自动控制系统的稳定性和稳态误差分析.docx
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自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
实验二自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
一、实验目的
1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；
2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；
3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务
1、稳定性分析
欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
，用MATLAB编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB命令窗口写入程序代码如下：
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k=0.2
Go=zpk（z,p,k）
Gc=feedback（Go,1）
Gctf=tf（Gc）
dc=Gctf.den
dens=poly2str（dc{1},'s'）
运行结果如下：
dens=
s^4+4.2s^3+3.95s^2+1.25s+0.5
dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：
den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]
p=roots（den）
运行结果如下：
p=
-3.0058
-1.0000
-0.0971+0.3961i
-0.0971-0.3961i
p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k=0.2
Go=zpk（z,p,k）
Gc=feedback（Go,1）
Gctf=tf（Gc）
[z,p,k]=zpkdata（Gctf,'v'）
pzmap（Gctf）
grid
运行结果如下：
z=
-2.5000
p=
-3.0058
-1.0000
-0.0971+0.3961i
-0.0971-0.3961i
k=
0.2000
输出零极点分布图如图3-1所示。
图3-1零极点分布图
（2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
，当取
=1，10，100用MATLAB编写程序来判断闭环系统的稳定性。
只要将
（1）代码中的k值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k变化对系统稳定性的影响。
Matlab程序：
求出系统的特征多项式
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k1=1
k2=10
k3=100
Go1=zpk（z,p,k1）
Go2=zpk（z,p,k2）
Go3=zpk（z,p,k3）
Gc1=feedback（Go1,1）
Gc2=feedback（Go2,1）
Gc3=feedback（Go3,1）
Gctf1=tf（Gc1）
Gctf2=tf（Gc2）
Gctf3=tf（Gc3）
dc1=Gctf1.den
dc2=Gctf2.den
dc3=Gctf3.den
dens1=poly2str（dc1{1},'s'）
dens2=poly2str（dc2{1},'s'）
dens3=poly2str（dc3{1},'s'）
由此可得：
dens1=
s^4+4.2s^3+3.95s^2+2.05s+2.5
dens2=
s^4+4.2s^3+3.95s^2+11.05s+25
dens3=
s^4+4.2s^3+3.95s^2+101.05s+250
求系统的闭环极点：
dens1=[1,4.2,3.95,2.05,2.5]
dens2=[1,4.2,3.95,11.05,25]
dens3=[1,4.2,3.95,101.05,250]
p1=roots（dens1）
p2=roots（dens2）
p3=roots（dens3）
由此得出：
P1=
-3.0297
-1.3319
0.0808+0.7829i
0.0808-0.7829i
P2=0.6086+1.7971i
0.6086-1.7971i
-3.3352
-2.0821
P3=1.8058+3.9691i
1.8058-3.9691i
-5.3575
-2.4541
每个系统都有两个不是负实部，所以k=1,10,100时的这三个系统均不稳定。
总的matlab程序：
当k=1时：
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k=1
Go=zpk（z,p,k）
Gc=feedback（Go,1）
Gctf=tf（Gc）
[z,p,k]=zpkdata（Gctf,'v'）
pzmap（Gctf）
grid
当k=10时：
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k=10
Go=zpk（z,p,k）
Gc=feedback（Go,1）
Gctf=tf（Gc）
[z,p,k]=zpkdata（Gctf,'v'）
pzmap（Gctf）
grid
当k=100时：
z=-2.5
p=[0,-0.5,-0.7,-3]
k=100
Go=zpk（z,p,k）
Gc=feedback（Go,1）
Gctf=tf（Gc）
[z,p,k]=zpkdata（Gctf,'v'）
pzmap（Gctf）
grid
2、稳态误差分析
（1）已知如图3-2所示的控制系统。
其中
，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。
图3-2系统结构图
从Simulink图形库浏览器中拖曳Sum（求和模块）、Pole-Zero（零极点）模块、Scope（示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图3-3所示。
图中，Pole-Zero（零极点）模块建立
，信号源选择Step（阶跃信号）、Ramp（斜坡信号）和基本模块构成的加速度信号。
为更好观察波形，将仿真器参数中的仿真时间和示波器的显示时间范围设置为300。
图3-3系统稳态误差分析仿真框图
信号源选定Step（阶跃信号），连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输出图形如图3-4所示。
图3-4单位阶跃输入时的系统误差
信号源选定Ramp（斜坡信号），连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输出图形如图3-5所示。
图3-5斜坡输入时的系统误差
信号源选定加速度信号，连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输出图形如图3-6所示。
图3-6加速度输入时的系统误差
从图3-4、3-5、3-6可以看出不同输入作用下的系统的稳态误差，系统是II型系统，因此在阶跃输入和斜坡输入下，系统稳态误差为零，在加速度信号输入下，存在稳态误差。
（2）若将系统变为I型系统，
，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信号输入作用下，通过仿真来分析系统的稳态误差。
㈠、阶跃输入：
阶跃输入的仿真图
阶跃输入的响应
㈡、斜坡输入
斜坡输入响应的仿真图
斜坡输入的仿真波形
㈢、加速度信号输入
加速度信号输入的仿真图
加速度信号输入的仿真波形
3、编程求稳态误差方法
sys=tf（[5],[1,10,0]）;
Css=dcgain（sys）;
结果如下Css=Inf
例1已知传递函数为：
利用以下MATLAB命令可得阶跃响应曲线如图14所示。
图14MATLAB绘制的响应曲线
>>num=[0,0,25];
den=[1,4,25];
step（num,den）
grid %绘制网格线。
title（¹Unit-StepResponseofG（s）=25/（s^2+4s+25）¹）%图像标题
我们还可以用下面的语句来得出阶跃响应曲线
>>G=tf（[0,0,25],[1,4,25]）;
t=0:
0.1:
5; %从0到5每隔0.1取一个值。
c=step（G,t）; %动态响应的幅值赋给变量c
plot（t,c） %绘二维图形，横坐标取t,纵坐标取c。
Css=dcgain（G） %求取稳态值。
系统显示的图形类似于上一个例子，在命令窗口中显示了如下结果
Css=
1
3、实验体会
通过这次实验，我熟悉了高阶系统的稳定性的判断，进一步验证了验证稳定判据的正确性。
不但了解了系统增益变化对系统稳定性的影响，也更深刻的练习了MATLAB软件。
这在以后的学习中有很大的帮助。
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