平面向量复习课公开课教学设计.docx

1、平面向量复习课公开课教学设计2.4.3 平面向量复习课公开课教学设计教材说明人教B版必修4第二章第四节课型复习课课时1 课时 学情分析学情分析是教学设计中重要因素之一 . 认真研究学生的实际需要、能力水平 和认知倾向，可以优化教学过程，更有效地达成教学目标，提高教学效率 . 我在教学中把了解学生的兴趣、动机作为分析学情切入点 .一、了解学生的兴趣、动机动机是激励人去行动， 以达到一定目的的内在因素； 而动机又产生于人的兴 趣和需要 .课堂教学的对象是活生生的学生， 学生是学习的主人， 教会学生学习， 是教学活动的核心，教学要获得成功，就要认真分析，了解学生的心理需求，想 方设法启动学生的内驱力

2、， 并采取各种有力措施， 把学生的兴趣和需求纳入合理 的轨道，以调动学生的学习积极性， 将外在的教学目标系统转换为学生的心理需 要，成为学生的学习目标， 使学生由“要我学”转变为“我要学”， 只有当学生 对所学的内容产生了兴趣， 形成了内在的需要和动机， 他才能具有达成目标的主 动性，教学目标的实现才有保证 . 如对概念的复习有多种方法，让学生复述定义 是常见的形式， 不过这样做会使学生失去兴趣， 把定义复述变为填空题， 可以提 高学生学习兴趣 .二、分析学生的知识能力水平本课是平面向量的复习课， 学生应该掌握平面向量概念， 三角形重要性质（重 心，外心，内心，垂心性质）. 能够根据平面向量运

3、算规律 .向量共线与分解知识 . 在教学中发现， 学生对向量的基本概念掌握比较好， 也能够正确应用公式进行运 算，不过对向量共线以及向量分解把握不准 .三、认知倾向或认知风格分析高二 5 班大多数学生认知风格表现为场独立型； 高二 6 班学生大多数认知风 格属于场依存型， 教学活动中， 结合考虑两班学生不同的认知倾向， 根据学生的 认知差异改进教学法方法和教学策略， 调整教学内容和教学目标， 努力做到因材 施教. 如对六班学生，注意培养其独立思考的能力；对五班学生，注意培养其有 条理地、细心地分析问题、解决问题的能力等 . 在问题深化环节组织研究学习小 组时，我根据学生情况， 将具有不同认知倾

4、向的学生组合在一起， 让他们在小组 学习中，依据各自不同的特点去研究分析问题，相互取长补短 . 以便于他们更深 入、全面地分析问题、解决问题 . 同时，这样做，不同认知倾向的学生相互影响， 也有助于对学生认知倾向的培养调整 .教学内容分析一、教学主要内容向量是代数研究对象，也是几何研究对象，因此它是沟通代数、几何、三角 函数的一种工具 . 向量是既有大小又有方向，与数量不同的量，因而在解决有关 向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等各种变换，正确 进行向量各种运算；二是向量坐标运算体现了数与形互相转化的思想 . 本课主要 内容为：三角形的“四心”与向量例 1，例 2，例 3，

5、例 4；向量与解析几何：例 5，例 6；利用向量的坐标运算，解决两直线夹角，判断两直线平行，垂直问题： 例 7 ，例 8；利用向量的坐标运算解决有关线段的长度问题：例 9；利用向量的 坐标运算，用已知向量表示未知向量：例 10，例 11；利用向量的数量积解决有 关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线 到线的距离，线到面的距离，面到面的距离 . 例 12；向量与轨迹方程的综合例 13； 向量与数列的综合例 14二、教材编写特点 教材的编写体现了知识形成的过程，目的是让学生经历将实际问题抽象成 数学模型并予以解决和应用的过程， 为学生能在探索、 发现的活动中建构数学

6、知 识创造条件，所以教学中要充分发挥学生的主观能动性三、教材内容的数学核心思想 数形结合思想，化归转化思想教学目标知识与技能：向量概念与运算法则，向量的分解过程与方法： 通过实例引导学生把向量作为沟通代数与几何的桥梁， 培养学 生分析问题，解决问题的能力 .情感态度与价值观：在向量综合运用的过程中，渗透数形结合与等价转化思 想，培养学生思维的深刻性与广阔性 .教学的重点和难点重点：向量的综合应用难点：用向量知识进行代数几何转化 教学策略选择与设计一、在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何 问题中的几何元素和几何关系用向量表示， 然后选择适当的基底向量， 将相关向 量表示为

7、基向量的线性组合， 把问题转化为基向量的运算问题， 最后将运算的结 果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题 .二、 二、向量是数形结合的载体，在本课中，一方面通过数形结合来研究向量 的概念和运算； 另一方面， 我又以向量为工具， 运用数形结合的思想解决数学问 题. 同时向量的坐标表示为用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了研究问 题的范围和手段 .三、以选择、 填空题型考查本章的基本概念和性质， 这类题一般难度不大， 用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题 .四、以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大， 以解决几何问题为主 . 在学习

8、本章时应立足于课本， 掌握双基，精读课本是关键 . 教学资源资源：三角板，圆规，粉笔，教材手段：多媒体辅助教学，形象直观教学过程设计教 学 环 节教学过程师生活动设计意图、基本概念：1.向量：既有 又有前五道题比较简的量.几何表示法AB， a ;坐标表单找个别学生回忆用习题带知并口述填空，必要时识点，提高学生示法 a =xi +yj =(x, y).让学生集体补充.学习兴趣向量的的模即向量的大小，记作T T| a|或| | AB |.2.零向量： 的向量，记为它的方向 ，规定它与任何向知量识3.单位向量： 的向占量.梳4.平行向量（共线向量）：方教师利用基线理向相同或相反的非零向量引导学生回忆

9、向量5.相等向量共线条件教师强调：由于一般情况下研究的以学生熟悉 的知识为载体，二、向量的基本运算：向量是自由向量，所米用归纳的方向量的线性运算：加法、减以向量平行或共线法，引导学生对 比、思考，从而法及数乘向量的综合运算：等价.不过基线（直顺理成章的完成1.向量求和的三角形法则：线）平行与共线不等问题价.向量共线等价于2.向量求和的平行四边形法两向量的基线平行则：或重合.3.向量求和的多边形法则：教师：利用向量 运算法则引导学生 发现：在MBC中AB + BC = AC（加）或A-A = BC （减）称AABC为向量三角 形；推广可有AA2 + +，称 AA2AnA 为封闭折线.结论：证明三

10、角 形的三条中线交于 一点，且这点把三条 中线都分成2 ： 1的 两条线段An A1 = 0打破学生的 定义形式上的轻 视，拓展思维宽 度，活跃课堂气 氛4.向量减法法则：5.数乘向量的定义：实数入和向量a的乘积是一个向量，记作 ：;其长为 ；其方向为 ；数乘向量的几何意义是：向量加法满足下列运算律：（1）加 法交换律： （2）加法结合律：数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）向量共线的条件：平行向量基本定理）向量a与T T Tb（b式0）平行（即共线）则存在唯一实数扎满足特别地，三点A、B、C共线U AB 、AC .平面向量的坐标运算：若a,b是一组单位正交基底，则称（扎門是向量c在基底

11、a,b下的坐标，记作c =（九,4）.在平面直角坐标系下：设a=（aa2）,b =4,鸟），则有:a +b =a b =ha =向量是近代f * f f数学中重要和基a b（b 式 0） u向量的数量积：以一正三角形来本的数学概念之结论4两个向量的数量积为复习两向量夹角的一，它是沟通代i T if 厂知识，这既是对前面数、几何与三角a b = a b cos。，其中日=fa,br /知识的巩固，又是对函数的一种工为两个向量的夹角，其范围为本节内容作的很好具，有着极其丰-准备富的实际背景.夹角公式cos日二歸二教师提问：强调向量的坐标表剛b|两个向量的数量积示,实际是向量（坐标形式）：不是一个向

12、量，而是的代数表示.|a | =航=一个实数在这里有个（坐标形式）：对于实数来说都有常见思维误区：a b = 0= a 丄 b =哪些运算律？不能正确理解向:（坐标形式）考虑一下这些规律量夹角的定义，数量积的运算律：对向量的数量积成两个向量夹角的立吗？为什么？定义是指同一点（1）父换律： ：（2）数乘律： ：最后归纳出：数量积出发的两个向量的运算规律所构成的较小的（3）分配律：非负角.典一、二角形的“四心”与向量例集锦1.关于重心G,有重心公式：彳OG = （OA +0B +0C）3xa +xb +xc yA + yB +yc、G（ c ， c ），3 3并有性质GA + GB + GC =

13、0 ;2.关于垂心H,有性质HA HB = HB HC = HC HA ;3.关于外心0,有性质 |OA|OB|=|OC| ；结论：O H G三点共线且OH =30G ;此线称为欧拉（Euler ）线.（如何证明？）4.关于内心1，经常涉及内角 平分线的研究，如AB 丄 AC、Al _ 人（一+ .）.|AB| |AC|例1：已知O, N, P在AABC所在平面内，且OA =|OB = OC , NA + NB +NC =0 ,且 PAPB=PBPC = PCPA , 则点O, N, P依次是MBC的（A） 重心外心垂心（B） 重心夕卜心内心（C） 外心重心垂心（D） 外心重心内心例2:在四边

14、形ABCD中教师提出问题， 学生回答，复习公式教师完善教师给出例题， 学生回答，教师指导学生说出“四 心”及相应特点，分 析例题，小组间可以 简单讨论通过复习公 式，加深对公式 的记忆，为下列 例题做铺垫通过例题，让 学生更好地理解 三角形的“四 心”与向量知识 的综合应用，进 步加深对相关 公式的理解，灵 活运用公式AB =DC = (1, 1),1 _ 1 3 _BA + “BC = 兰BD ,BA BC BD则四边形ABCD勺面积是例3:设斜 ABC的外接圆圆心为O两条边上的高的交点uLo；a;，则P的轨迹一定通过ABC 的（）A、外心 B 、内心C、重心 D 、垂心二、向量与解析几何例

15、5:在解析几何中，熟练掌 握下列结论，有助于更好地运用向 量：（1） A、B C三点共线等价于存在 实数1 ,使得OCOAOB（： ： =1）；（2） 厶ABC的重心G的坐标公式为1 JOG =】OA OB OC 3（3） 直线的方向向量是什么？ 给定两点：R (Xi, % ), P2 My )，那 么RP2 = (x2 -凶，y2 - )，这也就是 方向向量，横坐标单位化，得： (1,tana )，也就是说：直线Ax +By +C =0的方向向量是(B,-A )，直线的法向量是(A,B).例:6 :已知O为坐标原点，点 E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0), 点A、P、Q运动时，满足T

16、 T T TAE =2EF , AQ =QF ,PQ ”AF =0, AP/ Ep(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设M、N是轨迹C上的两点， 若OM +2ON =3OE，求直线 MN的 方程三、禾U用向量的坐标运算，解 决两直线的夹角，判定两直线平 行、垂直问题例7：已知向量OP1,oR2,OR3满口一， T T T T足条件 OP1+OP2+OP0，T T TOR = OP2 = OP3 =1，求证：也PBB是正三角形解：令O为坐标原点，可设教师给出例题，学生分析解答学生讨论、动手 操作、思考问题并回 答算是常考的知识 点,运用向量方 法解决解析几何 的有关知识，有 时候显的非常方 便.

17、通过平面向 量的坐标运算， 我们可以培养学 生的归纳、猜想、 演绎能力，通过 代数方法解决几 何问题,提高学 生用数形结合思 想解决问题的能 力.R(cosq，:P2 (cos 日 2,P3(co3,由 OP1+OP2+OP3 二(cos,sin )+(cow=(cos日3 sin&3 )cos 3 + cos 02 = -csin 0+s in 02 =-sir两式平方1 + 2 cos 0 - 0cos 0 0由此可知q -82的J0 T T120，即 OR 与 OF同理可得OF与OP3的夹角为OP2与OP3的夹角:这说明RRR三点个单位圆上，所以ARBR为等腰例8：求等腰直 直角边上的中

18、线所成 数解：如图，分 别以等腰直 己角三角形的 &，两直 角边为 sinq ) sin 日2 ) sini3 )=0，即旳2 ,sin 日2 )OS 0 1 03和为2 )+1=1，)=-2，最小正角为、2夹角为1200，为 1200，为 1200，均匀分部在一三角形苴角三角形中两 贞的钝角的度分组完成并进行 演示评价观察图象回忆相 关公式通过练习使 学生进一步体会 几何与向量的关 系，认识到数形 结合的重要性 同时让学生在总 结中提升自己解 题的能力两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设A2a,0,B 0,2a，则 D a,0,C0,a ,从而可求：AC = -2a,a ,BD = a,-

19、2a ,co -2a，a 久一羽=P5a 忑a4a2 _ 45a2 5( 4)e = arccos - .I 5丿四、利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例9：已知 ABC，AD为中线，求证 AD2 =(AB2 +AC2 )f2 2)证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐设A(a，b)C(c，0), D2,0)则标系AD2 cC 2=_ a i +(0b)J 2 2-ac a b2=a2 +b2 -ac +乞4从而I AD |2 二五、利用向量的坐标运算，用 已知向量表示未知向量例10:已知点O是学生自习分析并画出图形ABC内的一点，AOB =150， BOC =9

20、0，充分体现教 师主导作用和学 生主体作用相统 一，体现教学的 直观性和启发 性.* T T T 设OA =a,OB =b,OC =c,且 a = 2,耳=1, c = 3,试用f * Ta,禾口 b表示c解：以O为原点，OC OB所在的直 线为x轴和y轴建立如图所示的坐 标系.由 0A=2 ZAOx =120，所以结合向量来解决A2cos120,2sin1200，即A -1, ,3 ,易求 B0,-1 , C3,0，设OA = QB ，2 OC，即-1, 3 = 0,-1 2 3,0：-1 =3妬 3 =-九i133-A例11:如图，OATOB =1，:OA, OB 120，用 OA,OB

21、表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在 的直线为x轴，建立如图所示的直 角坐标系，则 A1,0，由 COA =30引导学生思考后 回答配合教师板演训练学生对 图形的运用，渗 透转化思想，培 养学生严谨的思 维品质，有利于 学生对向量的理 解.所以 C(5cos30,5sin30 )即 c(5*3,5)2 2同理可求B 一1,3I 2 2丿OC Ol+嘉 OB，即(座,5)=肋(1,0) + 九 2,)2 2 2 25/3 1 ： 103 2 2 , 3 .|5 的、 L 5运i 一 = -心 i 人2 = 2 2 13 10、；3 5丁3 :、OC = OA+亠OB.3 3六、利用向量的数量

22、积解决有 关距离的冋题，距离冋题包括点到 点的距离，点的线的距离，点到面 的距离，线到线的距离，线到面的 距离，面到面的距离例12:求平面内两点A(%, yj, B(X2, y2)间的距离公式解：设点 A(X1，yJ, Bgy)，AB =化-兀皿-yjAB |= J(X2 X1)2 +(y2 yj2 ,T而| AB冃AB |二点A与点B之间的距离为：1 AB L J(X2 -X1)2 +(y2 -yj2由学生证明并得出结论从知识和体 验入手总结本节 课内容，得到提 高和巩固，使学 生深切体会本节 内容从而实现再 次深化.Mb 例13:设XJERiJ为直角探究思路：引许多几何问坐标平面内轴正方向

23、上的单位导学生分析神题，用向量来解的几何意义.决显得简捷方向量.若向量说+0 + 2”，便在教学过程求出M点的轨迹Q拧十（-折，且酣阡8A .2中，引导学生不方程12 16断体会，最终能（1）求点M（和）的轨迹方程； op=ai+aS 四熟练应用向量来（2）过点（0，3）作直线/与曲线边形如8是平行四证明两直线平C交于人B两点，设OP = OAWB，边形；行、垂直、两直若倔是矩形，则线夹角，利用向是否存在这样的直线！，使四边形oi厢胡二冲血+加=o量得到定比分点问0媲是矩形.若存在，求出/方程；在教师的引导公式，两点距离题若不存在，请说明理由.公式，平移公式，下，学生自主探索如深下问题：正余弦

24、定理等，化例14：已知两点MPLOLMIffi，由M, NtP三点坐标同时在教学中注w 4 亠 4 life 斗意向量与三角函点P使MP PN,丽 NP成公表示上述向量.数、复数、数列、差小于零的等差数列.由解几的综合应（1）点F的轨迹是什么曲线；用.（2）若点P的坐标是（阳必）初为是公差小于零的等差数列等价于顷与旳的夹角，求就3.9 o为提高学生X2 +y2 =3 0课堂学生自主分P点轨迹是以原点为析、探究，教者圆心，原点为半径的适时点拔圆巩1.在下列各命题中为真命题固的是（）不同层次的练 若 a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，学生都可以获得习成功得到喜悦，贝 U a b

25、=xy+X2y22若 A(xi,yi)、B(X2,y 2),则丨AB | = J(xi X2)2 +(yi y2)23若 a=(xi,y 1)、b =(X2,y 2), 贝U a b =0= xiX2+yiy2=04若 a =(x i,y i)、b =(x 2,y 2),、 1贝U a 丄 b = xiX2+yiy2=0A、 B 、C、 D 、2.已知 a =( w3 , i), b=(i, 石)，那么a , b的夹角 0 =()A、30 B 、60C i20 D 、i503.已知 a=(2,i), b=(i,3),若存在向量c使得：a c=4, b c = 9,试求向量c的坐标、4.求向量a

26、 =(1,2)在向量b=(2 , 2)方向上的投影教师：巡回指导， 纠正错误，师生共同 确定问题的答案 学生：独立思考，培 养独立学习的习惯看到自己的潜 能.从而激发学 生饱满的学习兴 趣，促进学生自 主发展，合作探 究的学习氛围课后 小 结1.在本课中我们复习了哪些与向量有关的公式？2.向量在代数或几何中有哪些应用？3你们对本课哪些内容还有困惑？作业必做题：Pi26巩固提高 选做题：P127自测与巩固A课后教学反思一、 优势在教学中，高二五、六这两个班学生，通过前面学习，大部分学生的知识基础 和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握 本节内容，30%的学生在

27、课堂上能够跟上我的思路，通过讲解,也能很快掌握，30% 的学生勉强能跟上我的思路，但需要时间消化，剩下20%勺学生,如果不预习课本 基本上上课很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟的上.二、 不足1.教学教法方面一方面学生在接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就很难把握的好 一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识，难度很大，同时, 一味地赶进度，带来的直接后果就是学生学而不精，对深层的问题，没有实质性的 认识,只会死记公式，做原题,对于变形题目，学生仍然无从下手2.对学生能力估计不足在课堂教学之前，做为教师,我应该对学生有个充分的估量，在这些容易错的 地方,学生会出现那些错误，学生会用什么方法解决此题，我应该事先有个充分的 估量,不至于课堂教学中，出现我没预料到的情况，造成教学的被动3.应鼓励学生自主探索、自主学习在问题深化过程，本意很想让学生自主探索，自主学习，但在实际操作过 程中，由于师生配合不是特别的默契，没有完全把学生的意图彻底弄透， 甚至最 后时间都有紧