工程力学第7章 弯曲强度答案.docx
《工程力学第7章 弯曲强度答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学第7章 弯曲强度答案.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
工程力学第7章弯曲强度答案
第7章弯曲强度
7－1直径为d的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E。
根据d、ρ、E可以求得梁所承受的力偶矩M。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
（A）
4
M＝Eπd
习题7－1图
（B）
64ρ
M＝64ρ
（C）
Eπd4
3
M＝Eπd
（D）
32ρ
M＝32ρ
Eπd3
正确答案是A。
7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
（A）细长梁、弹性范围内加载；
（B）弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；
（C）细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；
（D）细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是C_。
7－3长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l
5
习题7－3图
正确答案是d。
7－4悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为mm。
求：
梁的1－1截面上A、
B两点的正应力。
习题7－4图
解：
1.计算梁的1－1截面上的弯矩：
−⎜⎟
M=⎛1×103N×1m+600N/m×1m×1m⎞=−1300N⋅m
⎝2⎠
2.确定梁的1－1截面上A、B两点的正应力：
A点：
⎛150×10−3m⎞
1300N⋅m×⎜−20×10−3m⎟
A
σ=Mzy=⎝2⎠＝2.54×106Pa=2.54MPa（拉应力）
Iz
B点：
100×10-3m×（150×10-3m）3
12
1300N⋅m×⎜0.150m−0.04m⎟
⎛⎞
σ=Mzy=⎝2⎠=1.62×106Pa=1.62MPa（压应力）
I
z
B0.1m×（0.15m）3
12
7－5简支梁如图所示。
试求I-I截面上A、B两点处的正应力，并画出该截面上的正应力
分布图。
习题7－5图
（a）ACB
（b）
FRA
3.64kN⋅m
⊕
Mmax
FRB
解：
（1）求支座约束力
FRA=3.64kN,
FRB=4.36kN
习题7－5解图
（2）求I－I截面的弯矩值（见习题7－5解图b）
MI−I=3.64kN⋅m
（3）求所求点正应力
A
σ=MI-IyA
Iz
33
I=bh
z12
=75×150
12
=21.1×106mm4
yA=（75−40）=35mm
6
∴σ=−3.64×10
×35=−6.04MPa
A21.1×106
6
σ=3.64×10
×75=12.94MPa
B21.1×106
7－6加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为mm。
其操作臂由两根无缝
钢管所组成。
外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重FP＝2200N，平均分配到两根钢管上。
求：
梁内最大正应力（不考虑钢管自重）。
习题7－6图
解：
1．计算最大弯矩：
−33
Mmax=−2200N×2395×10m=−5.269×10N⋅m
2．确定最大正应力：
σ=Mmax=
Mmax
α=
66mm
=0.611
max3
2W
σ=Mmax=
2×πD
32
（1−α4）
3
5.268N⋅m
108mm
=24.71×106Pa=24.71MPa
max2W
=π（1=08×10−3m）
2×（1−0.6114）
32
7－7图示矩形截面简支梁，承受均布载荷q作用。
若已知q＝2kN/m，l＝3m，h＝2b
＝240mm。
试求：
截面竖放（图c）和横放（图b）时梁内的最大正应力，并加以比较。
习题7－7图
解：
1．计算最大弯矩：
ql2
2×103N/m×（3m）2
Mmax
===2.25×103N⋅m
88
2．确定最大正应力：
3
平放：
σ
=Mmax=
2.25×10N⋅m×6
=3.91×106Pa=3.91MPa
max2−3
−32
hb
6
240×10m×（120×10m）
竖放：
σ
=Mmax=
2.25×103N⋅m×6
=1.95×106Pa=1.95MPa
max2−3
−32
bh
6
120×10m×（240×10m）
3．比较平放与竖放时的最大正应力：
σmax（平放）
σmax（竖放）
＝3.91
1.95
≈2.0
7－8圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。
图中尺寸单位
为mm。
已知FP＝10kN，q＝5kN/m，许用应力[σ]＝140MPa，试校核梁的强度。
20
x
M（kN.m）
30.65
解：
画弯矩图如图所示：
习题7－8图
3
σ（）
Mmax1=32×30.65×10N⋅m=113.8×106Pa=113.8MPa<[σ]
max实＝
W1
π（140×10-3m）3
σ（）
Mmax2=
32×20×103N⋅m
=100.3×106Pa=100.3MPa<[σ]
max空＝
4
⎡⎛⎞⎤
W2π（140×10-3m）3⎢1−
⎢⎣
100
⎝⎠
⎦
⎜140⎟⎥
所以，梁的强度是安全的。
7－9悬臂梁AB受力如图所示，其中FP＝10kN，M＝70kN·m，a＝3m。
梁横截面的形状及尺寸均示于图中（单位为mm），C为截面形心，截面对中性轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4，拉伸许用应力[σ]＋＝40MPa，压缩许用应力[σ]－＝120MPa。
试校核梁的强度是否安全。
解：
画弯矩图如图所示：
M（kN.m）
C截面
30
x
10
40
习题7－9图
3−3
σ
+
max
=30×10N⋅m×96.4×10m=28.35×106Pa=28.35MPa
1.02×108×10−12m4
3−3
D截面
－
σ
max
=30×10N⋅m×153.6×10m=45.17×106Pa=45.17MPa
1.02×108×10−12m4
3−3
σ
+
max
=40×10N⋅m×153.6×10m=60.24×106Pa=60.24MPa>[σ]
1.02×108×10−12m4
3−3
σ
－
max
=40×10N⋅m×96.4×10m=37.8×106Pa=37.8MPa
1.02×108×10−12m4
所以，梁的强度不安全。
7－10由No.10号工字钢制成的ABD梁，左端A处为固定铰链支座，B点处用铰链与钢制圆截面杆BC连接，BC杆在C处用铰链悬挂。
已知圆截面杆直径d＝20mm，梁和杆的许用应力均为[σ]＝160MPa，试求:
结构的许用均布载荷集度[q]。
0.5
x
M（kN.m）
0.4125
习题7－10图
解：
画弯矩图如图所示：
对于梁：
Mmax=0.5q
σ=Mmax≤[σ],
0.5q≤[σ]
maxWW
[σ]W
160×106×49×10−6
q≤==15.68×103N/m=15.68kN/m
0.50.5
对于杆：
σ
=FN≤[σ],
4FB=4×2.25q≤[σ]
maxA
πd2
πd2
πd2×[σ]
π×（20×10-3）2×160×106
q≤==22.34×103N/m=22.34kN/m
4×2.254×2.25
所以结构的许可载荷为
[q]=15.68kN/m
7－11图示外伸梁承受集中载荷FP作用，尺寸如图所示。
已知FP＝20kN，许用应力[σ]＝
160MPa，试选择工字钢的号码。
习题7－11图
解：
maxP
M=F×1m=20×103N×1m=20×103N⋅m
σmax
=Mmax
W
≤[σ],
F×1m20×103×1m
W≥P==0.125×10－3m3＝125cm3
[σ]
所以，选择No.16工字钢。
160×106Pa
7－12图示之AB为简支梁，当载荷FP直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应
力超过许用应力30％。
为减小AB梁内的最大正应力，在AB梁配置一辅助梁CD，CD也可以
8
习题7－12图
看作是简支梁。
试求辅助梁的长度a。
解：
1．没有辅助梁时
σmax
=Mmax≤[σ],
W
FPl
4=1.30[σ]
W
σmax
=Mmax≤[σ],
W
FPl（3−2a）
2=[σ]
W
FPl（3−2a）
FPl
2=4=[σ]
W1.30×W
1.30×（3−2a）=3
a=1.384m
7－13一跳板左端铰接，中间为可移动支承。
为使体重不同的跳水者站在跳板前端在
跳板中所产生的最大弯矩Mzmax均相同，问距离a应怎样变化?
习题7－13图
解：
最大弯矩发生在可移动简支点B处。
（见图a、b）
设不同体重分别为W，W+ΔW,则有，
W（l−a）=（W+ΔW）（l−a−Δa）
ABWA
a+ΔaB
W+ΔW
整理后得
a图
Δa=
ΔW
（W+ΔW）
b图
（l−a）
此即为相邻跳水者跳水时，可动点B的调节距离Δa与他们体重间的关系。
7－14利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成a=l/4。
习题7－14图
解：
双杠使用时，可视为外伸梁。
其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。
如图a、b所示。
FP
l/2
l/2
ACB
a图
FP
aaFP
ACB
b图
若将a的长度设计能达到下述情况为最经济、省工：
M+=M−，
max
max
即正负弯矩的绝对值相等，杠为等值杆。
当a=l/4时，
M
+
max
M
−
max
=FPl/4（如图a，在中间面C）；
=FPl/4（发生在图b所示受力情况下的A面或B面）。
7－15图示二悬臂梁的截面均为矩形（b×h），但（a）梁为钢质，（b）梁为木质。
试写出危
险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式，并注明其位置。
二梁的弹性模量分别为E钢、
E木。
F
PFP
习题7－15图
解：
（1）两悬臂梁均为静定梁，故应力与材料弹性常数无关。
（2）两悬臂梁均发生平面弯曲，危险面均在固定端处。
（3）钢梁：
（4）木梁：
σ
+
max
σ
−
max
=6FPlbh2
=6FPlbh2
（在固定端处顶边诸点）
（在固定端处底边诸点）
σ
+
max
σ
−
max
=6FPlhb2
=6FPlhb2
（在固定端处后侧边诸点）
（在固定端处前侧边诸点）
7－16T形截面铸铁梁受力如图所示，其截面的Iz
=2.59×10−6m4。
试作该梁的内力
图，求出梁内的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的位置。
画出危险截面上的正应力分布图。
习题7－16图
解：
（1）求支座约束力
FRA=37.5kN,
FRB=112.5kN
（2）作内力图，剪力图、弯矩图分别见习题7－16解图b、c。
（3）求所最大正应力和最小正应力
E、B两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩。
所以，两个截面均有可能是危险截面。
6
σ+=MEy2
=14×10
×142=76.8MPa（在E截面下缘）
max
I
z
2.59×107
6
σ−=MBy2=25×10
×142=−137MPa（在B截面下缘）
max
I
z
2.59×107
正应力分布图见图d。
（a）A
q
EBD
2m1m
50kN
37.5kN
⊕
（b）
⊕
Ө
y
1
62.5kN
43.6MPa
（d）
（c）
14kN·my2
⊕
Ө
25kN·m
76.8MPa137MPa
习题7－16解图
7－17发生平面弯曲的槽形截面（No.25a）简支梁如图所示。
在横放和竖放两种情况
下，（a）比较许用弯曲力偶矩mO的大小，已知[σ]=160MPa；（b）绘出危险截面上的正应力分布图。
习题7－17图
解：
（a）
FRA
2Mmax
mO
5
FRB
（b）⊕
Ө
y1
（c）
y2
3
m
5O
σ
+
max
y1
y2
−
σ
+
max
−
σ
max
σmax
习题7－17解图
（1）求支座约束力
FRA
=FRB
=mOkN
5
（2）作弯矩图见习题7－17解图b所示。
（3）竖放下的许用弯曲力偶矩mO
由型钢表查得
从b图中得：
W=269.6×103mm3
M=3mO
由强度条件
max
σmax=
5
Mmax
W
≤[σ]
3
m≤5W[σ]=5×269.6×10
×160=71.89kN⋅m
O33
（4）横放下的许用弯曲力偶矩mO：
由型钢表查得
由强度条件
W=30.61×103mm3
3
m≤5W[σ]=5×30.61×10
×160=8.16kN⋅m
O33
危险截面上的正应力分布图见图c。
7－18制动装置的杠杆用直径d=30mm的销钉支承在B处。
若杠杆的许用应力
[σ]=140MPa，销钉的剪切许用应力[τ]=100MPa，求许可载荷[FP1],[FP2]。
FP1
FP2
习题7－18图
解：
（1）求FP1与FP2的关系
杠杠平衡时有：
FP1×1000=FP2×250，
（2）作弯矩图，如图a所示
FP2=4FP1
FP1
FP2
（a）Ө
5FP1
1000FP1
（b）
5F5F
2P1
2P1
（3）梁的弯曲正应力强度条件
习题7－18解图
σmax=
Mmax
W
≤[σ]
20×603
（
20×303
−）
W=1212=1.05×104mm3
30
1000Fp1
W
≤[σ]
4
F≤W[σ]=1.05×10
×140=1.47kN
P11000
1000
∴FP2≤5.88kN
（4）校核销钉的剪切强度剪切强度条件：
FQ
τmax=
A
≤[τ]
其中，F
=5F
=3.675mm2
Q2P1
∴τmax
=3.675×10
3
706.86
=5.2MPa<[τ]
则，销钉安全。
（5）杠杆系统的许可载荷为
[FP1]=1.47kN，
[FP2]=5.88kN。
上一章返回总目录下一章
升级会员 