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1、多自由度系统振动分析的数值计算方法25页第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。当振动系统的自由度数较大时， 这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大， 必须利用计算机来完成。在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型， 或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解， 以得到实际振动问题的近似分析结果。本章将介绍工程上常用的几种近似解法， 适当地选用、掌握这类实用方法， 无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。4.1瑞利能量法瑞利(Rayleigh )能量法又称瑞利法

2、，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。 该方法的特点是：需要假定一个比拟合理的主振型；基频的估算结果总是大于实际值。 由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。4.1.1第一瑞利商设一个n自由度振动系统，其质量矩阵为 M丨、刚度矩阵为K 1。多自由度系统的动能和势能一般表达式为T M KX1/2U =xTK】x/2j(4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为- Asin -t 、x： A COS t :：;(4.1.2)将上式代入式(4.1.1)，那么系统在作主振动时其动能最大值 Tmax和势能最大值Umax分别为Tma -：AT M P：A/2Umax /A*kKa

3、/2 j(4.1.3)Atka?Stm1R a(4.1.4)其中，R A 称为第一瑞利商。当假设的位移幅值列向量 A取为系统的各阶主振型A时，第一瑞利商就给出各阶固有频率 纠的平方值，即(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型 ；、A 】，只能以假设的振型:A代入式4.1.4，从而求出的相应固有频率 簡的估计值。从理论上讲，可用式 4.1.4近似求解各 阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设， 所以，该式一般只用来估算系统的基频。4.1.2第二瑞利商瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵 I建立的位移运动方程。这时自由振动方程X =-、 MX 件 1.6代入式4.1.

4、1,注意到I. I、l-M 1 M是对称矩阵，以及 I-.IIUII 1, 那么系统的势能为U =XTMTL-M X 2 (4.1.7)由式(4.1.2)可得X - - 2 Asin( t ： ) (4.1.8)将上式代入式(4.1.7),系统势能的最大值为(4.1.9)Umax =/ATM it MA：2由Tmax二Umax可得AT M a、AT M IL; |IM二 Rii(A)(4.1.10)Ri (A)称为第二瑞利商。可以证明，假设所选假设振型 很接近于第一阶主振型 人？，那么由第一瑞利商和第二2 2瑞利商计算出的值确实接近于 r ,而且比实际值稍大(所谓上限估计)。对于同一假设 振型

5、A!，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值 1，但其精确程度主要取决于假设振型:A ：接近于第一阶主振型 IA ：的程度。例41在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。 mi = m2 = m3 = m， = k2 = k3 = k。斧 严 戶图 4.1.1【解】系统的质量矩阵为mM0010刚度矩阵为柔度矩阵为K +k220 1一2-10K =k?k： + k3k3=k 12-103k3 -1 -11 Jj6 = kF1kJ粗略地假设振型为A二1 1 1T，从而得at M b Cm a1 0=(1 1 1)m 0 10 0AtM =3mAKlAGk0101 1

6、02m 0 13一 014m2k(1)(2)(3)式1、 2代入式4.1.4 得aHaI :a/t Im 1：a?上=0.333 k3m m式1、 3代入式4.1.10 )得aT M 丨丨、Hm m 14m3k =0.214mk系统的第一阶固有频率的精确值为 2 =0.198 ，显然第二瑞利商的结果较接近精确m值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型 AJ二0.445 0.802 1T相差较远的缘故。如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力， 那么以该静变形曲线作为假设振型，即取那么有AT M A = 70mAT KA = 14k2A? M IL HM A“.； =

7、 353mk由式4.1.4得k二 0.200由式4.1.10 得k= 0.198可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，那么瑞利商结果愈接近于基频例4.2 如图4.1.2所示，梁的弯曲刚度为EJ，不计其质量， mb = m3 = m，m2 =2m，求系统的第一阶固有频率。L V4 .-4 -4 -mO-图 4.1.2【解】 系统的质量矩阵为m 0【M = 0 2m0 0l3柔度矩阵为117 11611119 一911768EJJAtM A =10mat m P M a= Ii2 329m l48 EJ代入式(4.1.10)得； I.M IfA? _ 10m；A M 壯 IlM EA _29m2l3

8、/48EJ= 16.55EJml3 =4.068 EJ / ml3系统第一阶固有频率的精确值为-4.024 8. EJ / ml3 。其误差约为1%。在系统柔度矩阵的情形下，假设假设振型用- L-. Um川？，那么计算精度还可提高。讯2邓克莱法邓克莱(Dunkerley)法又称迹法。前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限 估计值，而邓克莱法那么给出了系统最低阶固有频率的下限估计值。如前所述，n自由度系统的位移方程：X - (4.2.1)设其解为 = Afsin t n i代入式(4.2.1)，并以.2除全式得主振型方程2 - lM 丨- 心(4.2.2)其特征方程为诈20川0 1 &1

9、1 12III%01 m12IIIBn 一0+1/J川 021 22+ RIII2nm1+m22IIIm2n=0+0+0 40 1/心1+ + 4gn1 n2IIIrrnn 一+m2rIIIrrmnn当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为恨如m +右22口2 + IH+6nm1b2n_1+lH = o由代数方程理论多项式根与系数之间的关系 可知，上式中i，2n项的系数变号后等于1.二，2的n个根1/ -1之和，即+1.； + |1|+ 1二 “10 、：22口2 ：nnmn 423对等式423作如下处理：11 1 t 2等式左边，由于1 ：匕汕1 T【k 】*】C，m (c) =cT I Im

10、 WKc于是由泊K(c) 2 C ) c=0可得 0(H 1,21 s ,)(4.3.3)必j比 j ccj而.:K (c)nv k me, -：X;T:cj :cj :cj gf詡彳C T=2仝比旅T k】切匕 = 2%了K】【IC l比j丿同理 竺9=21 M ,c-cj _于是，式(433)可写为MHTC，0 (j=1,2,川,s)这s个方程可合并为一个矩阵方程I-F 2汀M Ecid (4.3.4)kW IK II -L - (4.3.5)M* -I.M II l|上式中，| K*和|M *为s s阶对称阵，分别称为 广义刚度矩阵(generalized stiffnessmatrix

11、)和广义质量矩阵(generalized mass matrix)。这样，式(4.3.4)可改写为K - 2 M 心-心 (4.3.6)这样，问题又归结为特征值问题，所不同的是，现在为 s s阶矩阵的特征值问题，而不是原系统n n阶矩阵的特征值问题。因而，李兹法是一种缩减自由度的近似解法。2 2 2由上式求得的s个特征值、2、| s就是原系统前s阶固有频率平方的近似值。将解得的s个特征矢量c ?、c2，、iir：Cs，进行归一化，代入式(4.3.1)可求得原系统前s阶主振型的近似值，即(j =1,2,川, s) (4.3.7)由式(4.3.6)可知，各 对矩阵M 1是正交的，即有G ?T M

12、FcJ =0 (i = j)所以a T m lAj = C T 陥T【M KCj = Im 4253；,如=1川小山451 j由式4.3.6得特征方程为5k-42.5m 2 -k-3.5m 2-k-3.5m 2 3k-3.5m 2136.5 4 -152 2 - 14 -Im丿 5.丿解得=0.1013， -2-1. 01$m m厂0.3183、帀=(1.5921)、. Eg ,匕=1.006 km = (5.031. Eg对应的G、C2为1 10.512 一-1. 1 1 941由式4.3.7，求各阶主振型的近似值0.3370.560 A = 4.488 10.7830.891J 一0. 5

13、510. 4 76=1. 5 9 7). 401-0. 29 9J J假设用式4.3.8求解卜砰M 【M 】M】 = m |427.25 48.75- k 48.75 9.25可由特征方程=02 242.5m-427.25吏k23.5-48.75 k2 23.5m-48.75 m k3.5m -48.75解得0.0980 , m= (1.565; l)、. Eg ,对应的G、C2为2= 0.9403. k =(4.701. l) . Eg m近似主振型为0.3311_0. 5 5 410.5530. 48 00.775，仏一.5900.4600.887-0. 2971 一J 一Z = 4.50

14、72此题精确解为广(1.5711) Eg ， 2=(4. 71l2 QEg0.3090.588 A= 10.8090.951J 一-0. 809-0. 951人2= 1-0. 309归一化模态振型-0. 588J 一比照之下，按式(436)或式(438)求解，第一阶固有频率和主振型都接近于真值， 第二阶固有频率及主振型的误差较大。而用式( 438 )求基频及其主振型那么更接近于真值。M.4矩阵迭代法矩阵迭代法也称振型迭代法，它采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。4.4.1求第一阶固有频率和主振型求系统的基频时，矩阵迭代法用的根本方程是位移方程，即j 1(K M 2 I) A= 01或

15、KMA 2 A (4.4.1)-令 D 二 K M (4.4.2)矩阵D称为系统的动力矩阵。如果将随意假定的振型向量代入上式，等式并不成立，但是通过不断的迭代却可以逐步逼近所要求解的固有频率和振型向量。迭代过程如下：(a) 选取某个经过归一化的假设振型 A。，用动力矩阵D前乘以假设振型 A。，然后归一化，可得A,，即DA。= A(b) 将得到的A1和A。相比拟，如果 A = A0，就再以A为假设振型进行迭代，并且归一化得到A，即DA = a? A2-n2 笃 A(n) -n由于固有频率的排序,DA o(4.4.4)上式中的系数分别小于Ao相应的系数C2 ,，(c)如果a2 a，那么继续重复上述

16、迭代过程，得DAk j = ak Ak直至Ak = Ak二时停止。此时ak = $，而相应的特征矢量 Ak即为第一阶主振型，A二Ak。co可以证明，上述过程一定收敛于最低固有频率及第一阶主振型。由于振动系统的n个主振型A(i =1,2,|()是线性无关的，因此，任意的假设振型可以表示为各阶主振型的线性组合，即Ao A(1) - C2A-| - CnA(n) (443)得:DAo =gDA C2 DA | Cn DA(n)y A A A(2)A(n) j 21 (1) 1 2 Cl A Q 2 A Cn j 2Cn ,因此，A,比Ao更接近A。第二次迭代：nDA = G DAi A=D(qA(1

17、) - qA|l| qA(n)-AgA(1) C(-4)2A (4)2A(n)1 2 n即1DA 2A2(4.4.5)重复上述过程，第 k次迭代后，得2 2DAk i 二 DciA c(爲)k A(2|l - G(二)k A(n)2 仏DA k j-2 Ci AA(1)(因为lim qk_scf 2、创25丿kA(n)反复的迭代可见，经过一次迭代，第一阶主振型的成分得到比其他主振型更大的加强,下去，当迭代次数足够大时， DAkj与A只相差系数 丄g，DAk_i即为所求的第一阶振型向量，将其归一化后为 Ak , Ak即为所求的第一阶主振型向量，即DAk 二 DA =A A(i)DA k=DA(i

18、) i (i)2 Aj(4.4.7)所以归一化因子即为从以上的讨论可以看出：尽管开始假设的振型不理想， 它包含了各阶的主阵型，而且第iak = 2 国i一阶主振型在其中所占的分量不是很大。 但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减， 低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近 A，那么迭代过程越快；假设振型与 A相差较大，那么迭代过程收敛得慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。如果在整个迭代过程中， 第一阶主振型的分量始终为零， 那么收敛于第二阶主振型； 如果前s阶主振型的分量为零，那么收敛于第 s I阶主振型。例 4.6求3自由度振动系统的第一阶固有频率和振型向量精确值为 K= 5.049J，kIiA = i I.082 2.247T), K，M =Ji22ki23【解】任取初始振型向量人=i i i】T，然后依顺序迭代计算，各次计算结果见表441。1-迭代向量DA0aA2A3