中考数学复习 压轴题训练 专题四 三角形四边形存在性问题 答案.docx

1、中考数学复习 压轴题训练 专题四 三角形四边形存在性问题 答案2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题4：三角形四边形存在性问题 1. （2012黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别 2与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）。 （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；

2、若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BFx轴于F， 在RtBCF中 2BCO=45，BC=12，CF=BF=12 。 C 的坐标为（18，0），AB=OF=6。 点B的坐标为（6，12）。 （2）过点D作DGy轴于点G， 2OD=2BD，OD=OB。 3ABDG，ODGOBA 。 DGODOG2 ，E（0，4）。 ，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8） ABOBOA3设直线DE解析式为y=kx+b（k0） 4k b 8k 1 ，解得。直线DE解析式为y=x+4。 b 4 b 4 - 1 - （3）结论：存在。 2222点Q的坐标为：（2 ，2 ），（2 ，2 ）

3、，（4，4），（2，2）。 【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。 【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。 （2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标构造ODGOBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。 （3）如图所示，符合题意的点Q有4个： 设直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F， 2则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。 菱形OEPQ，此时OE为菱形一边。 11 2则有PE=PQ=OE=4，

4、PF=EFPE=44。 11111易知PNF为等腰直角三角形， 1 2 2PN=NF=PF=42。 112 22设PQ交x轴于点N，则NQ=PQPN=4（42）=2。 111111 222又ON=OFNF=2，Q（2 ，2）。 1 22菱形OEPQ，此时OE为菱形一边。此时Q与Q关于原点对称，Q（2，2）。 22212菱形OEQP，此时OE为菱形一边。 33此时P与点F重合，菱形OEQP为正方形，Q（4，4）。 3333菱形OPEQ，此时OE为菱形对角线。 44由菱形性质可知，PQ为OE的垂直平分线， 44由OE=4，得P纵坐标为2，代入直线解析式y=x+4得横坐标为2，则P（2，2）。 44

5、由菱形性质可知，P、Q关于OE或x轴对称，Q（2，2）。 444综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为： 2222Q（2，2），Q（2，2），Q（4，4），Q（2，2）。 1234 2. （2012黑龙江绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G - 2 - 处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4） （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M， 使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？

6、 若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。 四边形ABCD为矩形，B=90。 2222 3BG FG FB 2 1 3。G点的坐标为（3，4）。 （2）设直线EF的解析式是y=kx+b， FB1c osB FG 在RtBFG中，BFG=60。 FG2 33AFE=EFG=60。AE=AFtanAFE=2tan60=2。E点的坐标为（0，42）。 又F点的坐标是（2，4）， k 3b 4 23 y 3x 4 23， 解得。直线EF的解析式为。 2k b 4b 4 23 3 431 431+43 3， 3， 8 3， （3）存在。

7、M点的坐标为（），（ ）。 ），（333【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，则在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。 （2）由题意，可知AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。 （3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M、N、F、G

8、为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以 - 3 - 下情形： FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。 过M点作MHx轴于点H，易证MHNGBF， 1111 33MH=GB=，即y=。 1M1 3 43 x y 3x 4 23由直线EF解析式，求出。 M13 3 43 3， M（）。 13FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。 1 43 ， 3仿照与相同的办法，可求得M（）。 23FG为平行四边形的对角线，如图3所示。 过M作FB延长线的垂线，垂足为H易证MFHGNC， 333 33则有MH=CG=4，所以M的纵坐标为8。 33 1+43代入直线EF解析

9、式，得到M的横坐标为。 33 1+43 ， 8 3M（）。 33综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为： 3 431 431+43 3， 3， 8 3， M（） ）（，M（。 ），M123333 3. （2012大兴安岭）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边0A、08分27x+12=0的两根(OA0B)，动点P别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒 (1)求A、B两点的坐标。

10、(2)求当t为何值时，APQ与AOB相似，并直 接写出此时点Q的坐标 (3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使 以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存 在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由 2【答案】解：（1）由x7 x +12=0解得x=3，x=4。 12 - 4 - OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。 由题意得，AP=t, AQ=52t 。分两种情况讨论： 当APQ=AOB时，如图1，APQAOB。 t5 2t152018APAQ ，即 解得 t= 。Q（， 。 ） 3

11、5111111AOAB当AQP=AOB时，如图2， APQABO。 t5 2t1230APAQ25 ，即 解得 t= 。Q（ ， 。 ） 531313ABAO134224248 ， （3）存在。M（。 ）， ， M，M）123 555555【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，结合OAOB即可求出A、B两点的坐标。 （2）分APQ=AOB和AQP=AOB两种情况讨论即可。 412（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（， ）。 55 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 当AQ为对角线

12、时，点M的横坐标与点Q的横坐标相同，1 4221222+2=纵坐标为。M（， 。 ）1 5555当PQ为对角线时，点M的横坐标与点Q的横坐标相同， 212242 2=。M（纵坐标为， 。 ）2 5555当AP为对角线时，点Q、M关于AP的中点对称。 3由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。 44412128482 0 = 2 2 = ， 由Q（的横坐标为，纵坐标为。M（。 ）， ）得M33 55555555综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为 4224248 ， （。 ）， ， ）或（）或（ 555555 4. （2012湖北襄阳）如图，在

13、矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立2平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点 （1）求AD的长及抛物线的解析式； - 5 - （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行

14、四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。 由折叠的性质得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。 由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。 222设AD=x，则BD=CD=8x，由勾股定理，得x+4=（8x），解得，x=3。 2AD=3。抛物线y=ax+bx+c过点D（3，10），C（8，0）， 2 a= 9a+3b=10 216 32y x x，解得。抛物线的解析式为：。 64a+8b=01633 b= 3 （2）DEA+OE

15、C=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE， 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。 CQCPt10 2t40 t ，即，解得。 当PQC=DAE=90，ADEQPC， EAED4513PCCQ10 2tt25 t 当QPC=DAE=90，ADEPQC，即。 ，解得 AEED4574025t 当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似。 137（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M（4，32），N（4，38）； 111432M（12，32），N（4，26）；M（4，），N（4，）。 2233 33【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题

16、，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股 - 6 - 定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。 【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，CEDCBD，在RtCEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在RtAED中，AD=ABBD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 （2）由于DEC=90，首先能确定的是AED=OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似，那么QPC=90或PQC=90，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。 （3）假设存在符合条件的M、

17、N点，分两种情况讨论： EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。 162322322 2x x 4 y x 。 得抛物线顶点，则：M（4，）由 3333314平行四边形的对角线互相平分，线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，）。 3 EC为平行四边形的边，则ECMN， 设N（4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）； 将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38， 此时 N（4，38）、M（4，32）； 将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26， 此时 N（4，26）、M（12，32）

18、。 综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M（4，32），N（4，38）； 111432M（12，32），N（4，26）；M（4，），N（4，）。 2233 3322 5 （2012湖南娄底）已知二次函数y=x（m2）x2m的图象与x轴交于点A（x，0）1111+=和点B（x，0），xx，与y轴交于点C，且满足 212 xx212（1）求这个二次函数的解析式； （2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由 - 7 - 22【答案】解：（1）二次函数y=x（m2）x2m的图象与x轴交于点A（x，0）和1点B（x

19、，0），xx， 212222令y=0，即x（m2）x2m=0 ，则有：x+x=m2，xx=2m。 12122x+x11m 11212+=，化简得到：m+m2=0，解得m=2，m=1。 12 xxxx 2m2121222 当m=2时，方程为：x2x+4=0，其判别式=b4ac=120，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去； 22 当m=1时，方程为：x+x2=0，其判别式=b4ac=90，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。 2m=1。抛物线的解析式为y=x+x2。 （2）存在。理由如下： 假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。 如图所示，连接PAPB

20、ACBC，过点P作PDx轴于D点。 2抛物线y=x+x2与x轴交于AB两点，与y轴交于C点， A（2，0），B（1，0），C（0，2）。 OB=1，OC=2。 PACB为平行四边形，PABC，PA=BC。 PAD=CBO，APD=OCB。 在RtPAD与RtCBO中， PAD=CBO ，PA=BC，APD=OCB ， RtPADRtCBO（AAS）。 PD=OC=2，即y=2。 P - 8 - 直线解析式为y=x+3，x=1。P（1，2）。 P在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（1，2）。 【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的

21、关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。 （2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。 xoy 6. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）

22、、C（ ， ）；并求经过A、B、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由 3【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0） y=ax+1x 3a 0可设过A、B、C三点的抛物线为 。 - 9 - 3 a= 33=a0+

23、10 3。 又C（0，）在抛物线上，解得3 3323 2 x+3y= x+1x 3y= x+。 经过A、B、C三点的抛物线解析式 即333OCOE （2）当OCEOBC时，则。 OBOC 3x 1 3 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 33 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。 又CEM=60， MEB=60。 23b3= =1x= 对称。 点C与点M关于抛物线的对称轴 2a 32 3 33C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0）， 3MN=。 EN=1。 2 222

24、EM EN MN 1+3 2 。 若PEM为等腰三角形，则： )当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 3）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 23 ) ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，3 23 3综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时， 3EPM为等腰三角形。 【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。 - 10

25、- 【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。 （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。 7. （2012福建福州13分）如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运

26、动时间为t秒(t0) (1) 直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_ (2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； (3) 如图，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长 4【答案】解：(1) QB82t，PDt。 3 (2) 不存在。理由如下： 在RtABC中，C90，AC6，BC8， AB10。 ADAPADt5 PDBC， APDACB。 ，即：， ADt。 ABAC10635 BDABAD10t。 3 BQDP， 当BQDP时，四边形PDBQ是平

27、行四边形。 41282tt，解得：t。 351241216512当t时，PD，BD106， DPBD。 535535 - 11 - PDBQ不能为菱形。 45设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ8vt，PDt，BD10t。 33要使四边形PDBQ为菱形，则PDBDBQ， 4510当PDBD时，即t10t，解得：t。 333104101016当PDBQ时，t时，即8v，解得：v。 33331516要使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，点Q的速度为单位长度/秒。 15 (3) 如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。 依题意，可知0t4。 当t0时，点M的坐标为(3，0)； 1当t4时，点M的坐标为(1，4)。 2设直线MM的解析式为ykxb， 123kb0k2 ，解得：。 kb4b6 直线MM的解析式为y2x6。 12点Q(0，2t)，P(6t，0)， 6t在运动过程中，线段PQ中点M的坐标为(，t)。 326t6t把x，代入y2x6，得y26t。 22点M在直线MM上。线段PQ中点M所经过的路径长即为线段MM。 31212过点M作MNx轴于点N，则MN4，MN2。 2221 MM25。 12 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度。 【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，一次函数综合题，勾股定理，菱形的判定和性质 - 12 -