扑克牌中的数学奥妙.docx
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扑克牌中的数学奥妙
扑克牌中的数学奥妙
一、小课题的选题缘由
现在不少同学痴迷于电脑游戏，很多电脑游戏，不但影响学业，还会对我们产生不良影响，早就引起家长同学的关注。
由此我们想到了一种既益智又感兴趣的游戏---扑克牌游戏。
这游戏可以训练我们的快速反应能力，游戏使我们的思维处于高速运转状态，能训练我们快速反应能力。
同时在数学学习中也有很大的好处：
①可以我们从不同的角度去解决问题；②可以让我们健脑,提升我们数学地思考问题能力。
③可以训练我们在数学解题中的推理能力和逻辑演绎能力。
二、课题研究主要内容
1.问题的提出
陈××（女，我的校友），她爸和我爸既是同事又是非常要好的朋友，而且他们俩还全是数学老师。
今年暑假，她们一家三口到我家玩。
我们聊天的过程中，爸爸拿出13张扑克（A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q,K）,给我们做了一个扑克游戏。
爸爸先把游戏规则告诉我们，游戏规则：
一副扑克牌中选出1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，J,Q,K十三张扑克牌（最好同色）。
将十三张扑克适当排列，叠在一起，正面朝下，第一张抽到底部，第二张放在桌上（正面朝上），第三张抽到底部，第四张放在桌上（正面朝上），第五张抽到底部,第六张放在桌上（正面朝上），......依次类推。
最后排到桌面上的扑克顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，J,Q,K。
我们非常好奇，要求爸爸教我们原来扑克的排列顺序。
爸爸却要求我们自己探索其中的奥秘。
好呀，谁怕谁。
就这13张牌，我们自己来摆弄摆弄动动手动动脑，一定把它搞定。
2、实验操作过程
实验1．扑克抽一发一
于是我与陈同学接过扑克，开始了游戏的探索历程。
我们设计了十三个方格，并给每个方格依次编了序号。
只要将扑克放入相应的编号中即可。
根据游戏规则，我们很快填好了，十三张扑克相应位置，如下表：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
8
2
9
3
10
4
J
5
Q
6
K
然后按以上表格中的扑克点数排好顺序，牌7放在最上面。
叠成一叠拿在手中，按游戏规则抽一张放底部，发一张到桌面上，很快我们完成了，此时桌面上的扑克牌的序号是：
A,2,3,4,5,6,7,9,J,K,10,
8,Q，我们发现牌7以下的顺序全错了。
为什么呢？
爸爸笑而不语，叫我们再想想，再摆摆，探索其余六张扑克的相应位置。
因为1—7这七张扑克已经对了。
所以我与陈同学将1—7这七张扑克放到相应的方格序号中，即：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
2
3
4
5
6
我们结合游戏的规则及第一次摆放的后六张的错误教训，我们苦苦冥想，正当山穷水尽的时候，陈同学说摆放8—K这六张扑克时，1—7这七张扑克已经放在桌上了，因此留下的空格序号只有6个，只要将剩下的六张扑克放入相应的六个空格序号中即可。
我恍然大悟，我们将余下的六个方格重新摆放，如下图：
剩下方
格序号
3
5
7
9
11
13
按照游戏规则，将8，9，10，这三张扑克放入相应序号的方格中，如下表：
剩下方
格序号
3
5
7
9
11
13
扑克
点数
抽
8
抽
9
抽
10
再将剩下的三张扑克J,Q,K,放入剩下的三个空白方格序号中，摆放如下：
剩下方
格序号
3
7
11
扑克
点数
抽
J
抽
再将剩下的两张扑克Q,K,放入剩下的两个空白方格序号中，摆放如下：
剩下方
格序号
11
3
扑克
点数
K
Q
这样十三张扑克点数与方格序号的对应关系如下表：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
我们将十三张扑克按以上顺序放好，牌7放在最上面。
然后按照规则发牌，果然桌面上牌的顺序为：
A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K。
我们成功啦！
我们两个人别提有多高兴。
爸爸笑了，问我们怎么想到的？
我们把刚才的想法说出来，并列出表格加以说明。
第一次，把A-7这7张扑克按照规则放在相应的方格序号中。
如下表：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
抽
3
抽
4
抽
5
抽
6
抽
第二次，因为1—7这七张扑克已经排好，所以只要排8—K六张
扑克。
根据游戏规则放入剩下的六个空格方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
8
3
抽
4
9
5
抽
6
10
第三次，因为A-10这十张扑克已经排好，所以只需排J-K这三张
扑克，根据规则放入剩下的三个空格方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
8
3
J
4
9
5
抽
6
10
第四次，因为A-J这十一张扑克已经排好，所以只需将Q,K这
张扑克根据规则放入剩下的两个空格方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
听完我们的分析，爸爸笑着点了点头。
实验2.钟表
接着爸爸指了指墙上的钟面说，发牌的顺序，首尾顺次连结就像钟面上的十二个数字一样，你们能由钟面来解释吗？
于是我与陈同学画了个钟面，并在钟面上依次标了1—13，这十三个数字作为顺序，如下图
说明：
第一次，1—7这七张扑克
第二次，8—10，这三张扑克
第三次，J这张扑克
第四次，Q,K这两张扑克
结果发现这与画十三个方格序号是一样的道理。
此时，两个爸爸聚在一起“鬼鬼祟祟”地嘀咕着，看来又要给我们出难题了。
果不其然，两个鬼爸爸对我们俩说，能不能再用不同的方法排出发牌的顺序？
爸爸友情提示：
假设法。
于是我们将1— K，这十三张扑克依次放在1—13个序号方格内，如下图：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
J
Q
K
然后按规律将牌发到桌面上，桌面上的牌依次为：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
2
4
6
8
10
Q
A
5
9
K
7
3
J
结合上述两表格
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
我们用假设法，同样找到了正确的发牌顺序。
爸爸问，利用着十三张扑克，你们还能玩出什么花样来？
我与陈同学想，能不能将抽一张扑克到底部换成抽两张扑克到底部呢？
那么游戏规则是：
抽二发一。
我们将事先画好的十三个方格进行填补和摆放。
第一次，根据游戏规则抽二发一将牌A，牌2，牌3，牌4，放入相应的方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
抽
A
抽
抽
2
抽
抽
3
抽
抽
4
抽
第二次，将剩下的扑克放入相应的剩下的九个方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
抽
抽
2
6
抽
3
抽
7
4
抽
第三次，将剩下的扑克放入相应剩余的六个方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
8
抽
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第四次，将剩下的扑克放入相应的四个空格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
8
10
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第五次，将剩下的扑克放入相应的空格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
J
5
A
8
10
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第五次，将剩下的扑克放入相应的空格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
J
5
A
8
10
2
6
Q
3
9
7
4
K
我们根据规则发牌，当然成功的。
我们用假设法同样得到这样由小到大的发牌顺序。
陈同学把手举得高高的说：
“我现在抽三张扑克，发一张，我也会！
”
我也说：
“抽四张发一张扑克我也会，还有抽五发一，我照样会！
”
妈妈在一边接着说：
“那么抽一张扑克，发两张呢，会不会也一样可以呢？
”
妈妈的问题提醒了我们。
我们尝试着操作：
第一次，根据游戏规则抽一发二将扑克点数方入相应的方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
A
2
抽
3
4
抽
5
6
抽
7
8
抽
第二次,将剩下的扑克放入相应的方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
9
A
2
10
3
4
抽
5
6
J
7
8
Q
第三次，将剩余的一张扑克放入最后一个方格序号中：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
9
A
2
10
3
4
K
5
6
J
7
8
Q
根据规则发牌，成功！
探究到此时，我们想一副扑克54张，如果定一个规则发牌，原理也是同样的。
我们制定了一个规则：
54张扑克，抽一张到底部，再发一张到桌面上，以此类推，最后桌面上的顺序是，四张A,四张2，四张3，四张4，……四张K，然后是小王和大王。
同点数的四张扑克又按黑桃，红桃，梅花和方块顺序排列。
经过合作，我们成功地排列正确的发牌顺序！
我们完全学会了这种扑克游戏！
3、原理探索
爸爸问我们，能不能用学过的数学知识解释由A到K这十三张扑克抽一发一的数学原理？
我们非常兴奋，又陷入了沉思之中。
规则：
抽一发一，抽一发一，抽一发一……
因为1+1=2张，所以这个游戏规则的周期是2张的扑克。
第一轮：
扑克的总数是13张，13÷2=6……1,此时商是6，所以第一轮发到桌面上的是6个循环期数，又因为规则是发一，所以发到桌面上的是六张扑克牌，分别是牌A,牌2，牌3，牌4，牌5和牌6。
规则是抽一发一，周期为2。
即1×2=2，2×2=4，3×2=6，4×2=8，5×2=10，6×2=12，所以这六张扑克点数与方格序号的关系如下表：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
A
2
3
4
5
6
因为算式13÷2=6……1,中的余数是1，所以第一轮牌6之后，还有一张牌方格序号为13.，那么下一轮的第一个方格序号是13.。
第二轮，因为13－6=7，所以剩下的七张牌放置在相应的七个方格序号中即可。
第二轮的七个方格序号依次为：
13.1.3.5.7.9.11.
再由算式7÷2=3……1，可知商是3，所以第二轮发到桌面上的牌是3个循环期数，因为规则是发一，所以发到桌面上的是三张扑克，分别是牌7，牌8，牌9。
对应的方格序号与扑克点数关系如下表：
方格
序号
⒔
⒈
⒊
⒌
⒎
⒐
⒒
扑克点数
7
8
9
因为余数是1，所以第二轮牌9之后是一个方格序号，这个方格序号就是11.，方格序号11也是下一轮的第一个方格序号。
第三轮，因为13－6－3=4，所以剩下的四张扑克放入剩下的四个方格序号即可，第三轮中四个序号方格依次为11.13.3.7.。
再由算式4÷2=2，因为商是2，所以这一轮发到桌面上的是2个循环期数，因为规则是发一，所以第三轮发到桌面上的是牌10和牌J这两张扑克，对应的扑克点数与方格序号如下表：
方格
序号
⒒
⒔
⒊
⒎
扑克点数
10
J
因为余数是0，所以在第三轮中牌J之后没有方格序号了，所以在下一轮中第一个方格序号仍然是11.
第四轮，13－6－3－2=2，所以在第四轮中两个方格序号分别为11.和3.再由2÷2=1，可知这次的商是1，所以这轮发到桌面上的牌为Q,对应的方格序号是3.
第五轮，由13－6－3－2－1=1，所以剩下的一张牌K和剩下的一个方格序号11对应。
这样，我们得到的方格序号与扑克点数关系如下表：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
由此可见，我们用除法算式揭示了发牌顺序，被除数表示每一轮中留在手上的扑克张数，除数是游戏规则中抽发牌的周期，商是周期的循环期数，余数是这一轮中发到桌面上的最后一张牌之后的方格序号的个数，也是下一轮中的是前几个方格序号的个数。
这样，依次应用几次除法算式，利用每次的商和余数，得到每次发到桌面上的扑克点数与序号方格的对应位置，从而得到发牌顺序。
抽一发一被我们攻克了，我们又发起了向抽二发二挑战！
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
因为抽二张发二张，抽二发二,……如此反复，所以这次游戏的规则周期是2+2=4。
第一轮，拿手上的扑克张数是13张，由此得到13÷4=3……1，因为商是3，所以此次发到桌面上的是3个循环期数，第一循环是牌A和牌2，第二循环是牌3和牌4，第三循环是牌5和牌6。
牌A对应的方格序号：
0×4+3=3，
牌2对应的方格序号：
0×4+4=4，
牌3对应的方格序号：
1×4+3=7
牌4对应的方格序号：
1×4+4=8
牌5对应的方格序号：
2×4+3=11
牌6对应的方格序号：
2×4+4=12
因为余数是1，所以发到桌面上的最后一张牌牌6的对应方格序号12之后有一个方格序号13，也是下一轮中的第一个方格序号。
因为13－3×2=7，所以第二轮还剩下7个方格序号依次为:
13.1.2.5.6.9.10.。
第二轮，由7÷4=1……3，商是1，所以这一轮发到桌面上的是一个循环期数，即牌7和牌8。
牌7对应的方格序号是2.
牌8对应的方格序号是5.
由于余数是3，3＞2，所以牌9的对应方格序号是10.，因此这一轮发到桌面上的是三张牌，分别是牌7，牌8和牌9，因为牌9对应的方格序号是10，方格序号10是这一轮的最后一个方格序号，所以下一轮的方格号依次为：
13.1.6.9.
第三轮，牌10的对应方格序号是13，所以下一轮的方格序号依次为：
1.6.9.
第四轮，因为规则是抽二发二，所以牌J的对应方格序号是9，牌Q对应方格序号是1，那么牌K的对应序号是6
综上所述，这一游戏的规则，抽2张发2张的扑克点数和方格序号的对应关系为：
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
Q
7
A
2
8
K
3
4
J
9
5
6
10
我们将这个发牌顺序按照游戏规则发牌，顺序正确。
接下来，我们用13张扑克按抽2张发3张规则，用除法算式，得到发牌顺序，顺序也正确。
我们为了挑战难度，就用整副扑克54张扑克，照样成立。
三、课题研究的启发和收获
通过对这次扑克游戏的探索和研究，使我们懂得了生活中处处有数学，数学来源于生活，只要细心观察，深入思考，积极探索，都能发现基本的科学原理，归纳出它的数学规律。
这次扑克游戏，我们先动手摆摆扑克，归纳出发牌的顺序，由简单的13张找出规律，再推广到整一副54张扑克的排序，再想到改变游戏规则，最后又从游戏规则中挖掘出数学原理：
周期问题和余数问题。
这个游戏不但培养我们严密的思维习惯和解决问题的能力，而且更重要的是培养了我们爱学习爱思考的创新性思维，通过玩游戏引起我们的研究热情。
同时还让我们远离电脑游戏，还我们一个“绿色低碳”儿童游戏。
我们受益非浅啊！
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