概率分布期望方差汇总.docx

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概率分布期望方差汇总

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位

设与座位编号相同的学生的个数是X.

（1）求随机变量X的分布列；

（2）求随机变量X的数学期望和方差.

解

（1）P（X=0）=_L=1-a33；

P（X=1）=-C3=1；P（X=3）=2=丄；

A32a36

•••随机变量X的分布列为

（2）E（X）=1X丄+3X丄=1.

D（X）=（1-0）21+（1-1）2丄+（3-1）21=1.

326

2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：

从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸岀一个球，记下颜色后放回，摸岀一个红球可获得奖金10元；摸岀两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定:

甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：

（1）X的分布列；

（2）X的均值.

解

（1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60.

919

P（X=50）=X=-

101021000

P（X=60）=3=.

'1031000

故X的分布列为

729

243

1000

729243189

（2）E（X）=0X+10X-243+20X18+50X—+60X

1000100010001000

=3.3（兀）.

1000''

3（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生

产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含

量（单位：

毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据

编号

169

178

166

175

180

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x》175,且y》75时,该产品为优等

品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数•的分布列极其均值（即数学期望）。

&98

解：

（1）7,57=35，即乙厂生产的产品数量为35件。

（2）易见只有编号为2,5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中

的优等品上,

故乙厂生产有大约352=14（件）优等品,

（3）的取值为0,1,2。

所以'的分布列为

3314

故的均值为E=0—1-2--.

105105

4湖南理18.（本小题满分12分）

某商店试销某种商品20天，获得如下数据

日销售量

（件）

频数

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天

开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充.至3件，否则不进货,将频率视为概率。

（I）求当天商品不进货的概率；

（n）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学

期型。

4.解（I）P（当天商品不进货”）二P（当天商品销售量为0件”）

153

P（当天商品销售量为1件”）

202010

（n）由题意知，X的可能取值为2,3.

P（X=2^P（当天商品销售量为1件”）：

；

204

P（X=3）=P（当天商品销售量为0件”）P（当天商品销售量

为2件”）P（当天商品销售量为3件”）

=丄+2+立=3

2020204

故X的分布列为

1311

X的数学期望为EX=2—•3.

444

5、江西理16.（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工

资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且

其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为

3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为

2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望

（本小题满分12分）

解：

（1）X的所有可能取值为：

0,1,2,3,4

P（X

（i=0,123,4）

（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,

P（Y="P（X=3）总

P（Y=2100）=P（X乞2）：

11653

EY=3500280021002280.

707070

所以新录用员工月工资的期望为2280元.

6、辽宁理（19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.

（I）假设n=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲

和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：

kg/hm2）如下

表:

品种

403

397

390

404

388

400

412

406

甲

品种

419

403

412

418

408

423

400

413

乙

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验

结果，你认为应该种植哪一品种？

附：

样本数据X1,X2，…；Xn的的样本方差

s2=1[（x1-x）2"（Xq-X）2亠亠（xn_x）2],其中x为样本平均数

6•解：

（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且

即X的分布列为

斗

「

份

x的数学期望为

1oiooi

E（X）=012342.

7035353570

6分

（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

—1

x甲（403397390404388400412406）=400,

122222222

（3（-3）（-10）4（-12）0126）=57.25.

分

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

—1

x乙（419403412418408423400413）=412,

2122222222

S乙（7（-9）06（-4）11（-12）1）=56.

分10

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均

数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

7、山东理18.（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对

A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别

为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（I）求红队至少两名队员获胜的概率；

（n）用.表示红队队员获胜的总盘数，求'的分布列和数学期望

7.解：

（I）设甲胜A的事件为D,

乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,

YT・

则D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件。

因为P（D）=0.6,P（E）=0.5,P（F）=0.5,

由对立事件的概率公式知

—T■

P（D）=0.4,P（E）=0.5,P（F）=0.5,

红队至少两人获胜的事件有：

T■■

DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两人获胜的概率为

P二P（DEF）P（DEF）P（DEF）P（DEF）

=0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5

=0.55.

（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。

又由（I）知DEF,DEF,DEF是两两互斥事件，

且各盘比赛的结果相互独立，

P（=1）=P（DEF）P（DEF）P（DEF）

-0.40.50.50.40.50.50.60.50.5

-0.35

P（=3）=P（DEF）=0.60.50.5=0.15.

由对立事件的概率公式得

P（=2）T_P（=0）_P（=1）_P（_3）=0.4,

所以'的分布列为：

0.1

0.35

0.4

0.15

因此E=00.110.3520.430.15=1.6.

20.解（I）Ai表示事件甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表

示事件乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2.用频率估

计相应的概率可得

=0.1+0.4+0.4=0.9,

TP（B2）>P（B1）,'乙应选择L2.

（n）A,B分别表示针对（I）的选择方案，甲、乙在各自允许的时

间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6,P（B）=0.9,又由题意知，

A,B独立,

—IHH

■P（X=0）=P（AB）=P（A）P（B）=0.40.1=0.04

P（X=1）=P（ABAB）=P（A）P（B）P（A）P（B）

=0.40.90.60.1=0.42

P（X=2）=P（AB）=P（A）P（B）=0.60.9=0.54

■X的分布列为

0.04

0.42

0.54

EX=00.0410.4220.54=1.5.

8、四川理18.（本小题共12分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时

的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概

率分别为一,一；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

—;两人租车时间都不会超过四小时。

（I）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（n）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量•，求的分布

列与数学期望E；

8.解析：

（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为R丄,付2

428

付4元为R=

4416

则所付费用相同的概率为

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8

分布列

丄

E=57.9.^7

84822

9、天津理16.（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：

甲箱子里装有3个白球、2

个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少

于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）

（I）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率；

（ii）获奖的概率；

（H）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）.

9.本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布

列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简

单的实际问题的能力满分13分.

（I）（i）解：

设在1次游戏中摸出i个白球”为事件

A=（i=0,1,2，则）

（ii）解：

设在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2U民,又

22111

C3C2.C2C2C2P（A2）-2222

C52C3C52C3

117

且A2,A3互斥，所以P（B）=P（A2）P（A3）.

2510

（II）解：

由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

P（X

100

所以X的分布列是

100

X的数学期望E（X）=0—1212上9

10050100

10重庆理17.（本小题满分13分）

（1）小问5分，（H）小问8分）

某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申

请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求

该市的任4位申请人中：

（I）恰有2人申请A片区房源的概率；

（n）申请的房源所在片区的个数•的分布列与期望

10.（本题13分）

解：

这是等可能性事件的概率计算问题•

（I）解法一：

所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源

的申请方式C222种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

C222_8

3427

解法二：

设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验

记申请A片区房源”为事件A,则P（A）二1.

从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有

2人申请A片区房源的概率为

212228巳

（2）=C：

（）2（）2.

3327

（ll）E的所有可能值为1,2,3.又

综上知，三有分布列

从而有

方案甲中1的分布列为

411

—X_：

4311

_X-=_

4322

_X-=_

545

5435

方案乙中2的分布列为

C33c35

C2启2

C335

若甲化验次数不少于乙化验次数，则

p=p（'1=1）XP（'2=1）+P（1=2）X[P（'2=1）+P（2=2）]+P（'1=3）X

P（2=1）+P（2=2）+P（2=3）]+P（1=4）

c1“3、1“32、218c”

=0+X（0+）+—X（0++）+—==0.72.

55555525

-卜3212

（2）E（）=1X0+2X-+3X-==2.4.

555

12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为一与P,且乙投

球2次均未命中的概率为丄

（1）求乙投球的命中率p;

（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为',求•的分布列和数学

期望.

解

（1）设甲投球一次命中”为事件A,乙投球一次命中”为事件B.

1由题意得（1-P（B））2=（1-p）2=—,16

3、53

解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率为

444

1—13

（2）由题设和

（1）知P（A）=^,P（A）=-,P（B）=-,

224

1P（B）=-.

■可能的取值为0，1，2，3，故

'的分布列为

'的数学期望

芦17159

E（-）=0X+1X+2X+3X=2.

32323232

13.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回，若以■和分别表示取出次品和正品的个数.

（1）求■的分布列、期望值及方差；

（2）求的分布列、期望值及方差.

解

（1）•的可能值为0,1,2.

若=0,表示没有取岀次品,其概率为：

P（=0）=罕=§；

211

同理，有P（=1）==—；P（=2）

222

r的分布列为：

6“9①11

.£（）=0X+1X+2X=一.

1122222

D（）=（0--）2X6+1—X—+2-1X丄

211I2丿22I2丿22

39915

=++=

22888844'

⑵的可能值为1,2,3,显然+=3.

P（=1）=P（=2）=丄，P（=2）=P（'=1）=—,

2222

P（=3）=P（'=0）=—.

的分布列为：

E（）=E（3-'）=3-E（'）=3-丄=玄.

•/=-'+3,「.D（）=（-1）2D（'）=15.

14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3,气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产

的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.

（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写岀每天损失•的分布列，并求其平均值；

（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写岀的分布列.

计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？

解

（1）设•为损失数，分布列为：

3000

0.7

0.3

•£（）=3000X0.3=900（元）.

（2）设为损失数，则

P（=0）=0.7X0.8=0.56.

P（=500）=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.

P（=3000）=0.3X0.2=0.06.

分布列为：

500

3000

0.56

0.38

0.06

•£（）=0+500X0.38+3000X0.06=370

平均每天损失为370元.

T370V900,「•按天气预报作防雨处理是正确的选择.

15.（2008湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.

（1）求的分布列、期望和方差；

（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,试求a,b的值.

解

（1）•的分布列为

.£（）=0X-+1X-1+2X丄+3X-3+4X-1=1.5.

22010205

D（'）=（0-1.5）2X-+（1-1.5）2X—+（2-1.5）2X丄+（3-1.5）2X卫+（4-1.5）2X

2201020

丄=2.75.

（2）由D（）=a2D（'），得a2X2.75=11,即a=±2.

又E（）=aE（'）+b,

所以当a=2时，由1=2X1.5+b,得b=-2.

当a=-2时，由1=-2X1.5+b,得b=4.

小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白

鼠服用A有效的概率为-，服用B有效的概率为^.

（1）求一个试验组为甲类组的概率；

（2）观察3个试验组，用•表示这3个试验组中甲类组的个数，求'的分布列和数学期望.

解

（1）设Ai表示事件一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，Bi表示事件一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.

依题意有

P（A1）=2X丄X2=-,

339

224

P（A2）=-X-=4.

339

P（Bo）=X=

P（Bi）=2X丄X-=-.

222

所求的概率为

P=P（BoAi）+P（BoA2）+P（BiA2）

1414144

=X—+—X—+—X—=—.

4949299

（2）■的可能值为0,1,2,3,且■〜B（3,-）.

100

243

p（=1）=

243

'的分布列为

125

100

729

243

729

数学期望E（'）=0X125

729

+1X

100

243

+2X

243

+3X

729

11.（2008全国I理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病.下面是两

种化验方案：

方案甲：

逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙:

先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈

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