离散数学课后习题答案左孝凌版.docx

1、离散数学课后习题答案左孝凌版1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。b)不是命题。c)是命题，真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题，真值为T。f)是命题，真值为T。g)是命题，真值为F。h)不是命题。i)不是命题。（2）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解：a)(P R)Qb)QRc)P d)PQ（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。RQ:我在看电视边吃苹果。c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（QR）

2、(RQ):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5) 解：a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。PQ b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。PQc)设P：气候很好。Q：气候很热。PQd)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。PQe)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Qf)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P Q） R(6) 解：a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQb)P:天气炎热。R:湿度较低。 PRc)R:天正在下雨。S:湿度很高。 RSd)A:刘英上山。B:李进上山。 ABe)M:老王是革新者。N:小李是革新者

3、。 MNf)L:你看电影。M:我看电影。 LMg)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQRh)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为：A；(AB)；(A(AB) 同理可记b）A；A ；(AB) ；(AB)A)c）A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA)d）A；B；

4、(AB) ；(BA) ；(AB)(BA)（3）解：a）(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b）(BA)(AB)。（4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (PP)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P(QP)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.（5）解：a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Qb) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ)d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(Q R)（

5、6）解：P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。这个人起初主张：(PQR) S后来主张：(PQ S)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有PQ必同时有R，开头时没有这样的主张。（7）解：a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(PQ)(P(RS)b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP1-4 （4）解：a) P Q RQRP(QR)PQ(PQ)RT T TT T FT F TT F FF T TF T FF F TF F FTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFT

6、FFFFFFF所以，P(QR) (PQ)Rb) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F所以，P(QR) (PQ)R）（）（）（）所以，P(QR) (PQ)(PR)）P QPQPQ(PQ)PQ(PQ)T TT FF TF FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以，(PQ) PQ, (PQ) PQ（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1F6，可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F

7、 T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T TF1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)PQ1 234 5678910111213141516FF FTF TFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTT FFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解：由上表可得有关公式为1.F 2.(PQ) 3.

8、(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(P Q) 8.(PQ) 9.PQ 10.P Q 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7) 证明：a)A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB)b)(A B) (AB)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB) 或 (A B) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) (AB)(AB)c)(AB) (AB) ABd)(A B) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB)e)(ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD)

9、 (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(A B)D)f)A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (AB)Cg)(AD)(BD) (AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)Dh)(AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C（8）解：a)(AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TC Cb)A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc)(ABC)(ABC) (AA) (BC) T(BC) B

10、C（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足AC BC，但A B不成立。 2）设C为F，A为T，B为F，则满足AC BC，但A B不成立。 3）由题意知A和B的真值相同，所以A和B的真值也相同。 习题 1-5（1）证明：a)(P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT Tb)P(PQ) P(PQ) (PP)Q TQ Tc)(PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR) (PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d)(ab)(bc) (ca) (ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca) (ac

11、)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca) (ab)(bc)(ca) 为重言式。（2）证明：a)(PQ) P(PQ)解法1：设PQ为T（1）若P为T，则Q为T，所以PQ为T，故P(PQ)为T（2）若P为F，则Q为F，所以PQ为F，P(PQ)为T命题得证解法2：设P(PQ)为F，则P为T，(PQ)为F，故必有P为T，Q为F，所以PQ为F。解法3：(PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T所以(PQ) P(PQ)b)(PQ)Q PQ设PQ为F，则P为F，且Q为F，故PQ为T，(PQ)Q为F，所以(PQ)Q PQ。c)(Q(PP)(R(R(PP) RQ设RQ为F

12、，则R为T，且Q为F，又PP为F所以Q(PP)为T，R(PP)为F所以R(R(PP)为F，所以(Q(PP)(R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP) RQ成立。（3）解：a) PQ表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c)a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）解：a)如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆换式QP表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式QP表示命题:如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。设S：

13、你走了。R：我将留下。RS逆换式SR表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式SR表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。EH逆换式HE表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式HE表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P Q，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(P Q) Q P, 设(P Q) Q为T，则(P Q)为T，Q为T，故由 的定义，必有P为T。所以(P Q) Q P解法2：由体题可知，即证(P Q)Q)P是永真式。 (P Q)Q)P (PQ) (PQ) Q)

14、P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) P QPP QT T（6）解：P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格： PQ如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为：(PQ)(RP)Q R证：证法1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T所以，论证有效。证法2：设(PQ)(RP)Q为T，则因Q为T，(PQ) 为T，可得P为F，由(RP)为T，得到R为T

15、。故本题论证有效。（7）解：P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽 PQ或5不是素数，或7被2除尽 RQ5是素数 R所以6是奇数 P即本题符号化为：（PQ）（RQ）R P证：证法1：(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ) T所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(PQ)(RQ)R为T，则有R为T，且RQ 为T，故Q为T，再由PQ为T，得到P为T。（8）证明：a)P (PQ)设P为T，则P为F，故PQ为Tb)ABC C假定ABC为T，则C为T。c)C

16、 ABB因为ABB为永真，所以C ABB成立。d)(AB) AB 设(AB)为T，则AB为F。若A为T，B为F，则A为F，B为T，故AB为T。若A为F，B为T，则A为T，B为F，故AB为T。若A为F，B为F，则A为T，B为T，故AB为T。命题得证。e)A(BC)，DE，(DE)A BC设A(BC)，DE，(DE)A为T，则DE为T，(DE)A为T，所以A为T又A(BC)为T，所以BC为T。命题得证。f)(AB)C，D，CD AB设(AB)C，D，CD为T，则D为T，CD为T，所以C为F又(AB)C为T，所以AB为F，所以AB为T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气 Q

17、：他将得胜 原命题：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累 Q：他得胜 原命题：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a)(PQ)P (PP)Q (TQ)b)(P(QR) PQ (P(QR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PRQ) PQ (PQ)c)PQ(RP) PQ(RP) (PQR)(PQP) (PQR)F PQR (PQR)(2) 解：a)P PPb)PQ (PQ) (PQ)(PQ)c)PQ PQ (PP)(QQ)(3)解：P(PQ) P(PQ) T PP (PP)(PP) P(PP)

18、 P(PQ) P(PQ) T PP (PP) (PP)P) (PP)P)(PP)P)(4)解：PQ (PQ) (PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明：(BC) (BC) BC(BC) (BC) BC(6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ)R为T，P(QR)为F故 (PQ)R P(QR).b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ) R为T，P(QR)为F故(PQ)R P(QR).(7)证明：设变元P，Q，用连结词 ,作用于P，Q得到：P，Q，P，Q，P Q，P P，Q Q，Q P。但P Q Q P，P

19、P Q Q，故实际有：P，Q，P，Q，P Q，P P（T） （A）用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：P，Q，P，Q，（P Q）， T，F， P Q （B）用 作用于（A）类，得到：P Q，P P F，P Q （P Q），P （P Q） Q，P （P P） P，Q P （P Q），Q Q F，Q （P Q） P，Q T Q, P Q P Q，P （P Q） Q，P T P, Q （P Q） P，Q T Q,（P Q） （P Q） P Q.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：P，Q，P，Q， P Q， F，T，（P Q）， 仍在（B）类中。对（B）类使

20、用 运算得：P Q，P P F，P Q （P Q），P （P Q） Q，P T P，P F P，P （P Q） Q， Q P （P Q），Q Q F，Q （P Q） P，Q T Q, Q F Q， Q （P Q） P， P Q P Q，P （P Q） Q，P T P, P F P,P （P Q） Q， Q （P Q） P，Q T Q, Q T Q,Q （P Q） P，（P Q） T （P Q），（P Q） F P Q，（P Q） （P Q） FT F F，T （P Q） P QF （P Q） （P Q）（P Q） （P Q） P Q.故由（B）类使用 运算后，结果仍在（B）中。由上证明：用 ,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故 ,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证 ,不是最小联结词组，又因为P Q （P Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用 ,表达，其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明