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1、大学物理第五版下册课后答案第九章 振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为- A ，且向 x 轴正方向运2动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题- 图分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在 x 轴上投影点的位移为A/2，且投影点的运动方向指向 Ox 轴正向，即其速度的 x 分量大于零，故满足题意因而正确答案为（b）9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）(A)x = 2cos 2 t - 2 (cm) (C)x = 2cos 2 t + 2 (cm) 33 33 (B)x = 2cos 4 t - 2 (cm) (D)x = 2cos

2、 4 t + 2 (cm) 33 33 题- 图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 A/2，且向 x 轴负方向运动图（） 是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为 2 / 3 振动曲线上给出质点从A/2 处运动到+A 处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差 = 4 3 ，则角频率 = / t = (4 / 3) s-1 ，故选（D）本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比 x2 的相位（ ）（A） 落后 2（B）超前 2（C）落后 （D）超前分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量

3、图（b） 即可得到答案为（b）题- 图9-4 当质点以频率 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ）（A）v （B） v （C） 2v2（D） 4v分析与解 质点作简谐运动的动能表式为Ek= 1 m 2 A 2sin2 (t2+ )，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率 的两倍因而正确答案为（C）9-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）3（A） 21（B） 2（C） （D） 0分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是（即反相位）运动方程分别为x1= Acost 和 x2= A

4、cos(t + )它们的振幅不同对2于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为x1 =而正确答案为（D）A cost 因2题- 图9-6 有一个弹簧振子，振幅 A = 2.0 10-2 m ，周期T = 1.0 s ，初相 出它的运动方程，并作出 x - t 图、 v - t 图和 a - t 图= 3 / 4 试写题-6 图分析 弹簧振子的振动是简谐运动振幅 A 、初相 、角频率 是简谐运动方程x = Acos(t + )的三个特征量求运动方程就要设法确定这三个物理量题中除 A 、 已知外， 可通过关系式 = 2 / T 确定振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动

5、学中的计算方法相同解 因 = 2 / T ，则运动方程x = Acos(t+ ) = A 2t+ cos T 根据题中给出的数据得x = 2.0 10-2 cos(2t+ 0.75 ) (m)振子的速度和加速度分别为v = dx / dy a = d2x / d2y= -4 10-2 sin(2t= -8 10-2 cos(2t+ 0.75) ( m s-1 )+ 0.75) ( m s-1 )x - t 、 v - t 及 a - t 图如图所示9-7 若简谐运动方程为 x = 0.10 cos(20t + 0.25)(m)，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2） t = 2s

6、时的位移、速度和加速度分析 可采用比较法求解将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x = Acos(t + )作比较，即可求得各特征量运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果解 （1） 将 x = 0.10 cos(20t + 0.25)(m)与 x = Acos(t + )比较后可得：振幅 A 0.10m，角频率 = 20 s-1 ，初相 0.25 ，则周期T = 2 / = 0.1 s ，频率 v = 1/ T Hz （） t = 2s 时的位移、速度、加速度分别为x = 0.10 cos(40t + 0.25) = 7.07 10-2 m

7、v = dx / dt = -2sin(40 + 0.25) = -4.44m s-1a = d2 x / d2t = -402cos(40 + 0.25) = -2.79 102 m s-29-8 一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期m / k分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 F 与位移 x 间的关系，如果满足 F = -kx ，则货轮作简谐运动通过 F = -kx 即可求得振动周期T = 2 /

8、 = 2 证 货轮处于平衡状态时图（a），浮力大小为 F mg当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x 轴正向，如图（b）所示则当货轮向下偏移 x 位移时，受合外力为 F = P + F 其中 F 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为F = F + gSx = mg + gSx则货轮所受合外力为题- 图 F = P -F = -gSx = -kx式中 k = gS 是一常数这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动 由 F = md2 x / d2t 可得货轮运动的微分方程为d2 x / d2t + gSx / m = 0令 2 = gS /

9、m ，可得其振动周期为m / gST = 2 / = 29-9 设地球是一个半径为 R 的均匀球体，密度 = 5.5 103 kg m-3 现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为 m 的质点在此隧道内作无摩擦运动（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期题- 图分析 证明方法与上题相似分析质点在隧道内运动时的受力特征即可证 （1） 取图所示坐标当质量为 m 的质点位于 x 处时，它受地球的引力为F = -G mxmx2x x式中G 为引力常量， m 是以 x 为半径的球体质量，即 m = 4x3 / 3 令 k = 4Gm / 3 ，则质点受力F = 4Gmx / 3 = -kx因

10、此，质点作简谐运动（2） 质点振动的周期为m / k3 / GT = 2 = 5.07 103 s9-10 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 、k2时（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率当物体在光滑斜面上振动题 9-10 图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）为此，建立如图（b）所示的坐标设系统平衡时物体所在位置为坐标原点 O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿 Ox 轴， 物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位

11、置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 x1 、 x2 ，则由物体受力平衡，有mgsin = k1x1 = k2 x2按图（b）所取坐标，物体沿 x 轴移动位移 x 时，两弹簧又分别被拉伸 x1 和 x2 ，即物体受力为（1）x = x1 + x2 则F = mgsin - k2 (x2 + x2 ) = mgsin - k1 (x1 + x1)将式（1）代入式（2）得（）F = -k2 x2 = -k1x1由式（3）得 x1 = -F / k1 、 x2 = -F / k2 ，而 x = x1 + x2 ，则得到（）12F = -k k

12、/ (k + k )x = -kx1 21 2 1 2式中 k = k1k2 / (k1 + k2 )为常数，则物体作简谐运动，振动频率v = / 2 = 12k / m =1 2 讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为v = ，读者可以一试通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动

13、的思路是相同的*9 11 在如图（a）所示装置中，一劲度系数为 k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为 m1 的物体 A ，置于光滑水平桌面上现通过一质量 m、半径为 R 的定滑轮 B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为 m2 的物体 C设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率题 9-11 图分析 这是一个由弹簧、物体 A、C 和滑轮 B 组成的简谐运动系统求解系统的振动频率可采用两种方法（1） 从受力分析着手如图（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点 O，此时弹簧已伸长 x0 ，且 kx0 = m2 g 当弹簧沿Ox 轴正向从

14、原点 O 伸长 x 时，分析物体 A、C 及滑轮 B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程（2）从系统机械能守恒着手列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程解 1 在图（b）的状态下，各物体受力如图（c）所示其中 F = -k(x + x0 )i 考虑到绳子不可伸长，对物体 A、B、C 分别列方程，有FT 1= -k(x +x0 ) =d2 xm1 dt 2d2 x（1）m2 g - FT 2 = m2 dt 2（2）( - )= = 1d2 xFT 2FT 1 R J2 mR dt 2（3）kx0 = m2 g（4）方程（3）中用到了 F =

15、 F 、F= F 、J = mR2 / 2 及 = a / R 联立式（1） 式（4）T 2 T 2可得T 1 T 1d2 x k则系统振动的角频率为dt 2+m1 + m2+ m / 2 x = 0（5）k / (m1 + m2 + m / 2) = 解 2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离 x（此时速度为 v、加速度为 a）为末状态， 则由机械能守恒定律，有E = -m gx + 1 m v2 + 1 m v2 + 1 J2 + 1 k (x + x )2 0 2 2 1 2 2 2 2 0在列出上述方程时应

16、注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取为运算方便，选初始状态下物体 C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点将上述方程对时间求导得0 = -m gv + m v dv + m v dv + J d + k(x + x )dx 2 1 dt2 dt dt0 dt将 J = mR2 / 2 ， R = v ， dv / dt = d2 x / dt 2和m g = kx代入上式，可得d2 x +dt 2 m2 0k+ m + m / 2 x = 0（6）1 2式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A2.0 10-2 m，周期 T0

17、.50当 t0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在 x -1.010- 2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在 x-1.010-2 m 处，向正方向运动求以上各种情况的运动方程分析 在振幅 A 和周期 T 已知的条件下，确定初相 是求解简谐运动方程的关键初相的确定通常有两种方法（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即 t 0 时，x x0 和 v v0 来确定 值（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点 P 在 Ox 轴上振动的初始位置 x0 和速度 v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用题

18、9-12 图解 由题给条件知 A 2.0 10-2 m， = 2 / T = 4 s-1 ，而初相 可采用分析中的两种不同方法来求解析法 ： 根据简 谐 运动方 程 x = Acos(t + ) ，当 t = 0 时有 x0 = Acos(t + ) ，v0 = - Asin 当（1） x0 = A 时， cos1 = 1，则1 = 0 ； （2） x0 = 0 时， cos2 = 0 ，2= ，因v0 0 ，取2 = ；2 2（3） x0= 1.0 10-2 m 时， cos= 0.5 ，3= 3，由v0 0 ，取 4 0 4 4 3 0 4 3旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量

19、图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为1 = 0 ， 2 =， 3 =2， 4 = 43 3振幅 A、角频率 、初相 均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1） x = 2.0 10-2 cos4t (m)（2） x = 2.0 10-2 cos(4t + /2) (m)（3） x = 2.0 10-2 cos(4t + /3) (m)（4） x = 2.0 10-2 cos(4t + 4/3) (m)9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为 m 的物体时， 伸长量为 9.8 10-2 m若使物体上、下振动，且规定向下为正方向（1） 当 t 0 时，物体在平衡位置上方 8.0 10-2 处

20、，由静止开始向下运动，求运动方程（2） 当 t 0 时，物体在平衡位置并以 0.6s-1 的速度向上运动，求运动方程分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量 A、 和 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量 m 及弹簧劲度系数 k）决定的，即 =k/m ，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅 A 和初相 需要根据初始条件确定题 9-13 图解 物体受力平衡时，弹性力 F 与重力 P 的大小相等，即 F mg而此时弹簧的伸长量l 9.8 10-2m则弹簧的劲度系数 k F l mg l系统作简谐运动的角频率为k / mg / l = = = 10 s-1 （1）

21、 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为 x 轴正向由初始条件 t 0 时，v / )2x10 8.0 10-2 m、v10 0 可得振幅 A = = 8.0 10- 2 m ；应用旋转矢量法可确定初相1= 图（a）则运动方程为v / )21x = 8.0 10-2 cos(10t + ) (m) （2）t 0 时，x20 0、v20 0.6 s-1 ，同理可得 A2 = 6.0 10- 2 m ；2 = / 2 图（b）则运动方程为2x = 6.0 10-2 cos(10t + 0.5) (m)9-14 某振动质点的 x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点 P 对

22、应的相位；（3） 到达点 P 相应位置所需的时间分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题本题就是要通过 x t 图线确定振动的三个特征量 A、 和0 ，从而写出运动方程曲线最大幅值即为振幅 A；而 、0 通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便解 （1） 质点振动振幅 A 0.10 而由振动曲线可画出 t0 0 和 t1 4 时旋转矢量，如图（ b ） 所 示由图可见初相 0 = - / 3 （或 0= 5 / 3 ）， 而由 (t1 - t0 ) = / 2 + / 3 得 = 5 / 24 s ，则运动方程为-1x = 0.10 cos

23、 5 t - / 3(m) 24 题 9-14 图（2） 图（a）中点 P 的位置是质点从 A2 处运动到正向的端点处对应的旋转矢量图如p图（c） 所示当初相取0 = - / 3 时，点 P 的相位为 p = 0 + (t - 0)= 0 （如果初相p取成 0 = 5 / 3 ，则点 P 相应的相位应表示为p = 0 + (t - 0) = 2 （3） pp由旋转矢量图可得(t - 0)= / 3 ，则t = 1.6 s 9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向 x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到 x A/

24、2 处；（3） 由 x A/2 处到最大位移处解 采用旋转矢量法求解较为方便按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点 O（1） ） 平衡位置 x1 到最大位移 x3 处， 图中的旋转矢量从位置 1 转到位置 3 ，故1= / 2 ，则所需时间t1 = 1 / = T / 4（2） 从平衡位置x1 到x2 A/2 处，图中旋转矢量从位置1 转到位置2，故有2则所需时间= / 6 ，t2 = 2 / = T / 12（3） 从 x2 A/2 运动到最大位移 x3 处，图中旋转矢量从位置 2 转到位置 3，有0= / 3 ，则所需时间t3 = 3 / = T / 6题 9-15 图9-16 在一块

25、平板下装有弹簧，平板上放一质量为 1.0 kg 的重物现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为 0.50，振幅为 2.010-2 m求：（1） 平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2） 若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3） 若振幅不变，则平板以多大的频率振动时， 重物会跳离平板？题 9-16 图分析 按题意作示意图如图所示物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力 P 和板支持力 FN 作用，FN 是一个变力按牛顿定律，有d2 yF = mg - FN = m dt 2（1） 由于物体是随板一起作简谐运动，因而有a改写为= d2y dt 2= -A 2cos(t+

26、 )，则式（1）可FN = mg+ mA 2cos(t+ )（2）（1） 根据板运动的位置，确定此刻振动的相位t + ，由式（2）可求板与物体之间的作用力（2） 由式（2）可知支持力 FN的值与振幅 A、角频率 和相位（ t+ ）有关在振动过程中，当t + 时 FN 最小而重物恰好跳离平板的条件为 FN 0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅解 （1） 由分析可知，重物在最低点时，相位t + 0，物体受板的支持力为NF = mg + mA 2 = mg + mA(2 / t )2 = 12.96 N重物对木块的作用力 FN 与 FN 大小相等，方向相反（2） 当频率不变时，设

27、振幅变为 A根据分析中所述，将 FN 0 及t + 分析中式（2），可得= 代入A = mg / m2 = gT 2 / 42 = 6.2 10-2 m （3） 当振幅不变时，设频率变为v 同样将 FN 0 及t + 1 mg / mA2可得= 代入分析中式（2），2v = =2= 3.52 Hz9-17 两 质点作同 频率、同 振幅的简 谐运动 第一个质 点的运动 方程 为x1 = Acos(t + )，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差题 9-17 图解 图示为两质点在时刻 t 的旋转矢量图，可见第一个质点 M 的相位比第二个质点 N 的相位超前 / 2 ，即它们的相位差 /2故第二个质点的运动方程应为x 2 = Acos(t + - / 2)9-18 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为 2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程分析 根据 v-t 图可知速度的最大值 vmax ，由 vmax A 可求出角频率 ，进而可求出周期 T 和加速度的最大值 amax A2 在要求的简谐运动方程 x Acos（t ）中，因为 A 和 已得出，故只要求初相位 即可由 v t 曲线图可以知道，当 t 0 时，质点运动速度v