小学数学常用的巧算和速算方法集锦.docx

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小学数学常用的巧算和速算方法集锦

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  在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？

这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。

速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。

第一部分常用技巧

（一）凑整先算法

加法、减法的简便计算中，基本思路是“凑整”，根据加法（乘法）的交换律、结合律以及减法的性质，其中若有能够凑整的，可以变更算式，使能凑整的数结成一对好朋友，进行凑整计算，能使计算简便。

例：

298+304+196+502，本题可以运用加法交换律和结合律，把能够凑成整十、整百、整千……的数先加起来，可以使计算简便，因此原式=（298+502）+（304+196）=800+500=1300。

（二）符号搬家法

在加减混合，乘除混合同级运算中，可以根据运算的需要以及题目的特点，交换数字的位置，可以使计算变得简便。

特别提醒的是：

交换数字的位置，要注意运算符号也随之换位置。

例：

464-545+836-455，观察例题我们会发现，如果按照惯例应该从左往右计算，464减545根本就不够减，在小学阶段，学生没办法做，所以要想做这道题，学生必须先观察数字特点，进行简便计算，按照符号搬家法，原式=464+836-545-455=1300-（545+455）=300。

（三）拆数凑整法

根据运算定律和数字特点，常常灵活地把算式中的数拆分，重新组合，分别凑成整十、整百、整千。

例：

998+1413+9989，给998添上2能凑成1000，给9989添上11凑成10000，所以就把1413分成1400、2与11三个数的和，按照拆数凑整法，原式=（998+2）+1400+（11+9989）=1000+1400+10000=12400。

（四）找基准数法

许多数相加，如果这些数都接近某一个数，可以把这个数确定为一个基准数，将其他的数与这个数比较，在基准数的倍数上加上多余的部分，减去不足的，这样可以使计算显得十分简便。

例：

8.1+8.2+8.3+7.9+7.8+7.7，例题中6个加数都在8的附近，可用8作为基准数，先求出6个8的和，再加上比8大的数中少加的那部分，减去比8小的数中多加的那部分，如果按照该方法，那么原式=8×6+0.1+0.2+0.3-0.1-0.2-0.3=48+0=48。

（五）等值变化法

等值变化是小学数学中重要的思想方法。

做加法时候，常常利用这样的恒等变形：

一个加数增加，另一个加数就要减少同一个数，它们的和才不变。

而减法中，是被减数和减数同时增加或减少相同的数，差才不变。

例：

1234-798，把798看作800，减去800后，再在所得差里加上多减去的2，按照此方法，原式=1234-800+2=436。

（六）去括号法

在加减混合运算中，括号前面是“加号或乘号”，则去括号时，括号里的运算符号不变；如果括号前面是“减号或除号”，则去括号时，括号里的运算符号都要改变。

例：

（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）首先根据“去括号原则”把括号去掉，然后根据“在同级运算中每个数可带着它前边的符号‘搬家’”进行简算，那么，原式=4.8×7.5×8.1÷2.4÷2.5÷2.7=（4.8÷2.4）×（7.5÷2.5）×（8.1÷2.7）=2×3×3=18。

（七）提取公因数法

乘法分配率的反应用，出错率比较高，一般包括三种类型。

第一，直接提取。

例：

3.65×23+3.65×77，这道题比较简单，利用乘法分配律的反向应用，直接提取公因数3.65，那么，原式=3.65×（23+77）=3.65×100=365。

第二，省略×1的题目。

例：

6.3×101-6.3，把算式补充完整，6.3×101-6.3×1，学生就很容易看出两个乘法算式中有相同的因数6.3，原式=6.3×（101-1）=6.3×100=630。

第二部分例题解析

一、“凑整”先算1.计算：

（1）24+44+56

（2）53+36+47

　　解：

（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124

　　这样想：

因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.

（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136

　　这样想：

因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.

2.计算：

（1）96+15

（2）52+69

　　解：

（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：

把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.

（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：

因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.

3.计算：

（1）63+18+19

（2）28+28+28

　　解：

（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：

将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.

（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：

因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.

　　二、改变运算顺序：

在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变　　

计算：

（1）45-18+19

（2）45+18-19

　　解：

（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：

把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.

（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：

加18减19的结果就等于减1.

三、计算等差连续数的和　　

相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

1，2，3，4，5，6，7，8，9

1，3，5，7，9

2，4，6，8，10

3，6，9，12，15

4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=5×9 中间数是5

=45 共9个数　　

（2）计算：

1+3+5+7+9

=5×5 中间数是5

=25 共有5个数　　（3）计算：

2+4+6+8+10

=6×5 中间数是6

=30 共有5个数　　（4）计算：

3+6+9+12+15

=9×5 中间数是9

=45 共有5个数　　（5）计算：

4+8+12+16+20

=12×5 中间数是12

=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

（2）计算：

3+5+7+9+11+13+15+17

=（3+17）×4=20×4=80

　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

　　（3）计算：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

=（2+20）×5=110

　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.

四、基准数法　　

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

　　解：

仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=123

6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：

102+100+99+101+98

　　解：

方法1：

仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.

102+100+99+101+98

=100×5+2+0-1+1-2=500

　　方法2：

仔细观察，可将5个数重新排列如下：

（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5. 

　　加法中的巧算1.什么叫“补数”？

　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

　　如：

1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：

11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：

 87655→12345， 46802→53198，87362→12638，…下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

例1 巧算下面各题：

①36+87+64②99+136＋101③ 1361＋972＋639＋28

解：

①式=（36＋64）＋87=100＋87=187

②式=（99＋101）＋136=200+136=336

③式=（1361＋639）＋（972＋28）=2000+1000=3000

3.拆出补数来先加。

　　例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）　　＝200+861=1061

②式=（548-4）＋（996＋4）=544+1000=1544

③式=（9898＋102）＋（203-102）=10000+101=10101

4.竖式运算中互补数先加。

五、减法中的巧算

1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例 ① 300-73-27

② 1000-90-80-20-10

　　解：

①式=300-（73＋ 27）　　＝300-100=200

②式=1000-（90＋80＋20＋10）　　＝1000-200＝800

2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

　　例4① 4723-（723＋189）② 2356-159-256

解：

①式=4723-723-189＝4000-189=3811

②式=2356-256-159＝2100-159=1941

3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

例 5 ①506-397②323-189

③467＋997④987-178-222-390

解：

①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）=109②式=323-200+11（把多减的11再加上）=123+11＝134③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）　　＝1464④式=987-（178＋222）-390＝987-400-400+10=197

　　五、加减混合式的巧算

1.去括号和添括号的法则　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

a-（b-c）＝a-b+c

例6 ①100＋（10＋20＋30）② 100-（10＋20+3O）③ 100-（30-10）　　解：

①式=100＋10＋20＋30=160

②式=100-10-20-30=40

③式=100-30＋10＝80

例7 计算下面各题：

① 100＋10＋20＋30② 100-10-20-30③ 100-30＋10

解：

①式=100＋（10+20+30）=100＋60=160

②式=100-（10＋20+30）　　＝100-60=40

③式=100-（30-10）=100-20=80

2.带符号“搬家”

例8 计算 325＋46-125＋54

　　解：

原式=325-125＋46+54＝（325-125）+（46＋54）=200+100＝300

　　注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-9＋3

　　解：

原式=9-9＋2+3=5

4.找“基准数”法　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10 计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

　　＝640

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2=1025×4=100125×8=1000

例1 计算①123×4×25

② 125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）=123×100＝12300

②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=1000000

2.分解因数，凑整先乘。

　　例 2计算① 24×25

② 56×125

③ 125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）=6×100=600

②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000

③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000

3.应用乘法分配律。

例3 计算① 175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）=175×100=17500②式=67×（12＋35＋52＋1）　　＝ 67×100＝6700（原式中最后一项67可看成 67×1）　　例4 计算① 123×101 ② 123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

②式=123×（100-1）=12300-123=12177

4.几种特殊因数的巧算。

例5 一个数×10，数后添0；　　一个数×100，数后添00；　　一个数×1000，数后添000；　　以此类推。

如：

15×10=150

15×100=1500

15×1000＝15000

例6 一个数×9，数后添0，再减此数；　　一个数×99，数后添00，再减此数；　　一个数×999，数后添000，再减此数； …

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

12×99＝1200－12＝1188

12×999＝12000-12=11988

例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

如：

6×5＝3016×5＝80116×5=580。

例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如 2222×11＝24442

2456×11＝27016

例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为24×15

　　＝ 24×（10+5）　　＝24×（10＋10÷2）=24×10+24×10÷2（乘法分配律）　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）例10 个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

25×25=2×（2+1）×100+25=625

35×35=3×（3+1）×100+25=1225

45×45=4×（4+1）×100+25=2025

55×55=5×（5+1）×100+25=3025

65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

85×85=8×（8+1）×100+25=7225

95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算1.在除法中，利用商不变的性质巧算　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11 计算①110÷5②3300÷25

③ 44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）　　＝220÷10=22

②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）　　＝13200÷100＝132

③ 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）　　＝352000÷1000＝352

2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

=16×27

=432

3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13①13÷9＋5÷9 ②21÷5-6÷5

③2090÷24-482÷24

④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

=18÷9＝2

②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

　　＝72÷12=6

4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c 从左往右看是去括号，a÷（b×c）＝a÷b÷c 从右往左看是添括号。

a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14 ①1320×500÷250

②4000÷125÷8

③5600÷（28÷6）④372÷162×54

⑤2997×729÷（81×81）　　解：

① 1320×500÷250＝1320×（500÷250）=1320×2＝2640

②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）　　＝4000÷1000＝4

③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

=200×6=1200

④372÷162×54=372÷（162÷54）　　＝372÷3＝124

⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

　　＝333

例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999

　　解：

在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

9＋99＋999＋9999＋99999

　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5

　　＝111110-5

　　＝111105.

例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19

　　解：

此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200） 199999＋19999＋1999＋199＋19

　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5

　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5

　　＝222220-5

　　＝22225.

例3 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）　　解法2：

先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：

　　从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：

　　从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

1990×497＋995—1990×497＝995.

例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　解法1：

认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.

389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝390×7—1—3—7—5—6—4—

　　＝2730—28

　　＝2702.

　　解法2：

也可以选380为基准数，则有 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8

　　＝2660＋42

　　＝2702.

例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　解：

认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.

（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6

　　＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运　　＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）　　＝4940＋1

　　＝4941.

例6 计算54＋99×99＋45

　　解：

此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.

54＋99×99＋45

　　＝（54＋45）＋99×99

　　＝99＋99×99

　　＝99×（1＋99）　　＝99×100

　　＝9900.

例7 计算 9999×2222＋3333×3334

　　解：

此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.

9999×2222＋3333×3334

　　＝3333×3×2222＋3333×3334

　　＝3333×6666＋3333×3334

　　＝3333×（6666＋3334）　　＝3333×10000

　　＝33330000.

例81999＋999×999

　　解法1：

1999＋999×999

　　＝1000＋999＋999×999

　　＝1000＋999×（1＋999）　　＝1000＋999×1000

　　＝1000×（999＋1）　　＝1000×1000

　　＝1000000.

　　解法2：

1999＋999×999

　　＝1999＋999×（1000-1）　　＝1999＋999000-999

　　＝（1999-999）＋999000

　　＝1000＋999000

　　＝1000000.

练习题

一、直接写出计算结果：

①1000-547

②100000-85426

③11111111110000000000-1111111111

④78053000000-78053

二、用简便方法求和：

①536+（541+464）+459

②588＋264＋148

③8996＋3458＋7546

④567+558+562＋555＋563

三、用简便方法求差：

①1870-280-520