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1、新人教版高中数学知识点总结2015年新人教版高中数学知识点总结中国首家中小学在线学习会员制服务平台2015年新人教版高中数学知识点总结高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为

2、集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合它有2nA有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集， 2非空真子集. 1 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法2 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 1.2

3、函数及其表示【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B）中都有唯一确定的数叫做集合那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则ff(x)和它对应，A到B的一个函数，记作f:A B函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(

4、a,b；满足x a,x合分别记做a, ),(a, ),( ,b,( ,b)注意：对于集合x|a a,x b,x b的实数x的集x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数 f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合3 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1y tanx中，x k 2(k Z)零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函

5、数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域应由不等式a f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)g(x) b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简

6、单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2 b(y)x c(y) 0，则在a(y) 0时，由于x,y为实数，故必须有 b2(y) 4a(y) c(y) 0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数

7、图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法 【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都）叫做集合有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则fA4 中国首家中小学在线学习会员制服务平台到B的映射，记作给定一个集合f:A BA到集合B的映射，且a A,b B如果元素a和元素

8、b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数y fg(x)，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y fg(x)为增；若y f(u)为减，u g(x)为减，则y fg(x)为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y fg(x)为减；若y f(u)为减，u g(x)为增，则yy fg(x)为减（2）打“”函数f(x) x a(a 0

9、)的图象与性质 xoxf(x)分别在( ,、 )上为增函数，分别在、上为减函数5 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I，都有f(x) M（2）存在；是函数x0 I，使得f(x0) M那么，我们称Mf(x) 的最大值，记作fmax(x) M一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I，都有f(x) m；（2）存在x0 I，使得f(x0) m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x) m【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法若

10、函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0) 0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本6 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 初等函数的图象

11、平移变换h 0,左移h个单位y f(x) y f(x h)h 0,右移|h|个单位k 0,上移k个单位y f(x) y f(x) k k 0,下移|k|个单位伸缩变换0 1,伸y f(x) y f( x) 1,缩0 A 1,缩y f(x) y Af(x) A 1,伸对称变换y轴x轴y f(x) y f(x) y f(x) y f( x)直线y x原点y f(x) y f( x) y f(x) y f 1(x)去掉y轴左边图象y f(x) y f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x) y |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，

12、要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果xn a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的nn是偶数时，正数a的正的nn次方根用符号0的n次方根是0；负数a没有n次方根n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，

13、a 0根式的性质：n a；当n为奇数时， a；当n为偶数时， a (a 0) |a| a (a 0)7 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：a幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：a mnmn a 0,m,n N ,且n 1)0的正分数指数1m ()n a 0,m,n N ,且n 1)0a的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质ar as ar s(a 0,r,s R) (ar)s ars(a 0,r,s R)r(ab) arbr(a 0,b 0,r R)【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数

14、 2.2对数函数8 中国首家中小学在线学习会员制服务平台【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 若ax N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x logaN ax N(a 0,a 1,N 0)（2）几个重要的对数恒等式loga1 0，logaa 1，logaab b（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828） 0,a 1,M 0,N 0，那么M logaN loga(MN) 减法：l

15、ogaM logaN logaM logaMn(n R) alogaN NMN 数乘：nlogalogabMn nlogbNlogaM(b 0,n R) 换底公式：logaN (b 0,且b 1) blogba【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数9 中国首家中小学在线学习会员制服务平台(6)反函数的概念设函数果对于子x值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x (y)如y f(x)的定义域为A，y在C中的任何一个值，通过式子x (y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式 (y)表示x是y的函数，函数x (y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f 1(y)，习惯上改写成y

16、 f 1(x)（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将xy f(x)中反解出x f 1(y)； f 1(y)改写成y f 1(x)，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数函数y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称 y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域y f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上 若P(a,b)在原函数一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x 叫做幂函数，其中x为自变量， 是常数中国首家中小学在线学习会员制服务

17、平台 （3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在0, )上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 q（其中p,q互pqp奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 qp质，p和q Z），若是偶函数，若p为奇数q为奇数

18、时，则y xqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y xp为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数图象特征：幂函数y x ,x (0, )，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图象在直线y x上方，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方 补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) ax2 bx c(a 0)顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)两根式：f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值

19、有关时，常使用顶点式11 中国首家中小学在线学习会员制服务平台若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质二次函数f(x)更方便 f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b,顶点坐标是2ab4ac b2( ,) 2a4a当a 0时，抛物线开口向上，函数在( , ；当abbb上递减，在 , )上递增，当x 2a2a2a时，4ac b2fmin(x) 4a 0时，抛物线开口向下，函数在( , bb上递增，在 , )上2a2a4ac b2b递减，当x 时，fmax(x) 2a4a二次函数 f(x) ax2 bx c(a 0)当

20、b2 4ac 0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2| （4）一元二次方程ax2 |a| bx c 0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2令b2a 从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置：x f(x) ax2 bx c，判别式： 端点函数值

21、符号kx1x2 x1x2k 12 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2) 0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数 f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值13中国首家中小学在线学习会员制服务平台设f(x)在区间p,q上的最大值为M（）当a，最小值为m，令x0 1(p q) 2 0时（开口向上）若 bbbb p，则m f(p) 若p q，则m f( ) 若 q，则2a2a2

22、a2am f(q) xxq) 0f(p)x2ab) 若p 若 q，则2axxM若 xxxf fbb x0，则m f(q) x0，则m f(p) 2a2axf x第三章 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的实数x叫做函数14 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点3、函数零点的求法：y f(x)的零点：

23、1 （代数法）求方程f(x) 0的实数根； 求函数2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： y f(x)的图象联系起来，并利y ax2 bx c(a 0)2），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次二次函数函数有两个零点），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程ax22 bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 高中数学 必修2知识点第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征1.2空间几何体的三视图和

24、直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 S rl 2 r 2 3 圆锥的表面积S2 4 圆台的表面积S rl r2 rl r2 Rl R2 5 球的表面积S 4 R2（二）

25、空间几何体的体积1柱体的体积 1V S底 h 2锥体的体积 V S底 h 315 中国首家中小学在线学习会员制服务平台3台体的体积41V S上 S上S下 S下) h 4球体的体积 V R333D A 第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）CB（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为ALB A B公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面， 使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3符号表示为：P =L，且PL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 L C A B2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系： 共面直线 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平