指数对数概念及运算公式.docx

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指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点

根式的概念:

1定义：

若一个数的n次方等于a（n.1,且n∙N”），则这个数称a的n次方根•即，若

χn=a,则X称a的n次方根n•1且n∙N”），

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作

_na（a0）.

2性质：

1）（na）n=a；2）当n为奇数时，n∙..an=a；

3）当n为偶数时，寤=∣aI=丿a（a色O）

j-a（acθ）

幕的有关概念：

1规定：

1）an=aa宀∙a（n^N,2）a°=1（a式0），

1、'

n个

m

3）aJ=丄（pQ,4）an=nam（a0,m、nN*且n1）

ap

2性质：

1）aras=ars（a.0,r、s∙Q）,

rSrS

2）（a）=a（a0,r、SQ），

3）（ab）r=arbr（aaO,baO,rEQ）

（注）上述性质对r、s∙R均适用∙

例求值

21_3

（1）83

（2）252（3）G）（4）（81）

例.用分数指数幕表示下列分式

（其中各式字母均为正数）

（2）

（3）

令（a-b）2

（6）4（a3b3）2

（1）

27）^3∙（0∙002）"2-10（.5-2）」（2-、.3）°

8

（2）

（0.0273）*5-256cλ125（-32）'0.1j

（3）

3a2∙.a-■.3aj^3a13^=

2111

2a3b2'-6a'b3÷∣-3a6b

Λ丿I

（5）

指数函数的定义:

①定义:

函数y=ax（a.0,且a∕）称指数函数,

1）

函数的定义域为R

2）

函数的值域为（0,•：

：

）,

3）

当0：

.a：

1时函数为减函数，当a■1时函数为增函数.

（1）

CX芒y=2

（2）

X

y十2）

X

（3）y--2

（4）

Xy二二

（5）

2

y二X

2

（6）y=4x

（7）

X

y二X

（8）

y=（a-1）x

（a>1,且a2）

提问：

在下列的关系式中,

哪些不是指数函数，为什么?

例：

比较下列各题中的个值的大小

（1）

1.72'5与1.73

0.8a与0.8°2

0.33.1

1.7与0.9

例：

已知指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）

的图象过点（3,π）,求

f（0）,f

（1）,f（-3）的值.

思考：

已知a=0.80.7,b=0∙8cλ9,c=1∙20:

按大小顺序排列a,b,c.

例如图为指数函数

（1）y=ax,

（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

a,b,c,d与1的大小关系为

（A）a：

：

b：

：

1：

：

c：

：

d

（C）1..a：

：

b：

：

c.d

（D）a：

：

b：

：

1：

：

d：

：

C

—.1

1、函数yX是（）

X1

A、奇函数B、偶函数

1

2、函数y丄的值域是（

X-1

C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

）

、-:

：

0Uo,C、-1,：

：

D、（-：

：

，-1）Uo,：

：

X

3、已知0：

：

：

a：

：

：

1,b：

：

：

-1,则函数y=a■b的图像必定不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

例•求函数

21

例若不等式3χs>

（1）x+1对一切实数X恒成立，则实数a的取值范围为

3

3XA-2χE（-°o,1]

•f（X）=」，贝Uf（X）值域为.

31」-2XWbC）

考查分段函数值域.

X1

【解析】x∈（_∞,1]时,x_1≤0,0<3≤1,

•••—2

x∈（1,+∞）时，1—x<0,0<31_X<1,•—2

∙∙∙f（x）值域为（一2,—1]

【答案】（一2,—1]

例、已知f（ex+e*）=e2x+e'x-2,则函数f（x）的值域是

例点（2,1）与（1,2）在函数fX=2axb的图象上，求fX的解析式例.设函数f（x）=2*1+xT,求使f（x）_2&的X取值范围.

例已知定义域为R的函数f（X）X2r~b是奇函数。

2+a

（[）求a,b的值;

（∏）若对任意的rR,不等式f（t2-2t）∙f（2t2-k）：

：

：

0恒成立，求k的取值范围;

对数的概念：

①定义：

如果a（a.0,且a=1）的b次幕等于N,就是ab=N,那么数b称以a为底N的

对数，记作IogaN=b,其中a称对数的底，N称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，Iog10N记作IgN，

2）以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称自然对数，logeN记作InN

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），

2）Ioga1=0,

3）Iogaa=I，

4）对数恒等式：

a'ogaN=N

例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式

4

（1）5=645

⑵2”1

1

（3）（―）J5.73

64

3

（5）Iog100.01二-2

（6）loge10=2.303

（2）logX8=6

2

（3）Ig100=X（4）-Ine=x

（4）Iog116=乂

2

例：

求下列各式中X的值

2

（I）Iog64X

3

分析：

将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.

练习：

将下列指数式与对数式互化，有X的求出X的值

1

（1）5三

75

4

（2）log2=X

（3）3x=

1

27

（4）

（1）x=64

4

5

（5）Ig0.0001=X（6）Ine=X

例利用对数恒等式alogaN=N,求下列各式的值:

（1）（!

）log43.

（1）log54_（!

）log35

453

logI4logI2

（2）33亠10log0Q12_77

（4）2log412-3log927∙5"253

3运算性质：

如果a∙O,a=O,M.0,N.0,则

1）IOga（MN）=IOgaMIQgaN;

M

2）IogaIQgaM-IOgaN；

N

3）IQgaMn=nIogaM（nR）.

4换底公式：

IQgaN=IOgmn（a.0,a=0,mO,m",NO）,

Iogma

1）IogabIogba=1,2）Iogtτιbn=-Iogab.

a

对数函数的运算规律

例.用IogaX，Iogay,IOgaZ表示下列各式:

（1）Iogaxy；

Z

解:

（1）Ioga

Z

=Ioga（Xy）-IogaZ

（2）

=logaxlogayTogaZ；

ioga（x2'.y）-loga3Z

=IOgaX2Ioga、、y-g3z

11

=2logax-Ioga^3IogaZ.

例.求下列各式的值:

（1）log?

4725；

（2）lg5,100

75

解：

（1）原式=Iog24Iog22=7log245log22=7251=19；

1222

（2）原式=-∣g102Ig10=-

555

例.计算：

（1）Ig14-21g7Ig7-Ig18；3

（S）1

（2）

Ig243

Ig9

⑷∣g2

•Ig50+（lg5）

（5）lg25+lg2∙Ig50+（lg2）

解：

（1）

Ig14一2lg1lg7一Ig18=lg（27）—2（lg7—lg3）lg7一lg（322）3

^lg2lg7-2lg72lg3lg7-2lg3_lg2=0；

例.

解:

例.

（2）

计算:

5

lg243lg35lg3

lg9

lg32

2lg3

（1）

严空3；

（2）log43log92log2432•

（1）原式=

5-15•

1；

3

5.

115

jog?

3J0g324log22二求值：

⑴Q%3+l%3）Qo幻2+咖2）；

（2）原式=

（2）

拖S

（3）⑶

例.求值

（1）

log89∙log2732

I-9

5

Og

1-8

3log125

2

Og

2

3

■4

IOg2QOg232+1OgI-+log436）

⑶J

（4）（log2125+log425+log85）（log1258+log2s4+log52）

对数函数性质典型例题

例•比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5；

（2）Iog0.3l.8，logo.a2.7；

解：

（1）对数函数y=log2x在（0,=）上是增函数，

于是log23.4：

：

log28.5；

（2）对数函数y=log0.3X在（0,•：

：

）上是减函数,

于是Iog0.3l∙8>logo.32∙7；

2、比较大小

（1）log24

2

I0g2（aa1）⑵

loga■:

Iogae,（a.1）

3若loga（a21）：

：

：

Ioga2^：

：

0,则a的取值范围是（）

11

（A）（0,1）（B）（0,—）（C（—,1）（D）（1,

22

4已知a=logo.70.8,b=log1.1O∙8,c=1.107,贝ya,b,c的大小关系是（）

（A）a：

：

b.C（B）ba：

：

C（C）Cab（D）bc.a

例比较下列各组数中的两个值大小：

（1）log23.4,Iog28.5

（2）log0.31.8,Iog0.32.7

（3）loga5.1,loga5.9（a>0且a≠1）

c,d与1的大小关系?

.•••0VCV

提示：

作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数

dv1Vavb

例求下列函数的定义域.

x-k∙2x）（a>0且a≠1,k∈R）.

例•求函数y=Iog1（χ2-2x-3）的单调区间

2

解：

设y=logIU,U=X-∙2x-∙3,由U∙0得X-∙2x-∙3■0,知定义域为

2

2

（―n,T）-∙（3,r）又U=（XT）-4,则当χ∙（-"',T）时，u是减函数；当χ∙（3,v）

时，U是增函数，而y=Iog1U在R•上是减函数

2

（x2二X£）

-y=log1的单调增区间为（-:

-I），单调减区间为（3，■二）

2

例函数y=log°.52X—Iog°.5X+2的单调减区间是。

2

例已知y=log4（2x+3—X）.

（1）求定义域；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求y的最大值，并求取最大值时X值.

考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值•

2

【解】

（1）由2x+3—x>0,解得—1

∙∙∙f（X）定义域为{x∣—1

（2）令u=2x+3—X,则u>0,y=log4U

由于u=2x+3—X2=—（X—1）2+4

再考虑定义域可知，其增区间是（一1,1）,减区间是[1,3）

又y=log4U为（0,+∞）增函数，

故该函数单调递增区间为[一1,门，减区间为[1,3）

（3）τu=2x+3—X2=—（X—1）2+4≤4

∙y=log4u≤log44=1

故当X=I时，U取最大值4时，y取最大值1.

例求函数y=log3（x2∙6x•10）的最小值.

2

变式•求函数f（x）=lg（-X∙8χ-7）的定义域及值域.

例已知函数y=f（2x）定义域为[1,2],则y=f（log2X）的定义域为（）

A.:

1,2]B.:

4,16]C.[0,1]D.（—∞,0]

考查函数定义域的理解•

【解析】由1≤x≤2=∙2≤2x≤4,

∙y=f（x）定义域为[2,4]

由2≤log2X≤4,得4≤x≤16

【答案】B

例作出下列函数的图像，并指出其单调区间.

（i）y=lg（—x）,⑵y=log2区+1|

（3）y=|logi（x—1）∣,（4）y=log2（1—x）.

2

例已知函数f（t）=log2t,t[2,8].

（1）求f（t）的值域G

（2）若对于G内的所有实数X,不等式—χ2+2mx-m+2n≤1恒成立，求实数m的取值范围•

例已知函数f（X）=lg1一24-,其中a为常数，若当X∈（-∞,1］时，f（X）有意义,

a2—a+1

求实数a的取值范围.

分析：

参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常

困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元（X）的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”

XX

124a2…1.23_

解:

2>0,且a—a+1=（a—）+>0,

a—a+124

XX11∖

•1+2+4∙a>0,a>—（——+——）

4x2x,

11

当X∈（—∞,1］时，y==与y=X都是减函数,

42

_3

ma>=——

4

111

••y=-（rX）在（-∞,1］上是增函数，-（飞

424

33

∞）.

•a>—-,故a的取值范围是（一-

a

a2-1

4

例已知a>0且a≠1,f（logaX）=

⑴

⑵⑶解：

求f（x）；

—m）+f（1

m2）<0,求m的集合M.

判断f（x）的奇偶性与单调性；

对于f（x）,当X∈（—1,1）时，有f（1

aX—X

2（ax-a^）,（xR）.

（1）令t=logax（t∈R）,则

x=at,f（t）2a（at-a"t）,.f（x）2d

a-1a-1

⑵f（—X）=害（a»-aX）=-f（X）,且XRrf（x）为奇函数当a1时,-^0,

a-1a-1

U（X）=ax-a»为增函数，当0：

：

：

a：

：

：

1时,类似可判断f（x）为增函数综上,无论a-1或0.a：

：

1,f（x）在R上都是增函数.

（3）f（1-m）f（1-m）<0,f（x）是奇函数且在R上是增函数,f（1_m）：

：

f（m-1）又

X（-1,1）

T：

：

1「m：

：

1

二*Tvm2T<1=1Vm<42.

1—m

1IX

例已知函数f（χ）Iog2,求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

X1-X

例、已知函数

f（X）=lgkxJ（kR且k.0）∙

X—1

（I）求函数

f（x）的定义域；（∏）若函数f（x）在［10,+∞）上单调递增，求k的取值范

围.

1函数f（x）

3x2

:

lg（3x1）的定义域是

I-X

D.

（^Dcl—1）

（,3）

2..已知函数f（X）则

=Ig（2x-b）（b为常数）

若x∈[1,+∞]时,

f（X）≥0恒成立,

Ab≤1

B.bv1

Cb≥1

D.

函数y=X22x-3的单调递减区间为

A.（-∞,-3）B.（-∞,-1）

设f（X）是定义在A上的减函数，且f（X）>0,则下列函数:

C:

1,+∞]

[—3,-1]

y=3-2f（X）,y=1+2

D.

f（x）,y=f2

5、

.若集合M={y|y=2—x},P={y|y=.x-1},M

∩P=

6、

a.{y∣y>1}

B.{y|y≥1}

C.{y|y>0}D.{y|y

≥0}

设y^40.9,y2

f1）^x5

二严右2,则

y3y1y

B、Y2Y1Y3

、y1y3y2

、y1

7、

在b=log（aN）（5-a）中，实数a的取值范围是

a5或a:

2B、2a-3或3a5C

、2a：

：

5D

8、已知函数

f（n）二

n-3

.f[f（n+5）]

门一10,其中n∙N,则f（8）的值为（

n：

：

10

（A）2

（B）4

（C）6

（D）7

9、

10.当a>0且a≠1,X>0,y>0,n∈N*,下列各式不恒等的是

Xa

函数y=[*（0凸）的图象的大致形状是

A.loganX=IlogaX

n

B.

Iogax=nloganX

11

A.

12

CXlogax=X

!

°g^9的值是（

log23

函数f（x）=ln

-D.2

2

2

X--零点所在的大致区间是

X

A（1,2）B

（2，3）C（e，+∞）

logaχn+logayn=n（Iogaχ+logay）

（I）

匹,和3'4）

13.若关于X的不等式X2-4x_m对任意[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是

A.m_—3或m_0B.「3乞m岂0

C.m】：

一3D.m_-3

14.函数y=Iog1（2x2-3x1）的递减区间为

2

——31——1

A.（1,+--）B.（—--,—]C.（,+■-）D.（—--,—]

422

15.如果f（X）是定义在R上的偶函数，它在[0「：

）上是减函数，那么下述式子中正确的是

33

A.f（——）乞f（a2—a1）B.f（——）一f（a2—a1）

44

Cf（-3）=f（a2-a1）D.以上关系均不确定

4

16.函数f（x）、f（X2）均为偶函数，且当X∈[0,2]时，f（x）是减函数，设

a=f（logs—）,b=f（7.5），c=f（-5）,则a、b、C的大小是

2

C.bacD.Cab

A.abCB.aCb

XIg5∣jg7=0的两根是：

■/■,则：

U的值是（

17、如果方程lg2X（lg5lg7）lg

AIg5[jg7

Blg35

C35

1

35

18、已知log7[log3（log2x）]=0,

1

那么XP等于（

19.三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是

（A）0.76

0.76<60∙7

0.76

（C）log0.76c6<0.7（D）

60.7

log0.76c0.7<6

1

20、函数yX的值域是（

2x—1

-:

:

1B

I—c,oU°，二C、[-1,二

D、（■J-1）U0,+0C

（x）,y=1-f（χ）,其中增函数的个数为

D.4