北师大版八年级数学上《第7章 平行线的证明》docx.docx

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初中数学试卷

马鸣风萧萧

《第7章平行线的证明》

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列语句中，是命题的为（　　）

A．延长线段AB到CB．垂线段最短

C．过点O作直线a∥bD．锐角都相等吗

2．下列命题中真命题是（　　）

A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角

C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角

3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（　　）

A．两条直线B．交点C．两条直线相交D．只有一个交点

4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）

A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补

5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（　　）

A．45°，45°，90°B．30°，60°，90°C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°

6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．下列四个命题中，真命题有（　　）

（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等

（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2

（3）一个角的余角一定小于这个角的补角

（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（　　）

A．∠ADC＞∠AEBB．∠ADC=∠AEB

C．∠ADC＜∠AEBD．大小关系不能确定

9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（　　）

A．50°B．65°C．80°D．95°

10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（　　）

A．42°B．58°C．80°D．100°

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=　　．

12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=　　．

13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=　　°．

14．如果一个三角形三个内角的比是1：

2：

3，那么这个三角形是　　三角形．

15．一个三角形的三个外角的度数比为2：

3：

4，则与此对应的三个内角的比为　　．

16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=　　度．

17．命题：

“同角的余角相等”的题设是　　，结论是　　．

18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为　　°．

19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　　度．

20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共30分）

21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：

△ABC是等腰三角形．

22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：

GF∥BC．

23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．

24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：

∠EPM=∠FQM．

25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．

《第7章平行线的证明》

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列语句中，是命题的为（　　）

A．延长线段AB到CB．垂线段最短

C．过点O作直线a∥bD．锐角都相等吗

【考点】命题与定理．

【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案．

【解答】解：

A，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；

B，是，因为能够判断真假，故是命题；

C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；

D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；

故选B．

【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及掌握情况．

2．下列命题中真命题是（　　）

A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角

C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角

【考点】命题与定理．

【分析】根据补角、余角的定义结合反例即可作出判断．

【解答】解：

A、两个30°角的和是60°，是锐角，不正确；

B、两个80°的角之和是160°，是钝角，不正确；

C、钝角大于90°，它的补角小于90°，正确；

D、80°锐角的余角是10°，不正确．

故选C．

【点评】可以举具体角的度数来证明．

3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（　　）

A．两条直线B．交点C．两条直线相交D．只有一个交点

【考点】直线、射线、线段．

【分析】本题考查两直线相交，有且只有一个交点的命题，题设和结论要搞清楚．

【解答】解：

两条直线相交，有且只有一个交点这一命题题设是两条直线相交，结论是有且只有一个交点，

故选C．

【点评】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，不是很难，不过做题要仔细．

4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）

A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补

【考点】平行线的性质．

【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．

【解答】解：

如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．

故选D．

【点评】如果两个的两条边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补．

5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（　　）

A．45°，45°，90°B．30°，60°，90°C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°

【考点】三角形的外角性质．

【专题】探究型．

【分析】设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，再由2x+4x=180°即可求出x的值，故可得出各内角的度数．

【解答】解：

设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，另一个内角为4x﹣x=3x，

∵2x+4x=180°，

∴x=30°，

∴2x=60°，4×30°﹣30°=90°，

∴三角形各角的度数为30°，60°，90°．

故选B．

【点评】本题主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，难度适中．

6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】平行线的判定与性质．

【分析】利用平行线的性质进行求解．

【解答】解：

∵AB⊥EF，CD⊥EF，

∴AB∥CD，

∴∠FCD=∠A，

∵∠1=∠F=30°，

∴BG∥AF，

∴∠A=∠ABG；

故选B．

【点评】考查了平行线的判定以及平行线的性质，需要熟练掌握．

7．下列四个命题中，真命题有（　　）

（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等

（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2

（3）一个角的余角一定小于这个角的补角

（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．

【分析】根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数．

【解答】解：

（1）不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

（2）正确，因为对顶角相等；

（3）正确，因为一个角的补角比它的余角大90°；

（4）正确，因为∠3的余角即∠1，则∠1与∠2互补．

所以正确有的三个，

故选：

C．

【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力．

8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（　　）

A．∠ADC＞∠AEBB．∠ADC=∠AEB

C．∠ADC＜∠AEBD．大小关系不能确定

【考点】三角形的外角性质．

【分析】利用三角形的内角和为180度计算．

【解答】解：

在△ADC中有∠A+∠C+∠ADC=180°，

在△AEB有∠AEB+∠A+∠B=180°，

∵∠B=∠C，

∴等量代换后有∠ADC=∠AEB．

故选B．

【点评】本题利用了三角形内角和为180度．

9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（　　）

A．50°B．65°C．80°D．95°

【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．

【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质计算．

【解答】解：

由题意可得，∠CAE=130°，

∴∠BAC=50°，

∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°．

故选C．

【点评】此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．

10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（　　）

A．42°B．58°C．80°D．100°

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．

【专题】计算题．

【分析】由AB∥CD，可得∠B=∠C=58°，根据三角形的内角和为180°即可求得∠AOB的值．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠B=∠C=58°；

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠A=42°，

∴∠AOB=80°．

故选C．

【点评】此题考查了平行线的性质：

两直线平行，内错角相等．还考查了三角形的内角和为180°．

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=　80°　．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】计算题．

【分析】由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，然后根据平行线的性质得∠4=∠3=80°．

【解答】解：

∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∴∠4=∠3=80°．

故答案为80°．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质：

同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=　53°20′　．

【考点】平行线的性质；垂线．

【专题】计算题．

【分析】由平行线的性质可得出∠ABC=∠DAF=36°40′，再由DF⊥AB于F，可得出∠D的值．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠DAF=36°40′，

又∵DF⊥AB，

∴∠D=90°﹣∠DAF=53°20′．

【点评】本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=　75　°．

【考点】平行线的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠2的度数．

【解答】解：

如图，∵AB∥CD，∠3=140°，

∴∠4=180°﹣140°=40°，

∵∠1=115°，

∴∠2=∠1﹣∠4

=115°﹣40°

=75°．

【点评】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．

14．如果一个三角形三个内角的比是1：

2：

3，那么这个三角形是　直角　三角形．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和等于180°和已知求出三角形的最大角的度数，即可得出答案．

【解答】解：

∵一个三角形三个内角的比是1：

2：

3，

∴这个三角形的最大内角的度数是：

180°×

=90°，

∴这个三角形是直角三角形，

故答案为：

直角．

【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角是解此题的关键，注意：

三角形的内角和等于180°．

15．一个三角形的三个外角的度数比为2：

3：

4，则与此对应的三个内角的比为　5：

3：

1　．

【考点】三角形的外角性质．

【分析】设设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可求出三个外角的度数，得到与此对应的三个内角的度数，计算即可．

【解答】解：

设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，

由题意得，2x+3x+4x=360°，

解得，x=40°，

则三个外角分别为80°、120°、160°

则对应的三个内角分别为：

100°、60°、20°，

∴与此对应的三个内角的比为5：

3：

1．

故答案为：

5：

3：

1．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．

16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=　122.5　度．

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．

【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得．

【解答】解：

∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°．

∴∠EBC+∠ECB=

=57.5°，

∴∠BEC=180°﹣57.5°=122.5°．

【点评】此题考查了三角形内角和定理，属简单题目．

17．命题：

“同角的余角相等”的题设是　如果是同角的余角　，结论是　那么这两个角相等．　．

【考点】命题与定理．

【专题】计算题．

【分析】命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论，因此可正确找出题设和结论．

【解答】解：

“同角的余角相等”可写成是“如果是同角的余角，那么这两个角相等”．

故答案为：

如果是同角的余角；那么这两个角相等．

【点评】本题考查命题的题设和结论，命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论．

18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为　90　°．

【考点】平行线的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，又知∠B=∠1，∠D=∠2，可得出∠1+∠2=∠DEF+∠DEF，由平角的定义，求出∠BED的值即可．

【解答】解：

∵AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，

又∵∠B=∠1，∠D=∠2，

∴∠1=∠BEF，∠2=∠DEF，

又∵∠1+∠BEF+∠2+∠DEF=180°，

∴∠BED=

×180°=90°．

【点评】本题主要考查运用平行线的性质的能力，主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及等量代换等知识点．

19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　90　度．

【考点】等腰直角三角形．

【分析】根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．

【解答】解：

根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．

【点评】本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．

20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是　70°　．

【考点】直角三角形的性质．

【分析】根据直角三角形两锐角互余可以得到，∠A、∠B中有一个是70°，另一个是50°，因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．

【解答】解：

如图，依题意得∠ACD=40°，∠DCB=20°，

而CD⊥AB于D，

∴∠A=50°，∠B=70°，

因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．

故填空答案：

70°．

【点评】本题主要考查的是直角三角形两锐角互余的性质，比较简单．

三、解答题（本大题共5小题，共30分）

21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：

△ABC是等腰三角形．

【考点】等腰三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】由平行线的性质可得∠2=∠C，∠1=∠B，已知∠1=∠2，从而推出∠B=∠C，根据等角对等边可得到AB=AC，即△ABC是等腰三角形．

【解答】证明：

∵AE∥BC（已知），

∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1=∠2（已知），

∴∠B=∠C（等量代换）．

∴AB=AC．

∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）．

【点评】此题主要考查平行线的性质及等腰三角形的判定；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．

22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：

GF∥BC．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】先根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠FBC，再结合已知条件和等量代换证得内错角∠FBC=∠1，从而得GF∥BC．

【解答】解：

∵BF∥DE（已知），

∴∠2=∠FBC（两直线平行，同位角相等），

∵∠2=∠1（已知），

∴∠FBC=∠1（等量代换），

∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．

【点评】本题主要考查平行线的性质及判定，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．

23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．

【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．

【专题】计算题．

【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠AEF=62°，

∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°﹣∠AEF=180°﹣62°=118°；

∵FH平分∠EFD，

∴∠EFH=

∠EFD=

×62°=31°；

又∵FG⊥FH，

∴∠GFE=90°﹣∠EFH=90°﹣31°=59°，

∴∠GFC=∠CFE﹣∠GFE=118°﹣59°=59°．

【点评】此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补．

24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：

∠EPM=∠FQM．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据题意证得∠AEF=∠CFM，再由∠AEP=∠CFQ，可得出∠PEM=∠QFM，PE∥QF，即能得出∠EPM=∠FQM．

【解答】证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）．

又∵∠PEA=∠QFC（已知），

∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）．

即∠PEM=∠QFM．

∴PE∥QF（同位角相等，两直线平行）．

∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）．

【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．

【分析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC=90°，在△ADC中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．

【解答】解：

∵BE平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠EBC=30°，

∴∠C=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣30°﹣75°=75°．

又∵∠C+∠DAC=90°，

∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣75°=15°．

【点评】灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．特别注意“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．