1、平面向量复习课公开课教学设计2.4.3 平面向量复习课公开课教学设计教材说明人教B版必修4第二章第四节课型复习课课时1 课时 学情分析学情分析是教学设计中重要因素之一 . 认真研究学生的实际需要、能力水平 和认知倾向,可以优化教学过程,更有效地达成教学目标,提高教学效率 . 我在教学中把了解学生的兴趣、动机作为分析学情切入点 .一、了解学生的兴趣、动机动机是激励人去行动, 以达到一定目的的内在因素; 而动机又产生于人的兴 趣和需要 .课堂教学的对象是活生生的学生, 学生是学习的主人, 教会学生学习, 是教学活动的核心,教学要获得成功,就要认真分析,了解学生的心理需求,想 方设法启动学生的内驱力
2、, 并采取各种有力措施, 把学生的兴趣和需求纳入合理 的轨道,以调动学生的学习积极性, 将外在的教学目标系统转换为学生的心理需 要,成为学生的学习目标, 使学生由“要我学”转变为“我要学”, 只有当学生 对所学的内容产生了兴趣, 形成了内在的需要和动机, 他才能具有达成目标的主 动性,教学目标的实现才有保证 . 如对概念的复习有多种方法,让学生复述定义 是常见的形式, 不过这样做会使学生失去兴趣, 把定义复述变为填空题, 可以提 高学生学习兴趣 .二、分析学生的知识能力水平本课是平面向量的复习课, 学生应该掌握平面向量概念, 三角形重要性质(重 心,外心,内心,垂心性质). 能够根据平面向量运
3、算规律 .向量共线与分解知识 . 在教学中发现, 学生对向量的基本概念掌握比较好, 也能够正确应用公式进行运 算,不过对向量共线以及向量分解把握不准 .三、认知倾向或认知风格分析高二 5 班大多数学生认知风格表现为场独立型; 高二 6 班学生大多数认知风 格属于场依存型, 教学活动中, 结合考虑两班学生不同的认知倾向, 根据学生的 认知差异改进教学法方法和教学策略, 调整教学内容和教学目标, 努力做到因材 施教. 如对六班学生,注意培养其独立思考的能力;对五班学生,注意培养其有 条理地、细心地分析问题、解决问题的能力等 . 在问题深化环节组织研究学习小 组时,我根据学生情况, 将具有不同认知倾
4、向的学生组合在一起, 让他们在小组 学习中,依据各自不同的特点去研究分析问题,相互取长补短 . 以便于他们更深 入、全面地分析问题、解决问题 . 同时,这样做,不同认知倾向的学生相互影响, 也有助于对学生认知倾向的培养调整 .教学内容分析一、教学主要内容向量是代数研究对象,也是几何研究对象,因此它是沟通代数、几何、三角 函数的一种工具 . 向量是既有大小又有方向,与数量不同的量,因而在解决有关 向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等各种变换,正确 进行向量各种运算;二是向量坐标运算体现了数与形互相转化的思想 . 本课主要 内容为:三角形的“四心”与向量例 1,例 2,例 3,
5、例 4;向量与解析几何:例 5,例 6;利用向量的坐标运算,解决两直线夹角,判断两直线平行,垂直问题: 例 7 ,例 8;利用向量的坐标运算解决有关线段的长度问题:例 9;利用向量的 坐标运算,用已知向量表示未知向量:例 10,例 11;利用向量的数量积解决有 关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线 到线的距离,线到面的距离,面到面的距离 . 例 12;向量与轨迹方程的综合例 13; 向量与数列的综合例 14二、教材编写特点 教材的编写体现了知识形成的过程,目的是让学生经历将实际问题抽象成 数学模型并予以解决和应用的过程, 为学生能在探索、 发现的活动中建构数学
6、知 识创造条件,所以教学中要充分发挥学生的主观能动性三、教材内容的数学核心思想 数形结合思想,化归转化思想教学目标知识与技能:向量概念与运算法则,向量的分解过程与方法: 通过实例引导学生把向量作为沟通代数与几何的桥梁, 培养学 生分析问题,解决问题的能力 .情感态度与价值观:在向量综合运用的过程中,渗透数形结合与等价转化思 想,培养学生思维的深刻性与广阔性 .教学的重点和难点重点:向量的综合应用难点:用向量知识进行代数几何转化 教学策略选择与设计一、在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何 问题中的几何元素和几何关系用向量表示, 然后选择适当的基底向量, 将相关向 量表示为
7、基向量的线性组合, 把问题转化为基向量的运算问题, 最后将运算的结 果再还原为几何关系,注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题 .二、 二、向量是数形结合的载体,在本课中,一方面通过数形结合来研究向量 的概念和运算; 另一方面, 我又以向量为工具, 运用数形结合的思想解决数学问 题. 同时向量的坐标表示为用代数方法研究几何问题提供了可能,丰富了研究问 题的范围和手段 .三、以选择、 填空题型考查本章的基本概念和性质, 这类题一般难度不大, 用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题 .四、以解答题出现的题目,一般结合其它数学知识,综合性较强,难度大, 以解决几何问题为主 . 在学习
8、本章时应立足于课本, 掌握双基,精读课本是关键 . 教学资源资源:三角板,圆规,粉笔,教材手段:多媒体辅助教学,形象直观教学过程设计教 学 环 节教学过程师生活动设计意图、基本概念:1.向量:既有 又有前五道题比较简的量.几何表示法AB, a ;坐标表单找个别学生回忆用习题带知并口述填空,必要时识点,提高学生示法 a =xi +yj =(x, y).让学生集体补充.学习兴趣向量的的模即向量的大小,记作T T| a|或| | AB |.2.零向量: 的向量,记为它的方向 ,规定它与任何向知量识3.单位向量: 的向占量.梳4.平行向量(共线向量):方教师利用基线理向相同或相反的非零向量引导学生回忆
9、向量5.相等向量共线条件教师强调:由于一般情况下研究的以学生熟悉 的知识为载体,二、向量的基本运算:向量是自由向量,所米用归纳的方向量的线性运算:加法、减以向量平行或共线法,引导学生对 比、思考,从而法及数乘向量的综合运算:等价.不过基线(直顺理成章的完成1.向量求和的三角形法则:线)平行与共线不等问题价.向量共线等价于2.向量求和的平行四边形法两向量的基线平行则:或重合.3.向量求和的多边形法则:教师:利用向量 运算法则引导学生 发现:在MBC中AB + BC = AC(加)或A-A = BC (减)称AABC为向量三角 形;推广可有AA2 + +,称 AA2AnA 为封闭折线.结论:证明三
10、角 形的三条中线交于 一点,且这点把三条 中线都分成2 : 1的 两条线段An A1 = 0打破学生的 定义形式上的轻 视,拓展思维宽 度,活跃课堂气 氛4.向量减法法则:5.数乘向量的定义:实数入和向量a的乘积是一个向量,记作 :;其长为 ;其方向为 ;数乘向量的几何意义是:向量加法满足下列运算律:(1)加 法交换律: (2)加法结合律:数乘向量满足下列运算律:(1)(2)(3)向量共线的条件:平行向量基本定理)向量a与T T Tb(b式0)平行(即共线)则存在唯一实数扎满足特别地,三点A、B、C共线U AB 、AC .平面向量的坐标运算:若a,b是一组单位正交基底,则称(扎門是向量c在基底
11、a,b下的坐标,记作c =(九,4).在平面直角坐标系下:设a=(aa2),b =4,鸟),则有:a +b =a b =ha =向量是近代f * f f数学中重要和基a b(b 式 0) u向量的数量积:以一正三角形来本的数学概念之结论4两个向量的数量积为复习两向量夹角的一,它是沟通代i T if 厂知识,这既是对前面数、几何与三角a b = a b cos。,其中日=fa,br /知识的巩固,又是对函数的一种工为两个向量的夹角,其范围为本节内容作的很好具,有着极其丰-准备富的实际背景.夹角公式cos日二歸二教师提问:强调向量的坐标表剛b|两个向量的数量积示,实际是向量(坐标形式):不是一个向
12、量,而是的代数表示.|a | =航=一个实数在这里有个(坐标形式):对于实数来说都有常见思维误区:a b = 0= a 丄 b =哪些运算律?不能正确理解向:(坐标形式)考虑一下这些规律量夹角的定义,数量积的运算律:对向量的数量积成两个向量夹角的立吗?为什么?定义是指同一点(1)父换律: :(2)数乘律: :最后归纳出:数量积出发的两个向量的运算规律所构成的较小的(3)分配律:非负角.典一、二角形的“四心”与向量例集锦1.关于重心G,有重心公式:彳OG = (OA +0B +0C)3xa +xb +xc yA + yB +yc、G( c , c ),3 3并有性质GA + GB + GC =
13、0 ;2.关于垂心H,有性质HA HB = HB HC = HC HA ;3.关于外心0,有性质 |OA|OB|=|OC| ;结论:O H G三点共线且OH =30G ;此线称为欧拉(Euler )线.(如何证明?)4.关于内心1,经常涉及内角 平分线的研究,如AB 丄 AC、Al _ 人(一+ .).|AB| |AC|例1:已知O, N, P在AABC所在平面内,且OA =|OB = OC , NA + NB +NC =0 ,且 PAPB=PBPC = PCPA , 则点O, N, P依次是MBC的(A) 重心外心垂心(B) 重心夕卜心内心(C) 外心重心垂心(D) 外心重心内心例2:在四边
14、形ABCD中教师提出问题, 学生回答,复习公式教师完善教师给出例题, 学生回答,教师指导学生说出“四 心”及相应特点,分 析例题,小组间可以 简单讨论通过复习公 式,加深对公式 的记忆,为下列 例题做铺垫通过例题,让 学生更好地理解 三角形的“四 心”与向量知识 的综合应用,进 步加深对相关 公式的理解,灵 活运用公式AB =DC = (1, 1),1 _ 1 3 _BA + “BC = 兰BD ,BA BC BD则四边形ABCD勺面积是例3:设斜 ABC的外接圆圆心为O两条边上的高的交点uLo;a;,则P的轨迹一定通过ABC 的()A、外心 B 、内心C、重心 D 、垂心二、向量与解析几何例
15、5:在解析几何中,熟练掌 握下列结论,有助于更好地运用向 量:(1) A、B C三点共线等价于存在 实数1 ,使得OCOAOB(: : =1);(2) 厶ABC的重心G的坐标公式为1 JOG =】OA OB OC 3(3) 直线的方向向量是什么? 给定两点:R (Xi, % ), P2 My ),那 么RP2 = (x2 -凶,y2 - ),这也就是 方向向量,横坐标单位化,得: (1,tana ),也就是说:直线Ax +By +C =0的方向向量是(B,-A ),直线的法向量是(A,B).例:6 :已知O为坐标原点,点 E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0), 点A、P、Q运动时,满足T
16、 T T TAE =2EF , AQ =QF ,PQ ”AF =0, AP/ Ep(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设M、N是轨迹C上的两点, 若OM +2ON =3OE,求直线 MN的 方程三、禾U用向量的坐标运算,解 决两直线的夹角,判定两直线平 行、垂直问题例7:已知向量OP1,oR2,OR3满口一, T T T T足条件 OP1+OP2+OP0,T T TOR = OP2 = OP3 =1,求证:也PBB是正三角形解:令O为坐标原点,可设教师给出例题,学生分析解答学生讨论、动手 操作、思考问题并回 答算是常考的知识 点,运用向量方 法解决解析几何 的有关知识,有 时候显的非常方 便.
17、通过平面向 量的坐标运算, 我们可以培养学 生的归纳、猜想、 演绎能力,通过 代数方法解决几 何问题,提高学 生用数形结合思 想解决问题的能 力.R(cosq,:P2 (cos 日 2,P3(co3,由 OP1+OP2+OP3 二(cos,sin )+(cow=(cos日3 sin&3 )cos 3 + cos 02 = -csin 0+s in 02 =-sir两式平方1 + 2 cos 0 - 0cos 0 0由此可知q -82的J0 T T120,即 OR 与 OF同理可得OF与OP3的夹角为OP2与OP3的夹角:这说明RRR三点个单位圆上,所以ARBR为等腰例8:求等腰直 直角边上的中
18、线所成 数解:如图,分 别以等腰直 己角三角形的 &,两直 角边为 sinq ) sin 日2 ) sini3 )=0,即旳2 ,sin 日2 )OS 0 1 03和为2 )+1=1,)=-2,最小正角为、2夹角为1200,为 1200,为 1200,均匀分部在一三角形苴角三角形中两 贞的钝角的度分组完成并进行 演示评价观察图象回忆相 关公式通过练习使 学生进一步体会 几何与向量的关 系,认识到数形 结合的重要性 同时让学生在总 结中提升自己解 题的能力两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,设A2a,0,B 0,2a,则 D a,0,C0,a ,从而可求:AC = -2a,a ,BD = a,-
19、2a ,co -2a,a 久一羽=P5a 忑a4a2 _ 45a2 5( 4)e = arccos - .I 5丿四、利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题例9:已知 ABC,AD为中线,求证 AD2 =(AB2 +AC2 )f2 2)证明:以B为坐标原点,以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐设A(a,b)C(c,0), D2,0)则标系AD2 cC 2=_ a i +(0b)J 2 2-ac a b2=a2 +b2 -ac +乞4从而I AD |2 二五、利用向量的坐标运算,用 已知向量表示未知向量例10:已知点O是学生自习分析并画出图形ABC内的一点,AOB =150, BOC =9
20、0,充分体现教 师主导作用和学 生主体作用相统 一,体现教学的 直观性和启发 性.* T T T 设OA =a,OB =b,OC =c,且 a = 2,耳=1, c = 3,试用f * Ta,禾口 b表示c解:以O为原点,OC OB所在的直 线为x轴和y轴建立如图所示的坐 标系.由 0A=2 ZAOx =120,所以结合向量来解决A2cos120,2sin1200,即A -1, ,3 ,易求 B0,-1 , C3,0,设OA = QB ,2 OC,即-1, 3 = 0,-1 2 3,0:-1 =3妬 3 =-九i133-A例11:如图,OATOB =1,:OA, OB 120,用 OA,OB
21、表示OC.解:以O为坐标原点,以OA所在 的直线为x轴,建立如图所示的直 角坐标系,则 A1,0,由 COA =30引导学生思考后 回答配合教师板演训练学生对 图形的运用,渗 透转化思想,培 养学生严谨的思 维品质,有利于 学生对向量的理 解.所以 C(5cos30,5sin30 )即 c(5*3,5)2 2同理可求B 一1,3I 2 2丿OC Ol+嘉 OB,即(座,5)=肋(1,0) + 九 2,)2 2 2 25/3 1 : 103 2 2 , 3 .|5 的、 L 5运i 一 = -心 i 人2 = 2 2 13 10、;3 5丁3 :、OC = OA+亠OB.3 3六、利用向量的数量
22、积解决有 关距离的冋题,距离冋题包括点到 点的距离,点的线的距离,点到面 的距离,线到线的距离,线到面的 距离,面到面的距离例12:求平面内两点A(%, yj, B(X2, y2)间的距离公式解:设点 A(X1,yJ, Bgy),AB =化-兀皿-yjAB |= J(X2 X1)2 +(y2 yj2 ,T而| AB冃AB |二点A与点B之间的距离为:1 AB L J(X2 -X1)2 +(y2 -yj2由学生证明并得出结论从知识和体 验入手总结本节 课内容,得到提 高和巩固,使学 生深切体会本节 内容从而实现再 次深化.Mb 例13:设XJERiJ为直角探究思路:引许多几何问坐标平面内轴正方向
23、上的单位导学生分析神题,用向量来解的几何意义.决显得简捷方向量.若向量说+0 + 2”,便在教学过程求出M点的轨迹Q拧十(-折,且酣阡8A .2中,引导学生不方程12 16断体会,最终能(1)求点M(和)的轨迹方程; op=ai+aS 四熟练应用向量来(2)过点(0,3)作直线/与曲线边形如8是平行四证明两直线平C交于人B两点,设OP = OAWB,边形;行、垂直、两直若倔是矩形,则线夹角,利用向是否存在这样的直线!,使四边形oi厢胡二冲血+加=o量得到定比分点问0媲是矩形.若存在,求出/方程;在教师的引导公式,两点距离题若不存在,请说明理由.公式,平移公式,下,学生自主探索如深下问题:正余弦
24、定理等,化例14:已知两点MPLOLMIffi,由M, NtP三点坐标同时在教学中注w 4 亠 4 life 斗意向量与三角函点P使MP PN,丽 NP成公表示上述向量.数、复数、数列、差小于零的等差数列.由解几的综合应(1)点F的轨迹是什么曲线;用.(2)若点P的坐标是(阳必)初为是公差小于零的等差数列等价于顷与旳的夹角,求就3.9 o为提高学生X2 +y2 =3 0课堂学生自主分P点轨迹是以原点为析、探究,教者圆心,原点为半径的适时点拔圆巩1.在下列各命题中为真命题固的是()不同层次的练 若 a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),学生都可以获得习成功得到喜悦,贝 U a b
25、=xy+X2y22若 A(xi,yi)、B(X2,y 2),则丨AB | = J(xi X2)2 +(yi y2)23若 a=(xi,y 1)、b =(X2,y 2), 贝U a b =0= xiX2+yiy2=04若 a =(x i,y i)、b =(x 2,y 2),、 1贝U a 丄 b = xiX2+yiy2=0A、 B 、C、 D 、2.已知 a =( w3 , i), b=(i, 石),那么a , b的夹角 0 =()A、30 B 、60C i20 D 、i503.已知 a=(2,i), b=(i,3),若存在向量c使得:a c=4, b c = 9,试求向量c的坐标、4.求向量a
26、 =(1,2)在向量b=(2 , 2)方向上的投影教师:巡回指导, 纠正错误,师生共同 确定问题的答案 学生:独立思考,培 养独立学习的习惯看到自己的潜 能.从而激发学 生饱满的学习兴 趣,促进学生自 主发展,合作探 究的学习氛围课后 小 结1.在本课中我们复习了哪些与向量有关的公式?2.向量在代数或几何中有哪些应用?3你们对本课哪些内容还有困惑?作业必做题:Pi26巩固提高 选做题:P127自测与巩固A课后教学反思一、 优势在教学中,高二五、六这两个班学生,通过前面学习,大部分学生的知识基础 和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握 本节内容,30%的学生在
27、课堂上能够跟上我的思路,通过讲解,也能很快掌握,30% 的学生勉强能跟上我的思路,但需要时间消化,剩下20%勺学生,如果不预习课本 基本上上课很难听懂,即使提前预习了,也不一定能跟的上.二、 不足1.教学教法方面一方面学生在接受上有一定的困难,另一方面在细节问题上就很难把握的好 一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识,难度很大,同时, 一味地赶进度,带来的直接后果就是学生学而不精,对深层的问题,没有实质性的 认识,只会死记公式,做原题,对于变形题目,学生仍然无从下手2.对学生能力估计不足在课堂教学之前,做为教师,我应该对学生有个充分的估量,在这些容易错的 地方,学生会出现那些错误,学生会用什么方法解决此题,我应该事先有个充分的 估量,不至于课堂教学中,出现我没预料到的情况,造成教学的被动3.应鼓励学生自主探索、自主学习在问题深化过程,本意很想让学生自主探索,自主学习,但在实际操作过 程中,由于师生配合不是特别的默契,没有完全把学生的意图彻底弄透, 甚至最 后时间都有紧
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