1、14数据的数字特征 教案北师大版必修3读教材填要点1众数、中位数、平均数(1)众数的定义:一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个,也可以是多个(2)中位数的定义及求法:把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数(3)平均数:平均数的定义:如果有n个数x1、x2、xn,那么,叫作这n个数的平均数平均数的分类:总体平均数:总体中所有个体的平均数叫总体平均数样本平均数:样本中所有个体的平均数叫样本平均数2标准差、方差(1)标准差的求法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示s.(2)方差的求法:标
2、准差的平方s2叫作方差s2(x1)2(x2)2(xn)2其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本均值(3)方差的简化计算公式:s2(xxx)n2(xxx)2.3极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差4数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散程度小问题大思维1一组数据的众数一定存在吗?若存在,众数是唯一的吗?提示:不一定若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数;不是,可以是一个,也可以是多个2如何确定一组数据的中位数?提示:(1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数(2)当数据个数为
3、偶数时,中位数为排列在最中间的两个数的平均值研一题例1据报道,某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法自主解答(1)平均数是1 5001 5005912 091(元)中位数是1
4、500元,众数是1 500元(2)新的平均数是15001 5001 7883 288(元)中位数是1 500元,众数是1 500元 (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平悟一法1众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量2众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题3中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能在所给的
5、数据中,也可能不在所给的数据中当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势通一类1某公司销售部有销售人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下:销售量(件)1 800510250210150120人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数;(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较为合理的销售定额解:(1)平均数为(1 800151012503210515031202)320(件),中位数为210件,众数为210件(2)不合理,因为15人中有13人的销售量未
6、达到320件,也就是说,虽然320是这一组数据的平均数,但它却不能反映全体销售人员的销售水平销售额定为210件更合理些,这是由于210既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的定额.研一题例2甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为了检验质量,各从中抽取6件进行测量,分别记录数据为:甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定自主解答(1)甲(9910098100100103)100,乙(9910010299100100)100,s(99100)2(100100)2(98
7、100)2(100100)2(100100)2(103100)2,s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又ss,所以乙机床加工零件的质量更稳定悟一法在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性就越差;方差越小,数据越集中,质量越稳定通一类2对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:甲:273830373531乙
8、:332938342836根据以上数据,试估计两人最大速度的平均数和标准差,并判断他们谁更优秀解:甲(273830373531)33,s(2733)2(3833)2(3033)2(3733)2(3533)2(3133)2,s甲3.96,乙(332938342836)33,s(3333)2(2933)2(3833)2(3433)2(2833)2(3633)2,s乙3.56.由上知,甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s,甲的标准差为3.96 m/s,乙的标准差为3.56 m/s,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙的成绩比甲的成绩更稳定,故乙比甲更优秀.研一题例3在一次科技知识竞赛中,
9、两组学生的成绩如下表:分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由自主解答(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080(分),乙(5046047016802901210012)4 00080(分)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172,s4(5080)24(6080
10、)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss,甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看,甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24人,乙组成绩集中在高分段的人数多同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看,乙组的成绩较好悟一法要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大
11、小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本例的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论通一类3甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:(1)请填写下表:平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析:从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些?从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些?从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力?解:(1)由图可知,甲打靶的成绩为:2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的
12、平均数是7,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数是3;乙的平均数是7,中位数是7,命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知,甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.一个球队所有队员的身高如下(单位:cm):178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184,问这个球队的队员平均身高是多少?(精确到1 cm)解法一:利用平均数的公式计算(17817918
13、1180184)2 523180.法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算取a180,将上面各数据同时减去180,得到一组数据:2,1,1,2,4,3,4,0,3,5,1,5,0,4.(21124340351504)30.2,a0.2180180.法三:利用加权平均数公式计算(1851184118321821181218021791178117621751)2 523180.法四:建立新数据,再利用加权平均数公式计算514132211202(1)1(2)1(4)2(5)10.30.2.a0.2180180.1已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数,中位数和众数大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数解析:可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.答案:D2样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本方差为()A.
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