数学表达式解析前缀中缀后缀.docx

1、数学表达式解析前缀中缀后缀数学表达式解析(前缀、中缀、后缀)前缀、中缀、后缀表达式它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。举例：(3 + 4) 5 - 6 就是中缀表达式- + 3 4 5 6前缀表达式3 4 + 5 6 -后缀表达式中缀表达式（中缀记法）中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的

2、值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。前缀表达式（前缀记法、波兰式）前缀表达式的运算符位于操作数之前。前缀表达式的计算机求值：从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如前缀表达式“- + 3 4 5 6”：(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），

3、计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 接下来是运算符，因此弹出7和5，计算出75=35，将35入栈；(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。将中缀表达式转换为前缀表达式：遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从右至左扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；(4

4、-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；(5) 遇到括号时：(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。例如，将中缀表达式“1+(2+3)4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底-栈顶)S1 (栈底-栈顶)说明55空数字，直接入栈

5、-5-S1为空，运算符直接入栈)5- )右括号直接入栈45 4- )数字直接入栈5 4- ) S1栈顶是右括号，直接入栈)5 4- ) )右括号直接入栈35 4 3- ) )数字+5 4 3- ) ) +S1栈顶是右括号，直接入栈25 4 3 2- ) ) +数字(5 4 3 2 +- ) 左括号，弹出运算符直至遇到右括号(5 4 3 2 + -同上+5 4 3 2 + - +优先级与-相同，入栈15 4 3 2 + 1- +数字到达最左端5 4 3 2 + 1 + -空S1中剩余的运算符因此结果为“- + 1 + 2 3 4 5”。后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）后缀表达式与前缀表达式类似，

6、只是运算符位于操作数之后。后缀表达式的计算机求值：与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如后缀表达式“3 4 + 5 6 -”：(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 将5入栈；(4)接下来是运算符，因此弹出5和7，计算出75=35，将35入栈；(5

7、) 将6入栈；(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。将中缀表达式转换为后缀表达式：与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从左至右扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再

8、次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；(5) 遇到括号时：(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。例如，将中缀表达式“1+(2+3)4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底-栈顶)S1 (栈底-栈顶)说明11空数字，直接入栈+1+S1为空，运

9、算符直接入栈(1+ (左括号，直接入栈(1+ ( (同上21 2+ ( (数字+1 2+ ( ( +S1栈顶为左括号，运算符直接入栈31 2 3+ ( ( +数字)1 2 3 + (右括号，弹出运算符直至遇到左括号1 2 3 + ( S1栈顶为左括号，运算符直接入栈41 2 3 + 4+ ( 数字)1 2 3 + 4 +右括号，弹出运算符直至遇到左括号-1 2 3 + 4 +-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-51 2 3 + 4 + 5-数字到达最右端1 2 3 + 4 + 5 -空S1中剩余的运算符因此结果为“1 2 3 + 4 + 5 -”（注意需要逆序输出）。编写Java程序将一个中

10、缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：注：(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。javaview plaincopy1.packageqmk.simple_test;2.import

11、java.util.Scanner;3.importjava.util.Stack;4./*5.*Exampleofconvertinganinfix-expressionto6.*PolishNotation(PN)orReversePolishNotation(RPN).7.*Writtenin2011-8-258.*authorQiaoMingkui9.*/10.publicclassCalculator11.publicstaticfinalStringUSAGE=usage=n12.+inputtheexpressions,andthentheprogram13.+willcalcu

12、latethemandshowtheresult.n14.+inputbyetoexit.n;15./*16.*paramargs17.*/18.publicstaticvoidmain(Stringargs)19.System.out.println(USAGE);20.Scannerscanner=newScanner(System.in);21.Stringinput=;22.finalStringCLOSE_MARK=bye;23.System.out.println(inputanexpression:);24.input=scanner.nextLine();25.while(in

13、put.length()!=026.&!CLOSE_MARK.equals(input)27.System.out.print(PolishNotation(PN):);28.try29.toPolishNotation(input);30.catch(NumberFormatExceptione)31.System.out.println(ninputerror,notanumber.);32.catch(IllegalArgumentExceptione)33.System.out.println(ninputerror:+e.getMessage();34.catch(Exception

14、e)35.System.out.println(ninputerror,invalidexpression.);36.37.System.out.print(ReversePolishNotation(RPN):);38.try39.toReversePolishNotation(input);40.catch(NumberFormatExceptione)41.System.out.println(ninputerror,notanumber.);42.catch(IllegalArgumentExceptione)43.System.out.println(ninputerror:+e.g

15、etMessage();44.catch(Exceptione)45.System.out.println(ninputerror,invalidexpression.);46.47.System.out.println(inputanewexpression:);48.input=scanner.nextLine();49.50.System.out.println(programexits);51.52./*53.*parsetheexpression,andcalculateit.54.*paraminput55.*throwsIllegalArgumentException56.*th

16、rowsNumberFormatException57.*/58.privatestaticvoidtoPolishNotation(Stringinput)59.throwsIllegalArgumentException,NumberFormatException60.intlen=input.length();61.charc,tempChar;62.Stacks1=newStack();63.Stacks2=newStack();64.Stackexpression=newStack();65.doublenumber;66.intlastIndex=-1;67.for(inti=le

17、n-1;i=0;-i)68.c=input.charAt(i);69.if(Character.isDigit(c)70.lastIndex=readDoubleReverse(input,i);71.number=Double.parseDouble(input.substring(lastIndex,i+1);72.s2.push(number);73.i=lastIndex;74.if(int)number=number)75.expression.push(int)number);76.else77.expression.push(number);78.elseif(isOperato

18、r(c)79.while(!s1.isEmpty()80.&s1.peek()!=)81.&priorityCompare(c,s1.peek()0)82.expression.push(s1.peek();83.s2.push(calc(s2.pop(),s2.pop(),s1.pop();84.85.s1.push(c);86.elseif(c=)87.s1.push(c);88.elseif(c=()89.while(tempChar=s1.pop()!=)90.expression.push(tempChar);91.s2.push(calc(s2.pop(),s2.pop(),tem

19、pChar);92.if(s1.isEmpty()93.thrownewIllegalArgumentException(94.bracketdosentmatch,missingrightbracket).);95.96.97.elseif(c=)98./ignore99.else100.thrownewIllegalArgumentException(101.wrongcharacter+c+);102.103.104.while(!s1.isEmpty()105.tempChar=s1.pop();106.expression.push(tempChar);107.s2.push(cal

20、c(s2.pop(),s2.pop(),tempChar);108.109.while(!expression.isEmpty()110.System.out.print(expression.pop()+);111.112.doubleresult=s2.pop();113.if(!s2.isEmpty()114.thrownewIllegalArgumentException(inputisawrongexpression.);115.System.out.println();116.if(int)result=result)117.System.out.println(theresult

21、is+(int)result);118.else119.System.out.println(theresultis+result);120.121./*122.*parsetheexpression,andcalculateit.123.*paraminput124.*throwsIllegalArgumentException125.*throwsNumberFormatException126.*/127.privatestaticvoidtoReversePolishNotation(Stringinput)128.throwsIllegalArgumentException,NumberFormatException129.intlen=input.length();130.charc,tempChar;131.Stacks1=newStack();