波 “ (L) = + L + L2 + ” 与0 1 2“ (L) = + L + L2 + ”，定义其乘积为0 1 2 (L) (L) (L) ( + L + L2 + )( + L + L2 + )0 1 2 0 1 2= + ( + )L + ( + + )L2 + 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2滤波的乘积满足交换律。最感兴趣的情形是 (L)

18、 = 1，即令上式的常数项0 0 为 1，而其余各项的系数均为 0。称 (L)为 (L) 的“逆”(inverse)，并记为 (L)-1。只要0 0 ，则 (L)-1 都有定义且唯一，因为可以得到满足 (L) (L) = 1的唯一解(0 , 1, 2 , )，即0 = 1 0 ， 1 = -10 0 ， 等等。例 (1 - L)-1= 1 + L + L2+ L3 + 证明：(1 - L)(1 + L + L2+ L3+ ) = 1。但(1 - L)-1不再是 AS。例 (1 - L)-1= 1 + L + 2 L2+ 3 L3 + 证明：将上例中的“L”换成“ L”即可。如果 为 AS。 1，则(1 - L)-1命题 对