圆中常作哪些辅助线.docx
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圆中常作哪些辅助线
圆中常作哪些辅助线?
通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？
现把一些规律总结如下：
弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.
一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.
例1.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求
P
C
MO
N
证：
PM•PN=2PO2.
1
分析：
要证明PM•PN=2PO²，即证明PM•PN=PO
AB2
²，
1
过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理PN=PC，只需证明
2
。
⨯。
。
∆PMO
PM•PC=PO²，由PO=PM
，“三点定型”法可判断需证明Rt△POC∽Rt△PMO.
。
。
⨯∆POC
PCPO
1
证明:
过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN
2
∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.
又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.
∴PO=
PC
PM
，即∴PO2=PM•PC.
PO
1
∴PO2=PM•PN，∴PM•PN=2PO2.
2
二、连结半径
圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：
“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.
例2．已知：
△ABC中，∠B=900，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC与D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.
求证:
CD的长.C
D
分析：
D为切点，连结DO，∠ODA=900.根据切线长定理A
EOB
CD=CB.DO=EO=半径r，在Rt△ADO中根据勾股定理或
Rt△ADO~Rt△ABC，求出CD.
证明:
连结DO
∴OD⊥AC于D,∴∠OCP=900.
∵AB过O点,∠B=900.
∴BC为⊙O的切线,∴CD=CB设CD=CB=x,DO=EO=y
在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，AD=2，AE=1
3
∴（1+y）2=22+y2,∴y=
2
33
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（2+x）2=（1++）2+x2,∴x=3
22
∴CD=3.
三、连结公共弦
D
A
O1
P
O2
B
在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把
C2
E
“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
例3．已知：
如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分别和⊙O2相交于点D、E，求证：
AD=BE.
分析：
⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.
证明：
连结AB交O2O1于P点，
∵O1O2⊥AB且O1O2的平分AB
∴CA=CB
∴∠ACP=∠BCP
∴点O2到线段AD、CE的距离相等
∴AD=BE.
四、作连心线
两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.
B
P
A
E
例4．已知：
如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r和⊙B的半径为3r,CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，求：
（1）CD的长；
（2）CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.
解：
连结AB、AC、BD
CD
∵⊙A和⊙B外切于P点，∴AB过P点
∵CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，
∴AC⊥CD，BD⊥CD
过A点作AE⊥BD于E，则四边形ACDE为矩形.
∴DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r
在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r
AB2-BE2
∴AE=
==2r.
16r2-4r2
3
3
∴CD=2r.
BE2r1
∴COSB==
AB4r
=，∴∠B=600.
2
∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=900+300=1200.
∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP
3
3
3111
=4r2－πr2－πr2=（4－π）r2.
236
五、作公切线
分析：
相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如本题中，所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.
例５．已知：
⊙O1和⊙O2外切于点A，ＢＣ是⊙M
O1和⊙O2外公切线，Ｂ、Ｃ为切点.求证：
ＡＢ⊥AＣ证明：
过切点Ａ作公切线ＭＮ交ＢＣ于Ｐ点，
∵ＢＣ是⊙O1和⊙O2外公切线，
∴ＰＢ＝ＰＡ＝ＰＣ
∴∠PBA=∠PAB，∠PAC=∠PCA
∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA=1800.
∴∠BAC=900.
∴ＡＢ⊥AＣ.
AO2
O1
BPCN
六、切线判定分两种：
公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是：
“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：
（1）直线经过半径的外端，
（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂
线，证明垂足到圆心的距离等于半径.
D
F
2
1
E
3.
O
例6．已知：
如图，AB是半圆的直径，AD⊥AB于A，BC
C
⊥AB于B，若∠DOC=900.求证：
DC是半圆的切线.
AB
分析：
DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作
OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证
OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，如何证明△DEO≌△DAO呢？
证明：
作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.
又∵∠DOC=900.
∴FO=FD
∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB，BC⊥AB,
∴BC∥AD,
∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD.
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线.
∵OA⊥DA，OE⊥DC，
∴OA=OE=圆的半径.
∴DC是半圆的切线.
2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定
C
D
O
定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例7．AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC
AB
平行于弦AD，求证：
CD是⊙O的切线.
分析：
D在⊙O上，“有点连圆心”，连结DO，证明DO⊥DC即可.
证明：
连结DO，∵OC∥AD
∴∠DAO=∠COB，∠DAO=∠DOC
∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO
∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC为⊙O的切线，切点为B
∴∠OBC=900，
∴∠ODC=900，又D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线.
[课后冲浪]
B
A
O
C
D
一、证明解答题
P
16．已知：
P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、
D，且AB=CD.求证：
PO平分∠BPD．
..
A
AB
o
17．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在
上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.
M
CNB
18．已知：
□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：
AD也和
⊙O相切..
O
AD
B
EC
19．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠
NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：
当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？
请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
DN
20．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆OC
MPAQ
的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.
O
.
CB
A
21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为
F.求证：
DE=CF.
C
F
O
E
D
AB
22．如图，O2是⊙O1上的一点，以O2为圆心，O1O2为半径作一个圆交⊙O1于
C，D．直线O1O2分别交⊙O1于延长线和⊙O1，⊙O2于点A与点
O1
.
.
O2
C
B．连结AC，BC．⑴求证：
AC=BC；⑵设⊙O1的半径为r，求AC
AB
的长．⑶连AD，BD，求证：
四边形ADBC是菱形；⑷当r=2时，求
D
菱形ADBC的面积．
O
8D
23．已知：
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙OA
于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：
OE//AC.
F
BEC
三、探索题
24．已知：
图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：
（1）DC是⊙O的切线，
（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？
并说明理由.
C
D
P
A
E
O
C
D
A
O
BB
ͼaͼb
9
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