学年人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程同步学案.docx

1、学年人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程同步学案2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 同步学案一由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程例1某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A50（1+x）2182 B50+50（1+x）+50（1+x）2182 C50（1+x）+50（1+x）2182 D50+50（1+

2、x）182【分析】设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50（1+x）万个，六月份生产零件50（1+x）（1+x）万个，由此可得出方程【解答】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50（1+x）万个，六月份生产零件50（1+x）（1+x）万个，故可得：50（1+x）（1+x）61，即50（1+x）2182故选：A【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2b例22017年全国的快递业务量为401亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，若2019年的快递业务量达到620亿件

3、，设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，则可列方程为401（1+x）2620【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量（1+增长率）22019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可【解答】解：设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，由题意得：401（1+x）2620，故答案是：401（1+x）2620【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2b例3南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出10

4、0千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为（60x40）（100+10x）2240；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：（x40）100+10（60x）2240（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可；方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可（2）利用（1）中所列

5、方程求出答案【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元 根据题意，得（60x40）（100+10x）2240方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x40）100+10（60x）2240，故答案为：（60x40）（100+10x）2240，（x40）100+10（60x）2240；（2）方法1：设每千克特产应降价x元 根据题意，得（60x40）（100+10x）2240，解得x14，x26要让顾客尽可能得到实惠，只能取x6，60654元，答：每千克特产应定价54元方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x40）100+10（60x）2240解得x154，x256要让顾

6、客尽可能得到实惠，只能取x54，答：每千克特产应定价54元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程二一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量100%如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2=后来数（3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、

7、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程4解：准确求出方程的解5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际

8、问题6答：写出答案例4与去年同期相比我国石油进口量增长了a%，而单价增长了%，总费用增长了15.5%，则a（）A5 B10 C15 D20【分析】设去年的石油进口量是“x”、单价是y，则今年我国石油进口量是（1+a%）x，单价是（1+%）y根据“总费用增长了15.5%”列出方程并解答【解答】解：设去年的石油进口量是“x”、单价是y，则今年我国石油进口量是（1+a%）x，单价是（1+%）y，由题意，知（1+a%）x（1+%）yxy（1+15.5%）解得a10（舍去负值）故选：B【点评】考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解例5

9、有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了20个人【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有（1+x）人患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）人，然后根据第二次被传染的有420人就可以列出方程求解【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人依题意得x（1+x）420，x2+x4200，（x+21）（x20）0x120，x21（不合题意，舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人故答案为：20【点评】此题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，分清题意，准确列式，巧妙利用因式分解法求得方程的解是解题的关键例

10、6甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m8）万元，求m的值【分析】（1）设甲工程队施工

11、x米，则乙工程队施工（2000x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本每米施工成本每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000x）米，依题意，得：8（2000x）6x，解得：x1000答：甲最多施工1000米（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6m）6（6+8）+11m8，整理，得：m28m+160，解得：m1m24答：m的值为4【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一

12、元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程同步测试一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2若设ADxm，则可列方程（）A（50）x900 B（60x）x900 C（50x）x900 D（40x）x9002某水果种植基地2016年产量为80吨，截止到2018年底，三年总产量达到300吨，求三年中该基地水果产量的年平均增长率设水果产量的年平均年增长率为x，则

13、可列方程为（）A80（1+x）2300 B80（1+3x）300 C80+80（1+x）+80（1+x）2300 D80（1+x）33003共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（）A（1+x）24400 B（1+x）21.44 C10000（1+x）24400 D10000（1+2x）1440042018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收

14、入的平均增长率为x，则可列方程（）A2x22%+30% B（1+x）21+22%+30% C1+2x（1+22%）（1+30%） D（1+x）2（1+22%）（1+30%）5人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程（）A100（1+x）196 B100（1+2x）196 C100（1+x2）196 D100（1+x）21966为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（）A500（12x）320 B500（1x）2320 C

15、500（）2320 D500（1）23207制造一种产品，原来的成本是每件200元，由于连续两次降低成本，现在每件产品的成本是162元，则平均每次降低成本（）A8% B10% C15% D20%8某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有（）A7队 B6队 C5队 D4队9如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出22个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（）A40 B48 C52 D5610某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支

16、干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A4 B5 C6 D7二填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为 12如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的

17、面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 13某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 14有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人15某种型号的手机，原售价4000元，经连续两次降价后，现售价为2560元/台，则平均每次降价的百分率为 16现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花

18、草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m17李华在淘宝网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20个，每个盈利40元若每个降价1元，则每天可多销售5个如果每天要盈利1700元，每个应降价 元（要求每个降价幅度不超过15元）18“校安工程”关乎生命、关乎未来目前我省正在强力推进这一重大民生工程.2018年，我市在省财政补助的基础上投人600万元的配套资金用于“校安工程”，计划以后每年以相同的增长率投入配套资金，2020年我市计划投入“校安工程”配套资金1176万元从2018年到2020年，我市三年共投入“校安工程”配套资金 万元三解答题（共7小题，满分66分）19（8分）（教材变式题）如图

19、所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程20（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润21（8分）一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息（1）列出关于x的方程；（2）写方程化为ax2+bx+c0的形式，并指出a，b，c的值

20、22（10分）某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米23（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米（1）请用含有x的式子表示

21、y（不要求写出x的取值范围）；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？24（10分）六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？25（12分）某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择已知6月份该旅行社“跟团游”的销售额为60万元，“定制游”的销售额为20万元，“跟团

22、游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费用少0.1万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算（1）求“定制游”的单数为多少？（2）由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别比上月对应订单数多3a%和a%，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多a%和2a%，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元，且a50，求a的值参考答案一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1【解答】解：设ADxm，则AB（60x）m，由题意，得（60x）x900故选：B2【解答】解：设水果产量的年

23、平均年增长率为x，则可列方程为：80+80（1+x）+80（1+x）2300故选：C3【解答】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，根据题意可得：（1+x）21.44故选：B4【解答】解：设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意可得：（1+x）2（1+22%）（1+30%）故选：D5【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2196故选：D6【解答】解：设该店春装原本打x折，依题意，得：500（）2320故选：C7【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：200（1x）（1x）162，解得：x0.1或1.9（不合题意，舍去

24、）即：x10%故选：B8【解答】解：设参加比赛的球队有x队，依题意，得： x（x1）21，整理，得：x2x420，解得：x16（不合题意，舍去），x27故选：A9【解答】解：设最小数为x，则另外三个数为x+1，x+7，x+8，根据题意可列方程x（x+8）153，解得x19，x217（不符合题意，舍去），所以 x9，x+110，x+716，x+817，所以 四个数分别为9，10，16，17因为 9+10+16+1752，所以 四个数的和为52故选：C10【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x243，解得：x17（舍去），x26故选：C二填空题（共8小题，满分24分，

25、每小题3分）11【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：（120+4x）（40+2x）7000故答案为：（120+4x）（40+2x）700012【解答】解：道路的宽应为x米，由题意得，（12x）（8x）77，故答案为：（12x）（8x）7713【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65（110%）（1+5%）50（1x）26550故答案为：65（110%）（1+5%）50（1x）2655014【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人依题意得x（1+x）420，x2+x4200，（x+21）（x20）0x120，x21（不合题意，

26、舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人故答案为：2015【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意，得4000（1x）22560，解得：x11.8（舍去），x20.2故答案为：20%16【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（402x）（26x）864，整理，得x246x+880解得，x12，x2444440（不合题意，舍去），x2答：小道进出口的宽度应为2米故答案为：217【解答】解：设每个羽毛球拍降价x元，由题意得：（40x）（20+5x）1700，即x236x+1800，解之得：x6或x20因为 每个降价幅度不超过15元所以 x6符合题意故答案是：618【解答】解：设

27、投人“校安工程”的年平均增长率是x，根据题意，得600（1+x）21176，1+x1.4，x0.440%或2.4（不合题意，应舍去），则我市三年共投入“校安工程”配套资金是：600+600（1+40%）+600（1+40%）2600+840+11762616（万元）；故答案为：2616三解答题（共7小题，满分66分）19【解答】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）5400，即4x2+160x+4000+100x5400，所以4x2+260x14000即x2+65x350020【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每

28、天盈利每件的利润卖出的件数，则有w（20+2x）（40x）2x2+60x+8002（x15）2+1250即当x15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为125021【解答】解：（1）由题意可得：x（x1）756；（2）x（x1）756整理得：x2x7560，则a1，b1，c75622【解答】解：设道路的宽为x米依题意得：（352x）（202x）600；设道路的宽为x米依题意得：（35x）（20x）600；设道路的宽为x米依题意得：（352x）（20x）54023【解答】解：（1）依题意得，BC1004x则y（1004x）x（2）设AB的长度为x，则BC

29、的长度为（1004x）米根据题意得 （1004x）x400，解得 x120，x25则1004x20或1004x808025，x25，舍去即AB20，BC20答：当20为何值时，矩形场地的总面积为400平方米24【解答】解：（1）设销售单价应定为x元，由题意，得（x40）50010（x50）8000，解得x160，x280，尽可能让利消费者，x60答：消费单价应定为60元（2）设销售单价定为a元，由题意，得4050010（a50）10000，解得a75答：销售单价至少定为75元25【解答】解：（1）设“定制游”的单数为x，根据题意得4x（0.1）60解得：x50经检验，x50是原方程的解，也符合问题的实际意义答：“定制游”的单数为50（2）由题意得：60（1+3a%）（1+a%）+20（1+a%）