1、倍长中线法含答案专题2:倍长中线法【典例引领】例题:(2014黑龙江龙东地区)已知ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别作BDm于E,CFm于F。(1)当直线m经过B点时,如图1,易证EM=CF。(不需证明)(2)当直线m不经过B点,旋转到如图2、图3的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明。【强化训练】1、(2017黑龙江龙东地区)已知:AOB和COD均为等腰直角三角形,AOB=COD=90,连接AD,BC,点H为BC中点,连接OH。(1)如图1所示,易证OH=AD且OHAD(不需证明)(2)将COD绕点O旋转到图2
2、,图3所示位置是,线段OH与AD又有怎样的关系,并选择一个图形证明你的结论。2在ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合)过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当ABC=90时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CFAE|=2,EF=2,当POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长3.已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BD作垂线,垂足分别为点E、F,点
3、O为AC的中点。(1)当点P与点O重合时,如图1,易证OE=OF(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明。4如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)把图1中的正方形DEF
4、G绕点D顺时针旋转90,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由专题2:倍长中线法【典例引领】例题:(2014黑龙江龙东地区)已知ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别作BDm于E,CFm于F。(1)当直线m经过B点时,如图1,易证EM=CF。(不需证明)(2)当直线m不经过B点,旋转到如图2、图3的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明。【答案】(2)证明见解析【分析】图2,连接DM并延长交FC的延长线于K,可证DBMKCM,再利用三角形中位线即可得出结论。图
5、3同图2证明相同。【解答】(2)图2的结论为:ME=(BD+CF)图3的结论为:ME=(CF-BD)图2的结论证明如下:连接DM并延长交FC的延长线于K又BDm,CFmBDCFDBM=KCM又DMB=CMKBM=MCDBMKCMDB=CKDM=MK由易证知:EM=FKME=(CF+CK)=(CF+DB)图3的结论证明如下:连接DM并延长交FC于K又BDm,CFmBDCFMBD=KCM又DMB=CMKBM=MCDBMKCMDB=CKDM=MK由易证知:EM=FKME=(CF-CK)=(CF-DB)【强化训练】1、(2017黑龙江龙东地区)已知:AOB和COD均为等腰直角三角形,AOB=COD=9
6、0,连接AD,BC,点H为BC中点,连接OH。(3)如图1所示,易证OH=AD且OHAD(不需证明)(4)将COD绕点O旋转到图2,图3所示位置是,线段OH与AD又有怎样的关系,并选择一个图形证明你的结论。【答案】(2)证明见解析【分析】(1)只要证明AODBOC,即可解决问题;如图2中,结论:OH=AD,OHAD延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,由BEOODA即可解决问题;如图3中,结论不变延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于G由BEOODA即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,OAB与OCD为等腰直角三角形,AOB=COD=90,OC=OD,OA=OB,在A
7、OD与BOC中,AODBOC(SAS),ADO=BCO,OAD=OBC,点H为线段BC的中点,OH=HB,OBH=HOB=OAD,又因为OAD+ADO=90,所以ADO+BOH=90所以OHAD(2)解:结论:OH=AD,OHAD,如图2中,延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD由BEOODA,知EOB=DAODAO+AOH=EOB+AOH=90,OHAD如图3中,结论不变延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于G易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD由BEOODA,知EOB=DAODAO+AOF=EOB+AOG=90,AGO=9
8、0OHAD2在ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合)过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当ABC=90时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CFAE|=2,EF=2,当POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长【答案】(1)OF =OE;(2)OFEK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为或.【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明AOECOK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可
9、得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明ABEBCF,AOECOK,继而可证得EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OFEK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【解答】(1)如图1中,延长EO交CF于K,AEBE,CFBE,AECK,EAO=KCO,OA=OC,AOE=COK,AOECOK,OE=OK,EFK是直角三角形,OF=EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,ABC=AEB=CFB=90,ABE+BAE=90,ABE+CBF=90,BAE=CBF,AB=BC,ABEBCF,BE=CF,AE=BF,AOECO
10、K,AE=CK,OE=OK,FK=EF,EFK是等腰直角三角形,OFEK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PHOF于H,|CFAE|=2,EF=2,AE=CK,FK=2,在RtEFK中,tanFEK=,FEK=30,EKF=60,EK=2FK=4,OF=EK=2,OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,在RtPHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2,OP=.如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时,POF=PFO=30,BOP=90,OP=OE=,综上所述:OP的长为或.3.已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P
11、不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BD作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点。(3)当点P与点O重合时,如图1,易证OE=OF(不需证明)(4)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明。【答案】(2)图2中的结论为:CF=OE+AE,图3中的结论为:CF=OEAE,证明见解析【分析】(1)由AOECOF即可得出结论(2)图2中的结论为:CF=OE+AE,延长EO交CF于点G,只要证明EOAGOC,OFG是等边三角形,即可解决问题图3中的结论为:CF=OEAE,
12、延长EO交FC的延长线于点G,证明方法类似【解答】(1)AEPB,CFBP,AEO=CFO=90,在AEO和CFO中,AOECOF,OE=OF(5)图2中的结论为:CF=OE+AE图3中的结论为:CF=OEAE选图2中的结论证明如下:延长EO交CF于点G,AEBP,CFBP,AECF,EAO=GCO,在EOA和GOC中,EOAGOC,EO=GO,AE=CG,在RTEFG中,EO=OG,OE=OF=GO,OFE=30,OFG=9030=60,OFG是等边三角形,OF=GF,OE=OF,OE=FG,CF=FG+CG,CF=OE+AE选图3的结论证明如下:延长EO交FC的延长线于点G,AEBP,CF
13、BP,AECF,AEO=G,在AOE和COG中,AOECOG,OE=OG,AE=CG,在RTEFG中,OE=OG,OE=OF=OG,OFE=30,OFG=9030=60,OFG是等边三角形,OF=FG,OE=OF,OE=FG,CF=FGCG,OE=OF4如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)把图1中的正方形D
14、EFG绕点D顺时针旋转90,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由【答案】(1)CM=EM,CMEM,理由见解析;(2)(1)中的结论成立,理由见解析;(3)(1)中的结论成立,理由见解析.【分析】(1)延长EM交AD于H,证明FMEAMH,得到HM=EM,根据等腰直角三角形的性质可得结论;(2)根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上,根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可;(3)根据题意画出完整的图形,根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可【解答】(1)如图1,结论:CM=EM,CMEM理由:ADEF,
15、ADBC,BCEF,EFM=HBM,在FME和BMH中,FMEBMH,HM=EM,EF=BH,CD=BC,CE=CH,HCE=90,HM=EM,CM=ME,CMEM(2)如图2,连接AE,四边形ABCD和四边形EDGF是正方形,FDE=45,CBD=45,点B、E、D在同一条直线上,BCF=90,BEF=90,M为BF的中点,CM=BF,EM=BF,CM=ME,EFD=45,EFC=135,CM=FM=ME,MCF=MFC,MFE=MEF,MCF+MEF=135,CME=360-135-135=90,CMME(3)如图3,连接CF,MG,作MNCD于N,在EDM和GDM中,EDMGDM,ME=MG,MED=MGD,M为BF的中点,FGMNBC,GN=NC,又MNCD,MC=MG,MD=ME,MCG=MGC,MGC+MGD=180,MCG+MED=180,CME+CDE=180,CDE=90,CME=90,(1)中的结论成立
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