高等代数第7章习题参考包括答案docx.docx

1、高等代数第7章习题参考包括答案docx第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间 V 中， A, 其中 V 是一固定的向量；2）在线性空间 V 中， A其中 V 是一固定的向量；3）在 P 中， ；A4）在 P 中， A；5）在 P 中， A ；6）在 P 中， A 其中 P 是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，。A8）在 P 中， AX=BXC其中 B,CP 是两个固定的矩阵 .解 1)当0 时 , 是 ; 当0 时, 不是。2) 当0 时, 是 ; 当0 时 , 不是。3) 不是 . 例如当(1,0,0) ,k 2 时 , k A()(

2、2,0,0) , A (k ) (4,0,0) ,A(k)k A() 。4) 是 . 因取( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) , 有A() = A ( x1y1 , x2y2 , x3y3 )=( 2x12 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )=( 2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2 y3 , y1 )= A+ A，A(k)A ( kx1 , kx2 ,kx3 )(2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 )(2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 )=k A( ) ，故A 是 P 上的线性变换。

3、5) 是 . 因任取f (x)P x, g( x)P x , 并令u( x)f ( x)g( x) 则A( f (x)g( x) = A u( x) = u( x 1) = f (x 1) g( x 1) =A f (x) + A ( g(x) ，再令 v( x)kf (x) 则 A(kf ( x)A (v( x)v( x 1) kf (x1)k A( f (x) ，故 A 为 P x 上的线性变换。6) 是 . 因任取 f ( x)P x, g(x)P x 则 .A( f (x)g( x) = f ( x0 )g (x0 )A( f (x)A( g(x) ) ，Akf ( x0 )k A(

4、f (x) 。( kf ( x)7) 不是，例如取a=1,k=I ，则 A(ka)=-i , k(Aa)=i,A( ka) kA(a) 。8) 是，因任取二矩阵 X ,YPn n ，则AY)B( X Y )CBXCBYCAAY，( XX +A(k X )= B(kX )k( BXC )k A X ，故 A 是 P n n 上的线性变换。2. 在几何空间中, 取直角坐标系oxy, 以 A表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转90 度的变换, 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 , 以 C表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90度的变换，证明：A4=B

5、4 =C4 =E,ABBA,A2 B2 =B2A2 ，并检验 ( AB)2 =A2 B2 是否成立。解 任取一向量 a=(x,y,z) ，则有1) 因为a=(x,-z,y),2a=(x,-y,-z)，A3 a=(x,z,-y),A4 a=(x,y,z)，AAa=(z,y,-x),2a=(-x,y,-z)，B3 a=(-z,y,x),B4 a=(x,y,z)，BBCa=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)， C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z)，所以 A4 =B4 =C4 =E。2) 因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)， BA(a)=B(x,-z,y)=

6、(y,-z,-x)，所以 ABBA。3) 因为 A2 B2 (a)=A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)， B2A2(a)=B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以 A2 B2 =B2 A2 。3) 因为 ( AB)2(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2 B2 (a)=(-x,-y,z)，所以 ( AB)2A2 B2 。3. 在Px中， A f (x)f( x),B f ( x)xf ( x) ，证明 : AB-BA=E。证 任取 f ( x) Px ，则有( AB-BA) f ( x) =AB f ( x) -BA f ( x) =A(

7、xf (x) - B( f ( x) = f ( x) xf ; ( x) - xf ( x) = f ( x)所以 AB-BA=E。4.设 A,B 是线性变换，如果 AB-BA=E， 证明： Ak B-BAk =k Ak 1 (k1) 。证采用数学归纳法。当 k=2 时A2222B-BA =(AB-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a， 结论成立。归纳假设 km 时结论成立，即Am B-BAm = m Am 1 。则当 km 1时，有Am 1 B-BAm 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BAm 1 )=A m (AB-BA

8、)+(A m B-BA m )A=A m E+m A m 1 A=( m1) Am 。即 km 1 时结论成立 . 故对一切 k1结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证 设 A 是可逆变换，它的逆变换为 A 1 。若 ab，则必有ab，不然设b，两边左乘 A1 ，有 a=b，这与条件矛盾。AAAa=A其次，对任一向量b，必有 a 使 Aa=b，事实上 , 令 A 1b=a 即可。因此 , A 是一个双射。6. 设 1 ,2 ,n 是线性空间V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当 A1 ,A 2 ,An 线性无关。证 因 A(1 ,2 ,n )=( A 1 ,A2

9、 ,An )=(1 ,2 , n ) A，故 A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A1 ,A2 ,A n 线性无关，故 A 可逆的充要条件是A1,A2,An 线性无关 . 。7. 求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1)第 1 题 4) 中变换 A 在基 1 =(1,0,0),2 =(0,1,0),3 =(0,0,1)下的矩阵；2)o;1 ,2 是平面上一直角坐标系, A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影 , B 是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB 在基 1 , 2下的矩阵；3)在空间 Px n 中，设变换 A 为f ( x)f (x1)f (

10、 x) ，试求 A 在基i = x( x1)( xi1) 1(I=1,2,n-1)下的矩阵 A；i!4)六个函数1 =e ax cos bx ,2 =e ax sin bx ， 3 = x e ax cos bx ,4 = x e ax sin bx ，1 =1x 2 e ax cos bx ,1 =1 e axx2 sinbx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性22空间，求微分变换D在基i (i=1,2,6) 下的矩阵；5)已 知 P 3中 线性 变换A 在 基1 =(-1,1,1),2 =(1,0,-1),3=(0,1,1)下 的矩 阵是101110 ，求 A在基1 =(1,0,

11、0),2 =(0,1,0),3 =(0,0,1)下的矩阵；1216) 在 P3 中， A 定义如下：AAA123( 5,0,3)(0, 1,6) ，( 5, 1,9)其中123( 1,0,2)(0,1,1) ，(3, 1,0)求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵；7) 同上，求 A 在 1 , 2 , 3 下的矩阵。解 1) A 1 =(2,0,1)=2 1 + 3 ， A 2 =(-1,1,0)=- 1 + 2 ， A 3 =(0,1,0)= 2 ，210故在基1 ,2 ，3 下的矩阵为011。1002）取1 =（ 1， 0）， 2 =（ 0

12、， 1），则 A1 = 11+12 ， A 2 =11 +12 ，222211故 A 在基1 ，2 下的矩阵为 A=22。1122又因为 B1 =0，B 2 =2 ，所以 B 在基001 ， 2下的矩阵为 B=10，另外，（ AB） 2 =A（B 2 ）11+12 ，=A 2 =2201所以 AB在基21 ，2 下的矩阵为 AB=。0123）因为01,1x,2x( x 1) ,n 1x(x 1) x (n 2)，2!(n1)!所以 A 0110，A 1(x1)x0 ，L L L LA( x 1) x x (n 3)x(x 1) x (n 2)n 11)!(n1)!( nx( x 1) x (n

13、 3)= ( x 1) x (n 2) = n 2 ，0 10 1所以 A 在基 0 , 1 , , n 1 下的矩阵为 A= 。104）因为 D 1 =a 1 - b 2 ,D 2 =b 1- a 2 , 6 ，D 3 = 1 +a 3 - b 4 ,D 4 = 2 +b 3 +a 4 ,D 5 = 3 +a 5 - b 6 ,D 6 = 4 +b 5 +a 6 ，ab1000ba010000ab10所以 D 在给定基下的矩阵为 D=0ba00 。010000ab0000ba1105）因为 (1 ,2 ,3)=(1 ,2 ， 3 )101，所以111111( 1, 2 ， 3 )=(1 ,2

14、 ,3 )011=(1 ,2 ,3 ) X，101故 A 在基1 ,2 ，3 下的矩阵为110101111112B=X 1 AX=101110011=220 。1111211013021036）因为 (1 ,2 ,3)=(1 ,2 ， 3 )011，210103所以 A(1 ,2 ,A,2，3 )011,3 )= ( 1210505但已知 A(1 ,2 ,3 )=(1 , 2 ， 3 )011，369505103故 (,2 ， 3 )=(1 ,2 ， 3 ) 0110111A 1369210133505777=( 1 , 2 ， 3 ) 01126177736921177752020777=(

15、1 ,2 ， 3 )452 。7772718247771037）因为 (1 ,2 ， 3 )=(1 ,2 ,3 )0111 ，210103505所以 (1 ,2 ,3 )=(1 ,2 ,3 )0111011A210369235=( 1 ,2 ,3 )1 01。1108在 P 2 2中定义线性变换 A1ab( X)=dcX, A2ab2 ( X)=abab( X)= X, AcXc,cddd求A1 , A 2 , A 3 在基 E11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵。解 因 A1 E11 =a E 11 +cE12 , A 1 E12 =a E 12 +c E 22 ,A1

16、E 21 =bE11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 ,a0b0故 A1 在基 E11 , E 12 , E 21 , E下的矩阵为 A10a0b22=0d。c00c0d又因 A2 E11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E12 = c E11 +dE12 ,A2 E21 = a E21 +bE22 , A 2 E22 = cE 21 +d E 22 ,ac00故 A2 在基 E11 , E 12 , E21 , E 22 下的矩阵为 A 2bd00=0a。0c00bd又因 A3 E11 = a 2 E11 +abE12 +acE21 +bcE

17、22 ，A3 E12 = acE11 +adE12 +c 2 E 21 +cdE 22 ，A3E21= abE+b2 E+adE21+bdE22，1112A3E22= bcE+bdE12+cdE21+d 2 E22，11a2acabbc故 A3 在基 E11 , E12 , E21 , Eabadb2bd22下的矩阵为 A3c 2ad。accdbccdbdd 29.设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为a11 a12 a13A= a21 a22 a23 ，a31 a32 a331)求 A 在基 3 , 2 , 1 下的矩阵；2)求 A 在基 1, k 2 , 3 下的矩阵，其中且；3) 求 A 在基 12,2 , 3 下的矩阵。解 1) 因 A 3 = a33 3 +a 23 2a13 1 ，A 2 = a32 3a22 2a12 1 ，A 1 = a31 3a21 2a11 1 ，