四年级奥数数列规律总汇.docx

1、四年级奥数数列规律总汇寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。奥赛天天练第1讲，模仿训练，练习2【题目】：按规律在“？”处填数。【解析】：第（1）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字，如第一幅图中：（8-6）2=4。所以第四幅图中“？”处的数字为：（13-6）2=14；第五幅图中“？”处的数字为：32-（2

2、42）=20。第（2）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中：145=20。所以第三幅图中“？”处的数字为：352=30；第四幅图中“？”处的数字为：56（78）=1。奥赛天天练第1讲，巩固训练，习题2【题目】：将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？【解析】：根据题意列出数列（未知数字用方框代替）：、81、131“从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和”，倒过来可以推出，这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。

3、如：第8个数等于第7个数与第6个数的和，则第6个数就等于第8个数与第7个数的差，可求出第6个数为：131-81=50。依次倒推，可求出前面5个数。第5个数为：81-50=31；第4个数为：50-31=19；第3个数为：31-19=11；第2个数为：19-11=8；第1个数为：11-8=3。四年级奥数解析（二）找规律巧填数（下）奥赛天天练第1讲，拓展提高，习题1【题目】：从下边表格中各数列的规律可以看出：（1）“”代表，“”代表；（2）81排在第行第列。【解析】：观察表格寻找规律，一般包括三个观察方向：横着看、竖着看、斜着看。不难看出这个表格中的数字都是奇数，从左上角开始，沿着右上到左下的方向从

4、小到大依次斜向排列。解法一：简单枚举。按照表格中的数字的排列规律，填出表格中所有空格里的数字，则题中的问题必然迎刃而解。解法二：探索规律。依次从表格中不同的方向观察，寻找规律。从表格的第一行横着看，这是个递增数列，后面的数依次比前一个数大：2、4、6。所以，“”代表的数为：31+12+14=57；从表格第一列竖着看，这也是个递增数列，后面的数依次比前一个数大： 4、6、8、10。所以，“”代表的数为：29+12+14+16=71；从表格的左上角向右下角斜看，看到的数列是：1、9、25。这个数列的前三项依次是1的平方、3的平方、5的平方，按照这个规律排下去，81是9的平方应该是第5项，排在表格的

5、第5行第5列。 解法二比解法一更有效。奥赛天天练第1讲，拓展提高，习题2【题目】：在1，2两数之间，第一次写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到：1 4 3 5 2以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少？【解析】：解法一：简单枚举。按照规定的要求重复8次相同的操作，写出8次重复操作后的所有数字。起始数列：1、2；第1次后：1、3、2；第2次后：1、4、3、5、2；第3次后：1、5、4、7、3、8、5、7、2；第4次后：1、6、5、9、4、11、7、10、3、11、8、13、5、12、7、9、2；第5次后：1

6、、7、6、11、5、14、9、13、4、15、11、18、7、17、10、13、3、14、11、19、8、21、13、18、5、17、12、19、7、16、9、11、2；再求出第8次后，所有数的和（略）。重复次数少，题目简单，这种解法比较适合。当重复次数增加到一定的程度，这种解法非常繁琐，很容易错，人力甚至无法计算。解法二：探索规律。从简单的情况开始，依次列出每次操作后所有数的和，再寻找规律，并按规律求解。起始值：1+2=3；第1次后，数字总和：3+3=6；第2次后，数字总和：6+4+5=15；第3次后，数字总和：15+5+7+8+7=42；起始值和前面三次计算后得到的和依次是：3、6、15、

7、42，这是个递增数列，从第二项（第1次操作后的总和）开始，后面的数依次比前一个数多：3、32、33，按照这个规律，8次重复操作后的所有数之和为：3+3+32+33+34+35+36+37+38=3+3+9+27+81+243+729+2187+6561=9843。上面这道算式也可以用数列求和公式求解，不过四年级孩子只能通过先乘后加进行计算了。本题答案就是斐波那契数列的一部分。四年级奥数解析（三）算式谜（上）奥赛天天练第2讲破译算式谜、第3讲文字算式谜，分别学习乘、除法竖式算式谜和文字算式谜。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的

8、关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。简单算式谜的解法，在三年级奥数课堂已有说明，请查阅：user3/4092/archives/2008/53612.shtml本册奥数教材介绍的算式谜，是三年级奥数的继续和延伸。解答算式谜最关键的一步是找准“突破口”，即：认真分析算式中所包含的数量关系，尽可能找出所有的隐藏条件，选择有典型特征的部分作

9、出局部判断。再由局部的突破，利用算式中的数量关系，通过推理逐步还原整个算式。其次，通过题中的已知数字和数量关系，有时只能判断出算式谜中部分数字的取值范围，这时可采用列举、尝试和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字，找到正确的答案。最后，算式谜解出后，一定要验算一遍。算式谜的解题步骤比较复杂，解题思路表达出来也很繁琐，但解题过程中有许多步骤可以适当地运用口算、心算和估算来解决，只要掌握了解题策略，大多数的算式谜都可以引刃而解。奥赛天天练第2讲，模仿训练，练习2【题目】：在下面算式的内填入适当的数字，使算式成立。 【解析】：为了便于叙述，我们将方格里的数字用字母代替（不同字母表示不同位置的数字

10、，有可能是相同的数字），如下面算式： 因为两位数AB和3的积是七十多，所以AB可能是24、25或26。又因为AB与C的积是一百多，且个位上数字是0，所以：（1）当AB是24或26时，C只能等于5。用24和5代替AB和C，通过计算可得使原式成立的一组答案：A=2；B=4；C=5；D=4；E=2；F=2；G=2。用26和5代替AB和C，通过计算可知这组数字不合题意。（2）当AB是25时，C可能是4或6。用25和4代替AB和C，通过计算可得使原式成立的第二组答案：A=2；B=5；C=4；D=5；E=5；F=0；G=0。用25和6代替AB和C，通过计算可知这组数字不合题意。所以，这道算式谜共有两组解，

11、分别是：84024=35；85025=34。奥赛天天练第2讲，拓展提高，习题1【题目】：在下面的中填入合适的数字。【解析】：为了便于叙述，我们将方格里的数字用字母代替，如下面算式：第（1）题推理过程：因为A1B和3的积是四位数H2J5,个位上数字为5，所以B肯定是5；因为A1B和3的积是四位数H2J5，A1B和2的积是三位数D3E,所以A肯定是4；由、可知算式中第一个乘数是415，415乘以C的积是四位数3F2G,即三千多，所以C肯定是8。把A=4、B=5、C=8带入原式，可以求出其余方框里的数字，这个算式谜的答案为：415382=158530。第（2）题推理过程：由倒数第二步，四位数PSTR

12、减去三位数JM4,余数为两位数4Y，可知P是1，S等于0，J等于9。由最后一步4YZ减去NWX余数为0，可得N是4，即E乘以A4B积是四百多，只能有两种可能：A等于1，E等于3，或A等于2，E等于2；把A等于1，E等于3，P是1，S等于0，J等于9，N等于4带入算式，尝试计算。D乘以三位数A4B积为三位数JM4,综合、步得到的信息，即D乘以一百四十多，积为九百多且个位数字为4，所以D只能是7，B只能是2。因为三位数A4B乘以C积是三位数LK4,即142乘以C积是三位数LK4,C 只能等于2。把除数142和商273带入原式求出题中其余方框里的数字，可得这一题的一个解：38766142=273。把

13、A等于2，E等于2，P是1，S等于0，J等于9，N等于4带入算式，尝试计算。因为D乘以三位数A4B，积是三位数JM4，即D乘以三位数24B，积是九百多且个位数字为4，所以D肯定是4，B等于1或6。当B等于1时，C乘以241等于三位数LK4，C只能等于4，算得三位数LK4就是964，三位数FGH减去九百多，不可能余一百多，不合题意。同理可证，B等于6也不合题意。所以这题只有一组解：38766142=273。奥赛天天练第2讲，拓展提高，习题1【题目】：某人洗衣服时，不小心把两个人卖同一种货的单据以及两人分钱的账单洗烂了。经细心拼凑，只能回复成下面的样子，记帐时他还记得第一个人卖的这种货比第二个人多

14、。请根据这些条件回复此帐的本来面目。【解析】：这一题中四个算式是相互关联的，要综合考虑。（1）式中两个一位数相加，货物总重量肯定是十几，十位上数字是1；（2）式中每千克的价钱等于总价除以货物的总重量，所以货物总重量就是式中的除数，个位数字为7；所以两人所卖货物总重量为17千克。（1）式中和为17，两个加数只能是8和9，因此第一个人卖出货物重量为9千克，第二个人卖出货物重量为8千克。（3）式中，第一个人的钱等于卖出货物的重量乘以每千克货物的价钱，因为货物重量是9千克乘以单价两位数，总价还是两位数，所以货物的单价只能是每千克10元或11元；结合（2）式中的商即货物单价的个位数字不可能为0，所以货物

15、的单价只能是11元。把两人卖出货物的重量、单价带入四个算式，可以求出其余方框中的数字，恢复此帐本来面目：第一个人卖出货物9千克；第二个人卖出货物8千克；货物总重量为17千克；货物单价为11元；总价为187元；第一个人得99元；第二个人得88元。注：在解析中一些用文字或字母表示的多位数，在word上不好操作，书写不够规范，只能用文字说明，例如：三位数JM4。后面关于多位数的表示与此相同。四年级奥数解析（四）算式谜（下）奥赛天天练第3讲，巩固训练，习题1【题目】：下面算式中同一个汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。问每个汉字各代表什么数？（1）优优优优优优学=学习再学习；（2）认认真真=踏踏

16、实实。【解析】：第（1）题，由原式可得：学习再学习 学 优优优优优优从低位算起，“学”和第一个“习”相乘积的个位上数字是“优”， “学”和第二个“习”相乘积的个位上数字还是“优”，即：“学”和第二个“习”相乘的前一步计算没有进位。所以，两位数“学习”和“学”的积就是三位数“优优优”，“再”是0。可以从“学”入手，列举出“学”可能取的值：3、4、5、6、7、8、9，一一试算，筛选出符合题意的数字，也可以“优”入手列举出可能值，再筛选出答案。通过计算可得本题只有一组解：370373=111111。第（2）题，两位数“认认”和“真真”分别是11的“认”倍和“真”倍，四位数“踏踏实实”等于11乘以三位

17、数“踏0实”，因此三位数“踏0实”肯定是11的倍数。所以三位数“踏0实”与11的商是“认”和“真”的积，且 “踏”与“实”的和为11（根据能被11整除的数的特征可知）。列举出三位数“踏0实”可能的取值有：209=1119；308=1128；407=1137 其中只有308符合题意，它与11的商28可以写成两个一位数4和7的积，其它各数与11的商都不合题意。所以，此题有唯一一组解：4477=3388。奥赛天天练第3讲，巩固训练，习题2【题目】：下式中不同的汉字代表不同的数字，“”代表一个一位自然数。你知道每个汉字各代表多少吗？开 放 的 中 国 盼 奥 运 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼【解

18、析】：这一题中第一个乘数是8个数字各不相同的八位数，积是9个相同的数字“盼”9个相同数字组成的九位数，唯有除以9才能得到8个数字各不相同的八位数商（只有除以9才有8个不同的余数，余数不重复才能保证商的数字各不相同），因此“”代表的数字是9。本题的积是111111111的“盼”倍，其中：1111111119=12345679，“盼”不可能是1，因为原式中第一个乘数里，“盼”不是排在最高位的，而是排在百位上。“盼”依次取：2、3、4、5、6、7、8，一一试算，可得“盼”等于7时符合题意，本题有唯一一组解：864197537=777777777。奥赛天天练第3讲，拓展提高，习题1【题目】：下面算式中

19、“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字？1 数 学 俱 乐 部 3 数 学 俱 乐 部 1【解析】：“部”和3的积的尾数为1，所以“部”代表数字7；把“部”是7带入算式计算，3乘7等于21，写1进2，3与“乐”的积加2所得结果的尾数为7（“部”是7），则3与“乐”的积的尾数为5，所以“乐”代表数字5；依此类推，可算出其它汉字代表的数字：“数”代表数字4；“学”代表数字2；“俱”代表数字8。奥赛天天练第3讲，拓展提高，习题2【题目】：下面的竖式中不同的字母代表09中不同的数字。求出它们是竖式成立的值。？S E N D+ M O R E M O N E Y【解析】： 式中

20、两个四位数相加和为五位数，所以和的最高位上数字M肯定表示数字1；从高位看起，M是1加上一位数S的和最大只能是10，如果前一位进一，则最大是11，所以O可能是0或1， M表示数字1，所以O只能代表数字0；把M、O表示的值带入算式，N不能等于0、1，O表示数字0，所以E和O的和就不可能进位，所以，只能是N比E大1，S表示数字9；N比E大1，且N与R的和的个位数字为E，R只能为9或8（前一位进1时，R可以是8），S已经表示数字9，所以R只能是8；排除题中已出现的数字，09中还剩下2、3、4、5、6、7六个数字，Y最小是2。结合的推理可知D和E的和最小满12，E比N小，所以E可取5或6,对应的N可能是

21、6或7。试算。当E等于6，N等于7时，不合题意。当E等于5，N等于6时，可以推算出D等于7。所以这一题有唯一一组解：9567+1085=10652。四年级奥数解析（五）等差数列（上）奥赛天天练第4讲等差数列、第5讲等差数列求和，帮助孩子进一步认识等差数列，学会运用等差数列的几个公式解决简单的数学问题。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。如果用an表示数列的第n项，用Sn表示数列前n项所有数的和，则有以下公式：通项公式为：an=a1+(n-1)d；前n项求和公式：Sn=n(a1+an)2；

22、项数公式：项数（末项-首项）公差1；所有项总和（首项末项）项数2 ；首项=总和2项数-末项；末项=总和2项数-首项。公差=（末项-首项）（项数-1）辅导时，可以以最简单的自然数列为例，介绍等差数列中一些名词的含义，并利用具体数据，通过不完全归纳法，帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程，一定要在理解的基础上学会运用，切忌死记硬背。以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例，帮助孩子理解求和公式的原理：这是个等差数列，首项为1，末项为10，公差为1，共有10项。数列和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中，就可以得到一个新的2

23、0项的数列：“1、10、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”，这个数列的总和为：（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）+（6+5）+（7+4）+（8+3）+(9+2)+(10+1)=(1+10)10。新数列的和是原数列的2倍，所以：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）102。把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证：数列和（首项末项）项数2 ；奥赛天天练第4讲，巩固训练，习题2【题目】：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么

24、它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？ 【解析】：小虫子第一次落脚点的高度为10厘米，后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米，所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列，第100个落脚点的高度就是这棵树高度为：10+（100-1）4=406（厘米）。奥赛天天练第4讲，拓展提高，习题1【题目】：下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20， 【解析】：这一列算式中，每个算式的第一个数都比后一个算式的第一个数少1，每个算式的第二个数都比后一个算式的第二个数少6，所以，后面算式的和总比前一个算式的和多：1+6=7，所有

25、算式的和组成了一个公差为7的等差数列。首项即第一个算式的和为：4+2=6，则第100个算式的得数是：6+（100-1）7=699。奥赛天天练第4讲，拓展提高，习题2【题目】：在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？【解析】：由题意可得这个等差数列首项为124，末项为245，项数为12。所以这个数列的公差为：（245-124）（12-1）=11则插入的10个数中，最小的是：124+11=135；插入的10个数中，最大的是：245-11=234。四年级奥数解析（六）等差数列（下）奥赛天天练第5讲，模仿训练，练习2【题目】：一辆双层公共汽车有

26、78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，那么第几站以后车上坐满乘客？【解析】：每个站点上车乘客人数是个首项为1，公差为1的等差数列，坐满乘客即此前所有站点共上78位乘客，也就是这个数列的数列和。解法一：列举法。从1开始依次加2、3、4、5、，求和，直到和为78，可得：1+2+3+12=78。所以到第12站以后车上坐满乘客。解法二：利用求和公式推导。由求和公式可得，（首项+末项）项数=782=156，而由题意可知首项为1，末项等于项数，即首末两项和就等于项数加1。再对156进行因数分解可得：156=1213。所以这个数列的项数为12，即第12站以后车

27、上坐满乘客。四年级孩子对因数分解还不太熟，可以考虑第一种解法。 奥赛天天练第5讲，巩固训练，习题2【题目】：（1）2000-3-6-9-51-54；（2）（2+4+6+96+98+100）-（1+3+5+95+97+99）。【解析】：（1）3、6、9、51、54，是个公差为3的等差数列，项数为：（54-3）3+1=18。根据减法的运算性质：2000-3-6-9-51-54=2000-（3+6+9+51+54）=2000-（3+54）182=2000-513=1487（2）解法一：先分别求和，再求两个和的差。（略）解法二：对应相减。（2+4+6+96+98+100）-（1+3+5+95+97+9

28、9）=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（96-95）+（98-97）+（100-99）=1+1+1+1+1+1（50个1相加）=50奥赛天天练第5讲，拓展提高，习题1【题目】：一本书的页码从162，共有62页。小丽在把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张纸被撕掉了，她把其他页码加起来的和是1858。问被撕掉的这张纸上的页码是多少？【解析】：书上任意一张纸都有两个相邻的页码，由题意得这本书少了两个相邻的页码，两个页码数应该是两个相邻的数字。先求出162这62个页码数的和：（1+62）622=1953，则撕掉的两个页码数的和为：1953-1858=95，95=47+48，所以被撕掉

29、的这张纸上的页码是47、48。奥赛天天练第5讲，拓展提高，习题2【题目】：盒子里装着写有1，2，3，134，135的红色卡片各一张。从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。【解析】：去掉剩下的两张红色卡片，摸出的所有红色卡片上数字之和为：1+2+3+134+135-19-97=（1+135）1352-19-97=9064。每次“从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17

30、的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。”即放回的黄色卡片上的数比每次摸出的数少了17的整数倍，所以，无论摸出多少次，盒中剩下来的数除以17的余数不变。而且黄色卡片上的数字是余数（比17小）。906417=5333，所以最后那张黄色卡片上数字为3四年级奥数解析（七）平均数问题奥赛天天练第6讲平均数问题。平均数问题在三年级奥数课堂已经作了简单介绍，这个问题主要涉及到三个数量：总数量、总份数、平均数，基本数量关系式为：总数量总份数=平均数；总数量平均数=总份数；平均数总份数=总数量。这三个数量中，知道其中任意两个数量，就可以求出第三个数量。解题的关键是弄清题意，找准题中什么数量是总数量，其对应的总份数及平均数各是什么数量，再运用对应的数量关系求解。本讲介绍稍微复杂一点的平均数问题，即灵活运用上面的基本数量关系，解决一些变式问题。奥赛天天练第6讲，模仿训练，练习1【题目】：求下列20个数的平均数：4